Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

7.4 Cząstka kwantowa w pudełku

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 37.4 Cząstka kwantowa w pudełku

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • w jaki sposób opisywać zagadnienie z wartościami granicznymi stacjonarnego równania Schrödingera;
  • dlaczego energia cząstki kwantowej w pudełku przyjmuje dyskretne wartości;
  • rozumieć znaczenie fizyczne stacjonarnego rozwiązania równania Schrödingera i jego powiązanie z zależnymi od czasu stanami kwantowymi;
  • wyjaśniać fizyczne znaczenie zasady korespondencji Bohra.

W tym podrozdziale wykorzystamy równanie Schrödingera do opisu cząstki zamkniętej w jednowymiarowym pudełku. Ten szczególny przypadek uwzględnia stany związane i pozwala na zrozumienie bardziej skomplikowanych zagadnień. Energia cząstki jest skwantowana ze względu na pojawienie się stanu fali stojącej w rozwiązaniu równania Schrödingera dla cząstki w pudełku przy określonych warunkach brzegowych (ściany pudełka). Przypomina to sytuację fali stojącej dla pola elektromagnetycznego we wnęce rezonansowej (metalowym pudełku). W obydwu przypadkach wartość funkcji falowej równania Schrödingera pozwoli określić, czy pole elektryczne we wnęce musi znikać poza pudełkiem oraz wynosić zero na ściankach (pudełka lub wnęki) i czy jest niezerowe w pudełku.

Rozważmy cząstkę o masie m m m (np. elektron), która może się poruszać jedynie wzdłuż osi x x x , a jej ruch jest ograniczony do obszaru między ścianami znajdującymi się w x = 0 x = 0 x = 0 i x = L x = L x = L (Ilustracja 7.11). Pomiędzy ścianami cząstka porusza się swobodnie. Taki układ nazwiemy nieskończoną studnią kwantową (ang. infinite square well), opisaną przez funkcję potencjału

V x = 0 , 0 x L , , w pozostałych przypadkach. V x = 0 , 0 x L , , w pozostałych przypadkach. V\apply(x) = \left{ \begin{matrix*}[l] 0\text{,} &\text{ } 0\leq x\leq L \text{,} \\ \infty\text{,} &\text{ w pozostałych przypadkach.} \end{matrix*} \right\
7.46

Układ jest izolowany, a energia cząstki stała i niezmienna w czasie, a więc hamiltonian (suma energii kinetycznej i potencjalnej) jest stały w czasie. Łącząc tę zależność V x V x V\apply(x) z niezależnym od czasu równaniem Schrödingera, otrzymujemy

2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ x , dla  0 x L . 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ x , dla  0 x L . -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} = E \psi\apply(x) \text{, dla } 0 \leq x \leq L \text{.}
7.47

Jakich rozwiązań się spodziewamy? Zasadniczo funkcja falowa może być zespolona. Dostrzegamy, że części rzeczywiste i urojone funkcji falowej spełniają powyższe równanie. Jest to równanie liniowego oscylatora harmonicznego i po lekturze poprzednich rozdziałów umiemy takie równania rozwiązywać. Będzie nim liniowa kombinacja funkcji sinus i cosinus z argumentem x x x mnożonym przez pewną stałą. Energia cząstki jest dodatnia, a więc jeżeli wartość funkcji falowej jest dodatnia (prawa strona równania), to jej druga pochodna jest ujemna (lewa strona równania).

Podobnie, jeżeli wartość funkcji jest ujemna, krzywizna będzie wówczas dodatnia, czyli funkcja będzie wypukła. Takie warunki spełnia oscylująca funkcja falowa, jak sinus czy cosinus. Ponieważ fale te są ograniczone przez rozmiary pudełka, spodziewamy się fal stojących, z końcami zamocowanymi w punktach x = 0 x = 0 x=0 i x = L x = L x=L .

Wykres potencjału U funkcji x. U jest równe nieskończoności x równe lub niż zero na x równe lub większe niż L. U jest równe zero pomiędzy x = 0 i x = L.
Ilustracja 7.11 Funkcja potencjału, który zamyka cząstkę w jednowymiarowym pudełku.

