Rozdział 8

Nie. Liczba kwantowa $m_l=-l,-l+1,\dots ,0,\dots ,l-1,l$. Zatem, wartość $L_z$ jest zawsze mniejsza niż $L$, ponieważ $l<\sqrt{l\left(l+1\right)}$.

$s=3∕2$.

Wzrasta czterokrotnie.

$n$ (główna liczba kwantowa) $\to$ całkowita energia; $l$ (orbitalna liczba kwantowa) $\to$ bezwzględna wartość orbitalnego momentu pędu; $m_l$ (magnetyczna liczba kwantowa) $\to$ $z$-owa składowa orbitalnego momentu pędu.

Model Bohra opisuje elektron jako cząstkę poruszającą się wokół protonu po ściśle określonych orbitach. Model Schrödingera opisuje elektron poprzez funkcję falową, która określa prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w określonym miejscu przestrzeni. Całkowita energia elektronu w stanie podstawowym (i wszystkich stanach wzbudzonych) jest taka sama dla obu modeli. Jednakże wartość orbitalnego momentu pędu dla stanu podstawowego jest różna w obydwu modelach. W modelu Bohra moment pędu, opisany wzorem $L=nh$, dla stanu podstawowego wynosi $L=h$, natomiast w modelu Schrödingera dla stanu podstawowego $L=0$.

a. b. c. Zostaje zmieniona całkowita energia (na skutek rozszczepienia Zeemana). Zostaje wykonana praca nad atomem wodoru, która powoduje obrót atomu, a więc $z$-owa składowa pędu i kąt biegunowy zmieniają się, podczas gdy moment pędu zachowuje swoją wartość.

Nawet w stanie podstawowym ($l=0$) atom wodoru ma właściwości magnetyczne z powodu spinu (własnego momentu pędu) elektronu, a moment magnetyczny jest proporcjonalny do jego spinu.

Dla wszystkich elektronów $s=1∕2$, a $m_s=\pm 1∕2$. Jak się przekonamy, nie wszystkie cząstki mają taką samą spinową liczbę kwantową. Na przykład foton posiada spin $1$ ($s=1$), a bozon Higgsa – $0$ ($s=0$).

Elektron ma dodatkowy moment magnetyczny związany ze spinem. Sprzężenie spin-orbita występuje, gdy spinowy moment magnetyczny oddziałuje z orbitalnym momentem magnetycznym elektronu.

Pierwiastki, które należą do tej samej kolumny układu okresowego pierwiastków, mają tak samo wypełnioną zewnętrzną powłokę, a zatem identyczną liczbę elektronów walencyjnych. Na przykład:
Li: $1s^{2}2s^1$ (jeden elektron walencyjny na powłoce $n=2$), Na: $1s^{2}2s2p^{6}3s^1$ (jeden elektron walencyjny na powłoce $n=2$). Zarówno Li, jak i Na należą do pierwszej grupy układu okresowego (leżą w pierwszej kolumnie).

Widma atomowe i cząsteczkowe są określane jako „dyskretne”, ponieważ pozwalają zaobserwować tylko niektóre linie widmowe. W przeciwieństwie do nich widmo światła białego (składającego się z fotonów o wielu częstotliwościach) jest ciągłe, ponieważ obserwuje się ciągły, „tęczowy” rozkład kolorów.

Światło ultrafioletowe składa się z fotonów o względnie wysokich częstotliwościach (niewielkich długościach fal). Zatem energia zaabsorbowanego fotonu i związana z tym energia przejścia ($\Delta E$) w atomie są stosunkowo duże. Dla porównania światło widzialne składa się z fotonów o względnie niższej częstotliwości. W związku z tym zmiana energii w atomie podczas rekombinacji i energia emitowanego fotonu są relatywnie małe.

Dla układów makroskopowych liczby kwantowe są bardzo duże, więc różnica energii ($\Delta E$) pomiędzy sąsiednimi poziomami energetycznymi (sąsiednimi orbitami) jest bardzo mała. Stąd energia uwalniana przy przejściach pomiędzy tymi bliskimi poziomami energii jest zbyt mała, aby mogła zostać wykryta.

Wytwarzanie światła laserowego opiera się na procesie emisji wymuszonej. W tym procesie elektrony w układzie muszą być wcześniej wzbudzone do stanu metastabilnego o wyższej energii, a następujące przejście światła przez układ powoduje emisję wymuszoną, a więc dodatkowe światło.

Odtwarzacz Blu-Ray korzysta z niebieskiego światła laserowego (o stosunkowo krótkich długościach fal) do sondowania wybrzuszeń i wgłębień na dysku, a odtwarzacz CD używa do tego czerwonego światła laserowego. Mniejszy rozmiar wgłębień na dysku odpowiada za większą gęstość zapisu i możliwość przechowywania informacji.

