Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax

Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Optyka
    1. 1 Natura światła
      1. Wstęp
      2. 1.1 Rozchodzenie się światła
      3. 1.2 Prawo odbicia
      4. 1.3 Załamanie
      5. 1.4 Całkowite wewnętrzne odbicie
      6. 1.5 Rozszczepienie
      7. 1.6 Zasada Huygensa
      8. 1.7 Polaryzacja
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Optyka geometryczna i tworzenie obrazu
      1. Wstęp
      2. 2.1 Obrazy tworzone przez zwierciadła płaskie
      3. 2.2 Zwierciadła sferyczne
      4. 2.3 Obrazy tworzone przez załamanie promieni światła
      5. 2.4 Cienkie soczewki
      6. 2.5 Oko
      7. 2.6 Aparat fotograficzny
      8. 2.7 Proste przyrządy powiększające
      9. 2.8 Mikroskopy i teleskopy
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 3 Interferencja
      1. Wstęp
      2. 3.1 Doświadczenie Younga z dwiema szczelinami
      3. 3.2 Matematyczny opis interferencji
      4. 3.3 Interferencja na wielu szczelinach
      5. 3.4 Interferencja w cienkich warstwach
      6. 3.5 Interferometr Michelsona
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Dyfrakcja
      1. Wstęp
      2. 4.1 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
      3. 4.2 Natężenie światła w dyfrakcji na pojedynczej szczelinie
      4. 4.3 Dyfrakcja na podwójnej szczelinie
      5. 4.4 Siatki dyfrakcyjne
      6. 4.5 Otwory kołowe i rozdzielczość
      7. 4.6 Dyfrakcja rentgenowska
      8. 4.7 Holografia
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fizyka współczesna
    1. 5 Teoria względności
      1. Wstęp
      2. 5.1 Niezmienność praw fizyki
      3. 5.2 Względność jednoczesności zdarzeń
      4. 5.3 Dylatacja czasu
      5. 5.4 Skrócenie długości w szczególnej teorii względności
      6. 5.5 Transformacja Lorentza
      7. 5.6 Względność prędkości w szczególnej teorii względności
      8. 5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
      9. 5.8 Pęd relatywistyczny
      10. 5.9 Energia relatywistyczna
      11. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    2. 6 Fotony i fale materii
      1. Wstęp
      2. 6.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
      3. 6.2 Efekt fotoelektryczny
      4. 6.3 Efekt Comptona
      5. 6.4 Model atomu wodoru Bohra
      6. 6.5 Fale de Broglie’a
      7. 6.6 Dualizm korpuskularno-falowy
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    3. 7 Mechanika kwantowa
      1. Wstęp
      2. 7.1 Funkcje falowe
      3. 7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
      4. 7.3 Równanie Schrӧdingera
      5. 7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
      6. 7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
      7. 7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 8 Budowa atomu
      1. Wstęp
      2. 8.1 Atom wodoru
      3. 8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu
      4. 8.3 Spin elektronu
      5. 8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków
      6. 8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie
      7. 8.6 Lasery
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    5. 9 Fizyka materii skondensowanej
      1. Wstęp
      2. 9.1 Rodzaje wiązań cząsteczkowych
      3. 9.2 Widma cząsteczkowe
      4. 9.3 Wiązania w ciałach stałych
      5. 9.4 Model elektronów swobodnych w metalach
      6. 9.5 Teoria pasmowa ciał stałych
      7. 9.6 Półprzewodniki i domieszkowanie
      8. 9.7 Przyrządy półprzewodnikowe
      9. 9.8 Nadprzewodnictwo
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 10 Fizyka jądrowa
      1. Wstęp
      2. 10.1 Własności jądra atomowego
      3. 10.2 Energia wiązania jądra
      4. 10.3 Rozpad promieniotwórczy
      5. 10.4 Procesy rozpadu
      6. 10.5 Rozszczepienie jądra atomowego
      7. 10.6 Fuzja jądrowa
      8. 10.7 Skutki biologiczne i zastosowania medyczne promieniowania jądrowego
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 11 Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia
      1. Wstęp
      2. 11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
      3. 11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych
      4. 11.3 Kwarki
      5. 11.4 Akceleratory i detektory cząstek
      6. 11.5 Model standardowy
      7. 11.6 Wielki Wybuch
      8. 11.7 Ewolucja wczesnego Wszechświata
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać atom wodoru, używając funkcji falowej, gęstości prawdopodobieństwa, całkowitej energii i orbitalnego momentu pędu;
  • fizycznego znaczenia każdej z liczb kwantowych (n,l,mln,l,ml) atomu wodoru;
  • rozróżniać opisy Bohra i Schrödingera atomu wodoru;
  • stosować liczby kwantowe do otrzymania istotnych informacji dotyczących atomu wodoru.