Rozwiązania ψ x ψ x \psi\apply(x) tego równania można interpretować statystycznie. Kwadrat ψ x 2 ψ x 2 \abs {\psi\apply(x)}^2 odpowiada gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym miejscu x x x . Funkcja ta musi zostać scałkowana w celu obliczenia prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym przedziale przestrzennym (obszarze w dwóch i trzech wymiarach). Szukamy więc rozwiązania, które spełnia warunek normalizacji

0 L d x ψ x 2 = 1 . 0 L d x ψ x 2 = 1 . \int_0^L \d x \abs {\psi\apply(x)}^2 = 1 \text{.}
7.48

Ściany są sztywne i nieprzepuszczalne, co oznacza, że cząstka nigdy nie znajdzie się poza nimi. Matematycznie oznacza to, że rozwiązanie musi zanikać na ścianach

ψ 0 = ψ L = 0 . ψ 0 = ψ L = 0 . \psi\apply(0) = \psi\apply(L) = 0 \text{.}
7.49

Spodziewamy się rozwiązania w postaci oscylującej funkcji, tak więc najbardziej ogólnym rozwiązaniem tego równania harmonicznego jest

ψ k x = A k cos k x + B k sin k x , ψ k x = A k cos k x + B k sin k x , \psi_k \apply(x) = A_k \cos (kx) + B_k \sin (kx) \text{,}
7.50

gdzie k k k jest stałą i niezależną od x x x liczbą rzeczywistą (wektorem falowym), a A k A k A_k i B k B k B_k są również stałe. Możemy to sprawdzić, obliczając

2 2 m E d 2 ψ x d x 2 = 2 k 2 2 m E ψ x = ψ x , 2 2 m E d 2 ψ x d x 2 = 2 k 2 2 m E ψ x = ψ x , -\frac{\hbar^2}{2m E} \cdot \frac{\d ^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} = \frac{\hbar^2 k^2}{2mE} \psi\apply (x) = \psi\apply (x) \text{,}
7.51

co wyznacza relację

2 k 2 2 m E = 1 , 2 k 2 2 m E = 1 , \frac{\hbar^2 k^2}{2mE} = 1\text{,}
7.52

a zatem

E = 2 k 2 2 m . E = 2 k 2 2 m . E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \text{.}
7.53

Stosując warunek brzegowy przedstawiony w Równaniu 7.49, otrzymamy

ψ k 0 = A k cos k 0 + B k sin k 0 = A k = 0 . ψ k 0 = A k cos k 0 + B k sin k 0 = A k = 0 . \psi_k \apply(0) = A_k \cos (k \cdot 0) + B_k \sin (k \cdot 0) = A_k = 0 \text{.}
7.54

Ponieważ dowiedliśmy, że A k = 0 A k = 0 A_k = 0 , rozwiązanie ma postać

ψ k x = B k sin k x . ψ k x = B k sin k x . \psi_k \apply(x) = B_k \sin (kx) \text{.}
7.55

Jeżeli B k B k B_k równe jest zero, to ψ k x = 0 ψ k x = 0 \psi_k\apply(x) = 0 dla wszystkich wartości x x x , a przez to warunek normalizacji (Równanie 7.48) nie jest spełniony. Założywszy, że B k 0 B k 0 B_k \neq 0 , i po podstawieniu x = L x = L x=L (z Równania 7.49), uzyskamy

0 = B k sin k L sin k L = 0 k L = n π n = 1 2 3 0 = B k sin k L sin k L = 0 k L = n π n = 1 2 3 0 = B_k \sin (kL) \implies \sin (kL) = 0\implies kL = n \pi \text{, } n=1,2,3, \dots
7.56

Odrzucamy n = 0 n = 0 n=0 , ponieważ ψ x ψ x \psi\apply(x) dla tej liczby kwantowej (liczby naturalnej parametryzującej k k k i energię cząstki) wynosiłoby zero dla każdego x x x i znów otrzymalibyśmy wynik, którego nie można znormalizować. Zatem otrzymujemy kwantyzację energii (w rzeczywistości dla energii kinetycznej, bo potencjalna wynosi 0 J 0 J \SI{0}{\joule} ) cząstki w pudle potencjału

E = E k = 2 k 2 2 m . E = E k = 2 k 2 2 m . E = E_{\text{k}} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \text{.}
7.57

Ta kwantyzacja wektora falowego k n k n k_n czy energii E n E n E_n wynika z warunków brzegowych!

Według de Broglie’a p = k p = k p = \hbar k , a więc

2 2 m p n 2 = E n , 2 2 m p n 2 = E n , \frac{\hbar^2}{2m} p_n^2 = E_n \text{,}
7.58

czyli pęd cząstki w pudełku też jest skwantowany.