$\left(r,\theta ,\varphi \right)=\left(\sqrt{6},66°,27°\right)$.

Możliwe są wartości: $\pm 3,\pm 2,\pm 1,0$.

$F=-kQq∕r^2$.

$\left(1,1,1\right)$.

Dla orbitalnej liczby kwantowej $l$ dopuszczalne wartości magnetycznej liczby kwantowej to: $m_l=-l,-l+1,\dots ,0,\dots ,l-1,l$. Stąd wynika, że całkowita liczba stanów z orbitalnym momentem pędu, opisanym liczbą kwantową $l$, wynosi $2l+1$. Później, gdy uwzględnimy spin elektronu, całkowita liczba stanów będzie dwukrotnie większa od tej wartości, ponieważ każdemu stanowi z określonym $m_l$ odpowiadają dwa stany związane z dwoma stanami spinu elektronu, opisane liczbami kwantowymi: $m_s=-1∕2,1∕2$.

$\underset{a_0}{\overset{\infty }{\int }}P\left(r\right)dr\approx \mathrm{0,68}$.

Dla $n=2$ liczba stanów o $l=0$ wynosi $1$, a o $l=1$ jest równa $3$. Całkowita liczba stanów wynosi więc $4$.

Stan $3p$ odpowiada $n=3$, $l=2$. Dlatego $\mu ={\mu }_B\sqrt{6}$.

Stosunek ich mas wynosi $1∕207$, więc stosunek ich momentów magnetycznych wynosi $207$. Moment magnetyczny elektronu jest ponad $200$ razy większy niż mionu.

a. Stan $3d$ odpowiada $n=3$, $l=2$, więc $I=\mathrm{4,43}\cdot {10}^{-7}\mathrm{A}$; b. Maksymalny moment siły występuje, gdy moment magnetyczny i wektor zewnętrznego pola magnetycznego są prostopadłe ($sin\theta =1$). W tym przypadku: $\left|\overrightarrow{M}\right|=\mu B=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-26}\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Elektron jest w stanie $n=3$, $l=1$. Minimalna wielkość momentu siły występuje, gdy moment magnetyczny i wektor zewnętrznego pola magnetycznego są możliwie najbardziej równoległe (antyrównoległe) względem siebie. Dzieje się tak, gdy $m_l=\mathrm{\pm 1}$. Wielkość momentu siły wynosi: $\left|\overrightarrow{M}\right|=\mu Bsin\theta$, gdzie $\mu =\mathrm{1,31}\cdot {10}^{-24}\mathrm{J}∕\mathrm{T}$. Dla $m_l=\mathrm{\pm 1}$ otrzymujemy: $\left|\overrightarrow{M}\right|=\mathrm{2,34}\cdot {10}^{21}\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Nieskończenie mała praca $dW$ wykonana przez moment siły $M$ podczas obracania momentu magnetycznego o kąt $-d\theta$ jest równa: $dW=M\cdot \left(-d\theta \right)$, gdzie $M=\left|\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}\right|$. Wykonywana praca odbywa się kosztem spadku energii potencjalnej $E_{\text{p}}$, więc $dW=-d{E}_{\text{p}}$. Całkowitą zmianę energii otrzymujemy przez zsumowanie jej nieskończenie małych zmian: $E_{\text{p}}=-\mu Bcos\theta$, $E_{\text{p}}=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}$.

Dla kierunku spin w górę (w stosunku do dodatniego kierunku osi $z$): $\theta =arc cos\left(S_z∕S\right)=arc cos\left(\frac{1∕2}{\sqrt{3}∕2}\right)=arc cos\left(1∕\sqrt{3}\right)=55°$. Dla kierunku spin w dół otrzymujemy: $\theta =arc cos\left(S_z∕S\right)=arc cos\left(\frac{-1∕2}{\sqrt{3}∕2}\right)=arc cos\left(-1∕\sqrt{3}\right)=125°$.

Magnetyczna spinowa liczba kwantowa jest równa $m_s=\pm 1∕2$, więc składowa $z$-owa momentu magnetycznego wynosi ${\mu }_z=\pm {\mu }_B$. Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania pomiędzy elektronem i zewnętrznym polem magnetycznym wynosi $E_{\text{p}}=\pm {\mu }_{B}B$. Różnica energii pomiędzy tymi stanami jest równa $\Delta E=2{\mu }_{B}B$, tak więc wytwarzana długość fali elektromagnetycznej ma wartość $\lambda =\mathrm{8,38}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\approx 84\mathrm{\mu m}$ (podczerwień).