To wyrażenie implikuje wniosek, że energia całkowita jest równa energii kinetycznej, co zgadza się z założeniem, że cząstka może się swobodnie poruszać. Łącząc rozwiązania Równania 7.56 i Równania 7.58, otrzymamy

E n = n 2 π 2 2 2 m L 2 n = 1 2 3 E n = n 2 π 2 2 2 m L 2 n = 1 2 3 E_n = n^2 \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \text{, } n = 1,2,3,\dots
7.59

Co ciekawe, cząstka zamknięta w jednowymiarowym pudełku może przyjmować jedynie dyskretne (skwantowane) wartości. Co więcej, cząstka nie może mieć zerowej energii kinetycznej; oznacza to, że niemożliwe jest, żeby zamknięta w pudełku była w spoczynku. Stan związany zawsze posiada niezerową energię, czego nie musimy spotykać w fizyce klasycznej.

Aby oszacować dozwolone funkcje falowe, które odpowiadają tym energiom, należy określić stałą normalizacyjną B n B n B_n . Nakładamy warunek normalizacji na funkcję falową

ψ n x = B n sin n π x L , ψ n x = B n sin n π x L , \psi_n \apply(x) = B_n \sin (\frac {n \pi x} {L}) \text{,}
7.60
1 = 0 L ψ n x 2 d x = 0 L B n 2 sin 2 n π x L d x = B n 2 0 L sin 2 n π x L d x = B n 2 L 2 B n = 2 L . 1 = 0 L ψ n x 2 d x = 0 L B n 2 sin 2 n π x L d x = B n 2 0 L sin 2 n π x L d x = B n 2 L 2 B n = 2 L . 1 = \int_0^L \abs {\psi_n \apply(x)}^2 \d x = \int_0^L B_n^2 \sin^2 (\frac{n \pi x}{L}) \d x = B_n^2 \int_0^L \sin^2 (\frac{n \pi x}{L}) \d x = B_n^2 \frac{L}{2} \implies B_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \text{.}

Tak więc szukane funkcje falowe można zapisać jako

ψ n x = 2 L sin n π x L n = 1 2 3 ψ n x = 2 L sin n π x L n = 1 2 3 \psi_n \apply(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n \pi x}{L}) \text{, } n=1,2,3, \dots
7.61

Dla najmniejszej energii, czyli energii stanu podstawowego (ang. ground state energy), mamy

E 1 = π 2 2 2 m L 2 ψ 1 x = 2 L sin π x L . E 1 = π 2 2 2 m L 2 ψ 1 x = 2 L sin π x L . E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \text{, } \psi_1 \apply(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{\pi x}{L}) \text{.}
7.62

Każdy inny stan energii może być zapisany jako

E n = n 2 E 1 ψ n x = 2 L sin n π x L . E n = n 2 E 1 ψ n x = 2 L sin n π x L . E_n = n^2 E_1 \text{, } \psi_n \apply(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n\pi x}{L}) \text{.}
7.63

Indeks n n n nazywany jest energetyczną (ang. energy quantum number) lub główną liczbą kwantową (ang. principal quantum number). Stan o n = 2 n = 2 n=2 nazwiemy pierwszym stanem wzbudzonym, stan o n = 3 n = 3 n=3 to drugi stan wzbudzony itd. Pierwsze trzy stany kwantowe ( n = 1 2 3 n = 1 2 3 n=1,2,3 ) cząstki w pudełku przedstawione są na Ilustracji 7.12.

Funkcje falowe przedstawione w Równaniu 7.63 są czasami nazywane „stanami o określonej energii”. O cząstkach znajdujących się w takich stanach kwantowych mówimy, że zajmują pewne poziomy energetyczne (ang. energy levels), które przedstawione są w formie poziomych linii na Ilustracji 7.12. Poziomy energetyczne można opisać jako szczeble w drabinie, po której cząstki mogą się wspinać lub z której mogą spadać, zyskując lub tracąc energię w pewnych dyskretnych (skwantowanych) ilościach.

Funkcje falowe przedstawione w Równaniu 7.63 mogą być też nazywane falami stojącymi (ang. standing wave state). W sytuacji stałego w czasie efektywnego potencjału i efektywnego hamiltonianu w równaniu Schrödingera (sytuacji stacjonarnej) ich gęstość prawdopodobieństwa ψ x t 2 ψ x t 2 \abs{\Psi\apply(x,t)}^2 również nie zmienia się w czasie. Wówczas wartość funkcji falowej oscyluje pomiędzy wartościami rzeczywistymi a urojonymi i jest opisana operatorem ewolucji w czasie. Stany stacjonarne (ang. stationary state) są stanami o określonej średniej energii i mogą powstawać jako liniowa superpozycja stanów o różnych energiach. Wówczas

E n = n 2 E 1 ψ x = a 1 ψ 1 x + a 2 ψ 2 x + + a n ψ n x , E n = n 2 E 1 ψ x = a 1 ψ 1 x + a 2 ψ 2 x + + a n ψ n x , E_n = n^2 E_1 \text{, } \psi\apply(x) = a\apply(1)\psi_1\apply(x) + a\apply(2)\psi_2\apply(x) + \dots + a\apply(n)\psi_n\apply(x) \text{,}
7.64

gdzie ψ k x ψ k x \psi_k \apply(x) to funkcja falowa w k k k -tym stanie energetycznym ( k k k wynosi od 1 1 \num{1} do n n n ) w przestrzeni położeń x x x i a k 2 a k 2 \abs{a\apply(k)}^2 to prawdopodobieństwo występowania stanu k k k -tego. Warunek normalizacji funkcji falowej ψ ψ \psi narzuca: a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 = 1 a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 = 1 \abs {a\apply(1)}^2 + \abs{a\apply(2)}^2 + \dots + \abs{a\apply(n)}^2 = 1 . Funkcje falowe ψ k x ψ k x \psi_k \apply(x) są ortonormalne, co oznacza, że 1 = ψ k * x ψ k x d x 1 = ψ k * x ψ k x d x 1 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_k^{\text{*}}\apply (x) \psi_k\apply (x) \d x oraz iż w sytuacji k k k różnego od l l l zachodzi: 0 = ψ l * x ψ k x d x 0 = ψ l * x ψ k x d x 0 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_l^{\text{*}}\apply(x) \psi_k \apply(x) \d x .

Na wykresie pokazane są pierwsze trzy stany kwantowe cząstki w pudełku dla głównych liczb kwantowych stanów n=1, n=2, and n=3. Rysunek (a) pokazuje wykres rozwiązania dla fali stojącej. Osie pionowe są funkcjami falowymi, z oddzielonymi środkami układu dla każdego ze stanów, który jest wyrównany ze skalą energii wykresu (b). Oś pozioma x biegnie od leżącego najniżej zera do L. Rysunek b) pokazuje energię każdego ze stanów na osi pionowej E ze znakiem n. Wszystkie funkcje falowe wynoszą zero dla x mniejszego niż 0 i x większego niż L. W stanie n=1 funkcja jest w pierwszej połowie falą o długości 2 L sinus funkcja jej energii pi kwadrat razy h kwadrat podzielone przez liczbę 2 m L kwadrat. Dla n=2 funkcja jest najpierw funkcją całkowitą o długości 2 L sinus funkcji i jej energii 4 pi kwadrat razy h kwadrat podzielone przez liczbę 2 m L kwadrat. Dla n=3 funkcja jest najpierw całkowita i pół fali o długości 2 L sinus funkcja i jej energii 9 pi kwadrat razy h kwadrat podzielone przez liczbę 2 m L kwadrat.
Ilustracja 7.12 Pierwsze trzy stany kwantowe cząstki w pudełku dla głównych liczb kwantowych n = 1 2 3 n = 1 2 3 n=1,2,3 : (a) fale stojące i (b) dozwolone stany energetyczne.

Kwantyzacja energii jest konsekwencją warunków brzegowych i to samo dotyczy wnęk rezonansowych w problemach elektromagnetycznych. Jeżeli mielibyśmy do czynienia z cząstką swobodną (nieograniczoną pudełkiem), dozwolone stany energetyczne miałyby charakter ciągły. Zatem funkcja falowa widzi ścianki pudełka i jest inna w momencie, gdy nie ma ścianek. Mówimy, że widmo energetyczne wartości własnych hamiltonianu cząstki swobodnej przyjmuje dyskretne wartości dodatnie w przypadku cząstki zamkniętej w pudle potencjału i wartości ciągłe dodatnie w przypadku cząstki swobodnej. Jednak w tym przypadku z pudełkiem mamy dostępne jedynie pewne energie ( E 1 E 1 E_1 , 4 E 1 4 E 1 4E_1 , 9 E 1 9 E 1 9E_1 , \dots ). Różnica energii sąsiednich poziomów energetycznych jest dana wzorem

Δ E n + 1 n = E n + 1 E n = n + 1 2 E 1 n 2 E 1 = 2 n + 1 E 1 . Δ E n + 1 n = E n + 1 E n = n + 1 2 E 1 n 2 E 1 = 2 n + 1 E 1 . \prefop{\Delta} E_{n+1,n} = E_{n+1} - E_n = (n+1)^2 E_1 - n^2 E_1 = (2n+1) E_1 \text{.}
7.65

Zasada zachowania energii wymaga, aby w momencie, gdy zmienia się energia układu, różnica energii została przemieniona w inną jej formę. W szczególnym przypadku cząstki ograniczonej do pewnej małej objętości (jak atom) zmiany energii są często uwalniane w formie fotonów. Częstotliwości emitowanych fotonów dają nam informacje o różnicach energii (między poziomami) w układzie, a także o objętości (wymiarach) pudełka (patrz Równanie 7.62). Takim pudełkiem w ciele stałym bywają np. kropki kwantowe, które odgrywają dużą rolę w nanotechnologii.