Zostanie zwiększona $2$ razy.

1. $32$;
2. 
   $\begin{array}{c}\hfill \underset{\text{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}}{\begin{array}{ccccccc}\underset{\_}{l}\hfill & & & & 2(2l+1)\hfill & & \\ 0\hfill & & s\hfill & & 2(0+1)\hfill & =\hfill & 2\hfill \\ 1\hfill & & p\hfill & & 2\left(2+1\right)\hfill & =\hfill & 6\hfill \\ 2\hfill & & d\hfill & & 2(4+1)\hfill & =\hfill & 10\hfill \\ 3\hfill & & f\hfill & & 2(6+1)\hfill & =\hfill & 14\hfill \end{array}}\\ \hfill 32\end{array}$

a. oraz e. Są dozwolone, a pozostałe nie; b. $l=3$ jest niedozwolone dla $n=1$, gdyż $l\le \left(n-1\right)$; c. Nie może być trzech elektronów na podpowłoce $s$, bo $3>2\left(2l+1\right)=2$; d. Nie może być siedmiu elektronów na podpowłoce $p$ (maksymalnie $6$), gdyż $2\left(2l+1\right)=2\left(2+1\right)=6$.

$\left[\text{Ar}\right]4s^{2}3d^6$.

a. Minimalna wartość $l$ wynosi $l=2$, gdyż wtedy $2\left(2l+1\right)=10$; b. $3d^9$.

$\left[\text{He}\right]2s^{2}2p^2$.

Energia jonizacji jest minimalną energią potrzebną do usunięcia (czyli przeniesienia na nieskończoną odległość) jednego elektronu z atomu (lub jonu). Jeden elektron w jonie He⁺ „orbituje” wokół jądra składającego się z dwóch protonów i dwóch neutronów; różnica między nim a atomem wodoru jest taka, że ładunek jądra jonu helu jest dwukrotnie większy ($Z=2$). Stąd energia stanu podstawowego jest równa: $E=Z^2{E}_1=-\mathrm{54,4}\mathrm{eV}$, gdzie $E_1=-\mathrm{13,6}\mathrm{eV}$ jest energią stanu podstawowego atomu wodoru. Energia jonizacji w tym przypadku jest równa bezwzględnej wartości energii w stanie podstawowym. Zatem energia jonizacji jonu He⁺ wynosi $+\mathrm{54,4}\mathrm{eV}$. Podobnie energia potrzebna do usunięcia elektronu w pierwszym stanie wzbudzonym jonu ${\text{Li}}_2^{\text{+}}$ do nieskończoności jest równa ujemnej wartości (lub wartości bezwzględnej) pierwszego wzbudzonego stanu energii jonu wodoropodobnego o ładunku jądra $3e$ ($Z=3$). Wynosi ona: $E=Z^2{E}_2=-\mathrm{3,4}\mathrm{eV}$, gdzie $E_2=-\mathrm{13,6}\mathrm{eV}$ jest energią pierwszego stanu wzbudzonego atomu wodoru. Stąd energia jonizacji jonu ${\text{Li}}_2^{\text{+}}$ wynosi $\mathrm{30,6}\mathrm{eV}$.

Długość fali lasera jest dana przez: $\lambda =hc∕E_{\text{f}}\cdot hc∕\left(-\Delta E\right)$, gdzie $E_{\text{f}}$ jest energią fotonu, a $\Delta E$ różnicą energii. Przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy: $\Delta E=\mathrm{-2,795}\mathrm{eV}$. Znak minus wskazuje, że elektron stracił energię podczas przejścia.

$\Delta E_{L⟶K}\approx {\left(Z-1\right)}^2\cdot \mathrm{10,2}\mathrm{eV}=\mathrm{3,68}\cdot {10}^3\mathrm{eV}$.

Zgodnie z zasadą zachowania energii energia potencjalna elektronu przekształca się całkowicie w energię kinetyczną. Początkowa energia kinetyczna elektronu jest równa zero (elektron był w spoczynku). Zatem energia kinetyczna elektronów tuż przed uderzeniem w tarczę wynosi: $E_{\text{k}}=e\Delta V$. Jeśli całość energii jest przekształcana na promieniowanie hamowania, to częstotliwość emitowanego promieniowania jest maksymalna, a więc: ${\nu }_{\text{max}}=e\Delta V∕h$. Gdy częstotliwość emitowanej fali jest maksymalna, to jej długość jest minimalna, więc: ${\lambda }_{\text{min}}=c∕{\nu }_{\text{max}}=\mathrm{0,1293}\mathrm{nm}$.

Mion jest $200$ razy cięższy niż elektron, ale minimalna długość fali nie zależy od masy, więc długość fali się nie zmieni.