Przykład 7.8

Prosty model jądra atomowego

Załóżmy, że proton zamknięty jest w pudełku o szerokości L = 10 -14 m L = 10 -14 m L = 10^{-14} \si{\metre} (typowy promień jądra atomowego). Jakie są poziomy energetyczne stanu podstawowego i pierwszego stanu wzbudzonego? Jaką energię będzie miał foton emitowany podczas przejścia protonu z pierwszego poziomu wzbudzonego na poziom podstawowy?

Strategia rozwiązania

Jeżeli założymy, że proton zamknięty w jądrze atomowym może być modelowany jako cząstka kwantowa w pudełku, to jedyne, czego potrzebujemy do rozwiązania tego zagadnienia, to wykorzystać Równanie 7.59 do obliczenia energii E 1 E 1 E_1 i E 2 E 2 E_2 . Masa protonu wynosi m = 1,76 10 -27 kg m = 1,76 10 -27 kg m = \SI{1,76e-27}{\kilo\gram} . Emitowany foton będzie miał energię równą różnicy Δ E = E 2 E 1 Δ E = E 2 E 1 \prefop{\Delta} E = E_2 - E_1 . Do obliczenia jego częstotliwości możemy wykorzystać wzór E f = h f E f = h f E_{\text{f}} = hf .

Rozwiązanie

Energia stanu podstawowego wynosi
E 1 = π 2 2 2 m L 2 = π 2 1,05 10 -34 J s 2 2 1,67 10 -27 kg 10 -14 m 2 = 3,28 10 -13 J = 2,05 MeV . E 1 = π 2 2 2 m L 2 = π 2 1,05 10 -34 J s 2 2 1,67 10 -27 kg 10 -14 m 2 = 3,28 10 -13 J = 2,05 MeV . E_1 = \frac{\pi ^2 \hbar^2}{2mL^2} = \frac{\pi^2 (\SI{1,05e-34}{\joule\second})^2 }{2 \cdot \SI{1,67e-27}{\kilo\gram} \cdot (10^{-14} \si{\metre})^2} = \SI{3,28e-13}{\joule} = \SI{2,05}{\mega\electronvolt}\text{.}

Energia pierwszego stanu wzbudzonego: E 2 = 2 2 E 1 = 4 2,05 MeV = 8,2 MeV E 2 = 2 2 E 1 = 4 2,05 MeV = 8,2 MeV E_2 = 2^2 E_1 = 4 \cdot \SI{2,05}{\mega\electronvolt} = \SI{8,2}{\mega\electronvolt} .

Energia emitowanego fotonu: E f = Δ E = E 2 E 1 = 8,2 MeV 2,05 MeV = 6,15 MeV E f = Δ E = E 2 E 1 = 8,2 MeV 2,05 MeV = 6,15 MeV E_{\text{f}} = \prefop{\Delta} E = E_2 - E_1 = \SI{8,2}{\mega\electronvolt} - \SI{2,05}{\mega\electronvolt} = \SI{6,15}{\mega\electronvolt} .

Częstotliwość emitowanego fotonu

ν = E f h = 6,15 MeV 4,14 10 -21 MeV s = 1,49 10 21 Hz . ν = E f h = 6,15 MeV 4,14 10 -21 MeV s = 1,49 10 21 Hz . \nu = \frac{E_{\text{f}}}{h} = \frac{\SI{6,15}{\mega\electronvolt}}{\SI{4,14e-21}{\mega\electronvolt\second}} = \SI{1,49e21}{\hertz} \text{.}

Znaczenie

Otrzymana częstotliwość jest charakterystyczna dla promieniowania gamma emitowanego przez jądro atomowe. Energia tego fotonu jest 10 milionów razy większa od energii fotonu światła widzialnego.

Wartość oczekiwana położenia cząstki w pudełku jest dana wzorem

x = 0 L ψ n * x x ψ n x d x = 0 L x ψ n x 2 d x = 0 L x 2 L sin 2 n π x L d x = L 2 . x = 0 L ψ n * x x ψ n x d x = 0 L x ψ n x 2 d x = 0 L x 2 L sin 2 n π x L d x = L 2 . \langle x \rangle = \int_0^L \psi_n^{\text{*}} \apply(x) x \psi_n \apply(x) \d x = \int_0^L x \abs{\psi_n\apply (x)}^2 \d x = \int_0^L x \frac{2}{L} \sin^2 (\frac{n \pi x}{L}) \d x = \frac{L}{2} \text{.}
7.66

Największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki istnieje w środku pudełka. Jest to przykład stanu zlokalizowanego.

Możemy też obliczyć wartość oczekiwaną pędu cząstki lub średni pęd dużej liczby cząstek w danym stanie (zauważmy, że w naszym przypadku ψ n * x = ψ n x = 2 L sin n π x L ψ n * x = ψ n x = 2 L sin n π x L \psi_n^{\text{*}} \apply(x) = \psi_n \apply(x) = 2/L \cdot \sin(n \pi x / L) ) i przy zastosowaniu całkowania przez części

0 L f x d d x g x d x = f x g x | 0 L 0 L g x d d x f x d x , 0 L f x d d x g x d x = f x g x | 0 L 0 L g x d d x f x d x , \int_0^L f\apply(x) \frac{\d \text{}}{\d x} g\apply(x) \d x = f\apply(x) g\apply(x) \mid_0^L - \int_0^L g\apply(x) \frac{\d \text{}}{\d x} f\apply(x) \d x \text{,}
7.67

otrzymać wyrażenie na średni pęd p p \langle p \rangle w postaci

p = 0 L ψ n * x i d d x ψ n x d x = i 0 L 2 L sin n π x L d d x 2 L sin n π x L d x = i 2 L 0 L sin n π x L n π L cos n π x L d x = i 2 n π L 2 0 L 1 2 sin 2 n π x L d x = i n π L 2 L 2 n π 0 2 π n sin φ d φ = i 2 L 0 = 0 . p = 0 L ψ n * x i d d x ψ n x d x = i 0 L 2 L sin n π x L d d x 2 L sin n π x L d x = i 2 L 0 L sin n π x L n π L cos n π x L d x = i 2 n π L 2 0 L 1 2 sin 2 n π x L d x = i n π L 2 L 2 n π 0 2 π n sin φ d φ = i 2 L 0 = 0 . p = 0 L ψ n * x i d d x ψ n x d x = i 0 L 2 L sin n π x L d d x 2 L sin n π x L d x = i 2 L 0 L sin n π x L n π L cos n π x L d x = i 2 n π L 2 0 L 1 2 sin 2 n π x L d x = i n π L 2 L 2 n π 0 2 π n sin φ d φ = i 2 L 0 = 0 . \begin{align} \langle p \rangle &= \int_0^L \psi_n^{\text{*}} \apply(x) [ -i \hbar \frac{\d \text{}}{\d x} \psi_n (x) ] \d x \\ \text{} &= -i \hbar \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n \pi x}{L}) [ \frac{\d \text{}}{\d x} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n \pi x}{L}) ] \d x \\ \text{} &= -i \frac{2 \hbar}{L} \int_0^L \sin (\frac{n \pi x}{L}) [ \frac{n \pi}{L} \cos (\frac{n \pi x}{L}) ] \d x \\ \text{} &= -i \frac{2n\pi \hbar}{L^2} \int_0^L \frac{1}{2} \sin (\frac{2n \pi x}{L}) \d x = -i \frac{n \pi \hbar}{L^2} \cdot \frac{L}{2n \pi} \int_0^{2\pi n} \sin \varphi \d \varphi = -i \frac{\hbar}{2L} \cdot 0 = 0 \text{.} \end{align}
7.68

A zatem w przypadku cząstki o określonej energii średnie położenie wypada pośrodku pudełka, a średni pęd ( p p \langle p \rangle ) wynosi zero – jak w przypadku cząstki klasycznej. Zauważmy, że chociaż energia minimalna cząstki klasycznej może wynosić zero, to minimum energii cząstki kwantowej jest niezerowe i równe energii stanu podstawowego. Energia cząstki w nn n–tym stanie kwantowym EnEn E_n wynosi

En=n2π222mL2.En=n2π222mL2. E_n = n^2 \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \text{.}
7.69

Wynik dla T = 0 K T = 0 K T = \SI{0}{\kelvin} nie jest zaskakujący, ponieważ stan fali stojącej to stan o określonej energii i dla zera bezwględnego możliwe jest jedynie n = 1 n = 1 n=1 , a wówczas E = E 1 E = E 1 \langle E \rangle = E_1 . Pomiar stanu takiego układu zawsze daje ten sam wynik. Jednak w praktyce jest bez znaczenia, jak bardzo się zbliżamy do T = 0 K T = 0 K T = \SI{0}{\kelvin} , ponieważ i tak T > 0 K T > 0 K T > \SI{0}{\kelvin} . Wtedy n n n może być dowolnie duże, choć szansa zmierzenia cząstki o bardzo dużym n n n dla małej temperatury T T T jest niewielka. Jakikolwiek pomiar energii takiego układu musi dać wartość równą jednemu z dozwolonych poziomów energetycznych E n E n E_n . Ogólnie średnia energia układu wynosi E = n = 1 p n E n E = n = 1 p n E n \langle E \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} p_n E_n , gdzie p n p n p_n to prawdopodobieństwo obsadzenia stanu n n n , zależne od temperatury. W praktyce p n p n p_n szybko zanika wraz z dużymi n n n .