$\mathrm{4,13}\cdot {10}^{-11}\mathrm{m}$ .

$\mathrm{72,5}\mathrm{keV}$.

Liczby atomowe dla Cu i Au to odpowiednio $Z=29$ i $Z=79$. Częstotliwość promieniowania rentgenowskiego fotonów złota jest większa niż miedzi o czynnik: ${\left({\nu }_{\text{Au}}∕{\nu }_{\text{Cu}}\right)}^2={\left(79-1\right)}^2∕{\left(29-1\right)}^2\approx \mathrm{7,8}$. Dlatego długość fali promieniowania rentgenowskiego dla złota jest około ośmiu razy krótsza niż dla miedzi.

a. Jeśli przyjmiemy, że ciało ma taką samą gęstość jak woda, to zostało użytych $\mathrm{1,34}\cdot {10}^{23}$ fotonów; b. $\mathrm{2,52}\mathrm{MW}$.

Najmniejszy kąt odpowiada $l=n-1$ i $m_l=l=n-1$. Stąd $\theta =arc cos\left(\sqrt{\left(n-1\right)∕n}\right)$.

a. Zgodnie z Równaniem 8.1, gdy $r=0$, $E_{\text{p}}\left(r\right)⟶-\infty$, a gdy $r⟶+\infty$, $E_{\text{p}}\left(r\right)=0$; b. Pierwszy wynik sugeruje, że elektron może mieć nieskończoną ujemną energię potencjalną, gdy znajdzie się w położeniu $r=0$. Model kwantowy atomu wodoru jednak na to nie pozwala, ponieważ gęstość prawdopodobieństwa przy $r=0$ wynosi zero.

Rozwiązanie z wykorzystaniem sum jest nieco skomplikowane. Jednak odpowiedź można łatwo znaleźć przez zbadanie matematycznego (indukcyjnego) związku pomiędzy główną liczbą kwantową a całkowitą liczbą stanów z wszystkimi dozwolonymi magnetycznymi liczbami kwantowymi. Dla $n=1$ całkowita liczba stanów wynosi $1$; dla $n=2$ całkowita liczba wynosi $4$ ($1$ dla $l=0$ i $3$ dla $l=1$); gdy $n=3$, całkowita liczba wynosi $9$ i tak dalej. To sugeruje, że całkowita liczba stanów z różnymi magnetycznymi liczbami kwantowymi dla $n$-tej powłoki wynosi $n^2$. Gdy uwzględnimy spin elektronów, całkowita liczba stanów z różnymi magnetycznymi liczbami kwantowymi $m_l$ wynosi $2n^2$, ponieważ każdemu stanowi z ustaloną magnetyczną liczbą kwantową odpowiadają dwa stany związane z dwiema liczbami kwantowymi: $m_s=-1∕2$, $m_s=1∕2$ (nazywane „spin w dół” i „spin w górę”).

$50$.

Maksymalna liczba stanów elektronowych na $n$-tej powłoce atomu, z różnymi magnetycznymi liczbami kwantowymi $m_l$, wynosi $n^2$. Każdemu stanowi z określonym $m_l$ odpowiadają dwa stany związane z dwoma rzutami spinu elektronu, opisane liczbami kwantowymi $m_s=-1∕2$, $m_s=1∕2$. Zatem maksymalna liczba stanów elektronowych na $n$-tej powłoce wynosi $2n^2$.

a., c. oraz e. Są dozwolone, pozostałe nie; b. Nie jest dozwolony, gdyż $l>n$; d. Nie jest dozwolony, ponieważ $7>2\cdot \left(2l+1\right)$.

$\nu =\mathrm{1,8}\cdot {10}^9\mathrm{Hz}$.

Liczba atomowa dla Cu i Ag wynosi odpowiednio $Z=29$ i $Z=47$. Stosunek częstotliwości fotonów promieniowania rentgenowskiego dla srebra i miedzi wynosi:
${\left({\nu }_{\text{Ag}}∕{\nu }_{\text{Cu}}\right)}^2=\mathrm{2,7}$. Stąd wynika, że długość fali rentgenowskiej dla srebra jest około trzy razy krótsza niż dla miedzi.

a. Otrzymujemy $\mathrm{3,24}$; b. $n$ nie jest liczbą całkowitą, dlatego podana długość fali nie może być prawidłowa; c. Ponieważ $n$ nie jest liczbą całkowitą, niemożliwe jest założenie, że linia pochodzi z serii Balmera. Jeśli długość fali nie jest właściwa, to również założenie, że gaz jest wodorem, jest nieprawidłowe (w rzeczywistości jest to sód).