Nasza analiza zagadnienia cząstki w pudełku nie może być pełna bez omówienia zasady korespondencji Bohra. Mówi ona, że dla dużych liczb kwantowych prawa fizyki kwantowej muszą pozwalać na wyciągnięcie takich samych wniosków jak fizyka klasyczna. Aby zobrazować działanie tej zasady dla cząstki kwantowej w pudełku, musimy wykreślić rozkład gęstości prawdopodobieństwa

ψ n x 2 = 2 L sin 2 n π x L ψ n x 2 = 2 L sin 2 n π x L \abs{\psi_n \apply(x)}^2 = \frac{2}{L} \sin^2 (\frac{n\pi x}{L})
7.70

znalezienia cząstki w stanie kwantowym ψ n ψ n \psi_n w pobliżu położenia x x x , pomiędzy ścianami pudełka. Ilustracja 7.13 pokazuje te rozkłady dla stanu podstawowego, pierwszego stanu wzbudzonego i wysoce wzbudzonego stanu o bardzo dużej liczbie kwantowej. Możemy łatwo zauważyć, że gdy cząstka znajduje się w stanie podstawowym, najbardziej prawdopodobne jest znalezienie jej pośrodku pudełka, gdzie rozkład gęstości prawdopodobieństwa ma największą wartość. Inaczej dzieje się w przypadku pierwszego stanu wzbudzonego, ponieważ tam pośrodku pudełka gęstość prawdopodobieństwa wynosi zero, a więc nie ma szans na znalezienie cząstki w tym miejscu. Gdy cząstka znajduje się w pierwszym stanie wzbudzonym, rozkład prawdopodobieństwa ma dwa maksima i największe prawdopodobieństwo znalezienia jej istnieje właśnie w położeniach odpowiadających tym maksimom, co odbiega od praw fizyki klasycznej.

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa Psi amplituda do kwadratu dla stanu n=1, n=2 i n=20 wykreślone jako funkcje x od x=0 do x=L. Psi sub 1 kwadrat ma maksimum w środku pudełka, spada ku jednej ze stron i na końcu zdąża do zera. Psi sub 2 kwadrat ma wartość zero w środku pudełka i pod koniec posiada dwa równe co do wartości maksima. Psi sub 20 kwadrat ma dwadzieścia maksimów, wszystkie tego samego wymiaru, zmierzające między sobą do zera.
Ilustracja 7.13 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ψ n x 2 ψ n x 2 \abs {\psi_n\apply (x)}^2 dla cząstki kwantowej w pudełku. (a) Stan podstawowy n = 1 n = 1 n=1 , (b) pierwszy stan wzbudzony n = 2 n = 2 n=2 i (c) dziewiętnasty stan wzbudzony n = 20 n = 20 n=20 .

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia klasycznej cząstki w przedziale od x x x do x + Δ x x + Δ x x + \prefop{\Delta} x zależy od czasu Δ t Δ t \prefop{\Delta} t , jaki cząstka spędzi w tym przedziale. Zakładając, że jej prędkość v v v jest stała, czas ten wynosi Δ t = Δ x v Δ t = Δ x v \prefop{\Delta} t = \prefop{\Delta} x / v i jest stały w całym przedziale. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia takiej cząstki jest więc jednakowa w całym przedziale, co oznacza, że nie istnieje preferowane miejsce znalezienia cząstki. Ten klasyczny punkt widzenia staje się bardzo podobny do przypadku funkcji falowej o wysokiej liczbie kwantowej. Np. gdy cząstka kwantowa znajduje się na wysokim poziomie wzbudzenia, jak na Ilustracji 7.13 (c), gęstość prawdopodobieństwa reprezentowana jest przez szybkozmienną funkcję, dla której prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w odpowiednio dużym przedziale Δ x Δ x \prefop{\Delta} x nie zależy od położenia tego przedziału między ścianami pudełka.

Przykład 7.9

Klasyczna cząstka w pudełku

Mały wózek o masie 0,4 kg 0,4 kg \SI{0,4}{\kilo\gram} odbija się pomiędzy dwoma zderzakami oddalonymi od siebie o 2 m 2 m \SI{2}{\metre} , poruszając się po torze powietrznym. Zakładamy, że wózek porusza się bez tarcia, a zderzenia są elastyczne. Wózek utrzymuje stałą prędkość 0,5 m s 0,5 m s \SI{0,5}{\metre\per\second} . Traktując wózek jak cząstkę kwantową, oszacujmy wartość głównej liczby kwantowej, która odpowiada jego energii (w ujęciu klasycznym).

Strategia rozwiązania

Energię kinetyczną i stanu podstawowego obliczamy jak w przypadku cząstki kwantowej. Zakładamy, że energia całkowita wózka jest równa jego energii kinetycznej, a więc E k = n 2 E 1 E k = n 2 E 1 E_{\text{k}} = n^2 E_1 . Przekształcając równanie pod kątem liczby kwantowej, otrzymujemy n = E k E 1 1 2 n = E k E 1 1 2 n = (E_{\text{k}} / E_1)^{1/2} .

Rozwiązanie

Energia kinetyczna wózka wynosi
E k = 1 2 m v 2 = 1 2 0,4 kg 0,5 m s 2 = 0,05 J . E k = 1 2 m v 2 = 1 2 0,4 kg 0,5 m s 2 = 0,05 J . E_{\text{k}} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \cdot \SI{0,4}{\kilo\gram} \cdot (\SI{0,5}{\metre\per\second})^2 = \SI{0,05}{\joule} \text{.}

Energia stanu podstawowego to

E 1 = π 2 2 2 m L 2 = π 2 1,05 10 -34 J s 2 2 0,4 kg 2 m 2 = 1,7 10 -68 J . E 1 = π 2 2 2 m L 2 = π 2 1,05 10 -34 J s 2 2 0,4 kg 2 m 2 = 1,7 10 -68 J . E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = \frac{\pi^2 (\SI{1,05e-34}{\joule\second})^2}{2\cdot \SI{0,4}{\kilo\gram} \cdot (\SI{2}{\metre})^2} = \SI{1,7e-68}{\joule} \text{.}

A zatem n = E k E 1 1 2 = 0,05 J 1,7 10 -68 J 1 2 = 1,2 10 33 n = E k E 1 1 2 = 0,05 J 1,7 10 -68 J 1 2 = 1,2 10 33 n = (E_{\text{k}} / E_1)^{1/2} = [\num{0,05}\si{\joule} / (\num{1,7e-68}\si{\joule})]^{1/2} = \num{1,2e33} .

Znaczenie

Pokazaliśmy, że energii układu klasycznego odpowiada bardzo wysoka liczba kwantowa. Zasada korespondencji Bohra dotyczy właśnie takich zagadnień. Możemy więc zastosować formalizm mechaniki kwantowej do dowolnego układu – kwantowego czy klasycznego – i wyniki będą poprawne w każdym z przypadków. Jest on jednak dużo bardziej skomplikowany niż formalizm klasyczny, który można z dobrym przybliżeniem stosować w przypadku układów o bardzo dużej liczbie kwantowej.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.7

  1. Rozważ nieskończoną kwadratową studnię o ścianach w x = 0 x = 0 x=0 i x = L x = L x=L (Ilustracja 7.11). Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki kwantowej w stanie podstawowym w przedziale od x = 0 x = 0 x=0 do x = L 4 x = L 4 x=L/4 ?
  2. Powtórz obliczenia dla cząstki klasycznej.

Znając funkcje ψ n x ψ n x \psi_n \apply(x) i energie E n E n E_n po rozwiązaniu równania Schrödingera, możemy je wykorzystać do zapisania funkcji falowych Ψ n x t Ψ n x t \mathrm{Ψ}_n \apply(x,t) , które są rozwiązaniem równania Schrödingera zależnego od czasu. Dla cząstki w pudełku będą one miały postać

Ψ n x t = e i ω n t ψ n x = 2 L e i E n t sin n π x L n = 1 2 3 Ψ n x t = e i ω n t ψ n x = 2 L e i E n t sin n π x L n = 1 2 3 \mathrm{Ψ}_n\apply (x,t) = e^{-i \omega_n t} \psi_n\apply (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} e^{-iE_n t / \hbar} \sin (\frac{n\pi x}{L}) \text{, } n=1,2,3,\dots
7.71

Model cząstki kwantowej w pudełku ma praktyczne zastosowanie w stosunkowo nowej dziedzinie optoelektroniki, która zajmuje się przekształcaniem sygnałów elektrycznych na sygnały optyczne. Model ten opisuje też zjawiska fizyczne w skali nano, np. nanocząstkę uwięzioną w niskim potencjale elektrycznym pomiędzy barierami wysokiego potencjału.

Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.