Atom wodoru jest najprostszym atomem w przyrodzie, a więc jest dobrym punktem wyjścia do badania atomów i ich struktury. Atom wodoru składa się z pojedynczego, ujemnie naładowanego elektronu, który krąży wokół dodatnio naładowanego protonu (Ilustracja 8.2). W modelu Bohra elektron porusza się wokół protonu po idealnie kołowej orbicie na skutek działania przyciągającej siły Coulomba. Ponieważ proton ma masę około 1800 1800 razy większą niż elektron, porusza się on znacznie słabiej pod wpływem siły pochodzącej od elektronu (analogicznie do układu Ziemia–Słońce, w którym Słońce porusza się nieznacznie w reakcji na siłę wywieraną na nie przez Ziemię). Wyjaśnienie tego efektu za pomocą prawa Newtona jest podane w rozdziale Fotony i fale materii.

Model Bohra atomu wodoru zakłada, że atom posiada proton o ładunku q = plus e, zlokalizowany w środku i elektron o ładunku q = minus e, umieszczony na orbicie, w której środku leży proton.
Ilustracja 8.2 Przedstawienie modelu Bohra dla atomu wodoru.

Przy założeniu, że proton jest nieruchomy, skupimy się na ruchu elektronu. W polu elektrycznym protonu funkcja energii potencjalnej elektronu ma postać

E p r = k e 2 r , E p r = k e 2 r ,
8.1

gdzie k=14πε0k=14πε0 k=1/(4\pi\epsilon_0), a r r jest odległością pomiędzy elektronem i protonem. Jak stwierdziliśmy wcześniej, siła działająca na ciało w polu potencjalnym jest równa ujemnemu gradientowi energii potencjalnej. W przypadku atomu wodoru siła pomiędzy elektronem a protonem jest przyciągającą siłą Coulomba.

Należy zauważyć, że energia potencjalna E p r E p r nie zmienia się w czasie. W rezultacie równanie Schrödingera atomu wodoru redukuje się do dwóch prostych równań: jedno z nich zależy tylko od zmiennych przestrzennych x y z x y z , a drugie tylko od czasu ( t t). (Rozdzielenie funkcji falowej na część zależną tylko od zmiennych przestrzennych i część zależną od czasu w przypadku niezależnej od czasu energii potencjalnej zostało omówione w rozdziale Mechanika kwantowa). Będzie nas obecnie interesować równanie Schrödingera zależne wyłącznie od zmiennych przestrzennych

2 2 m e 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 k e 2 r ψ = E ψ , 2 2 m e 2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 k e 2 r ψ = E ψ , \frac{-\hbar^2}{2m_{\text{e}}} (\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2})-k\frac{e^2}{r}\psi=E\psi\text{,}
8.2

gdzie ψ = ψ x y z ψ= ψ x y z jest funkcją falową elektronu w trójwymiarowej przestrzeni, m e m e oznacza masę elektronu, a E E – jego całkowitą energię. Przypomnijmy jedynie, że całkowita funkcja falowa Ψ = Ψ x y z t Ψ= Ψ x y z t jest iloczynem przestrzennej funkcji falowej ψ = ψ x y z ψ= ψ x y z i funkcji falowej zależnej od czasu ϕ = ϕ t ϕ= ϕ t .

Dodatkowo, niezależna od czasu energia potencjalna E p r E p r jest funkcją sferycznie symetryczną. To sugeruje, że możemy rozwiązać równanie Schrödingera łatwiej, jeśli wprowadzimy współrzędne sferyczne r θ ϕ r θ ϕ zamiast współrzędnych prostokątnych x y z x y z . Układ współrzędnych sferycznych jest przedstawiony na Ilustracji 8.3. W układzie tym zmienna r r jest współrzędną radialną, równą odległości punktu P od początku układu, współrzędna θ θ jest kątem polarnym (względem pionowej osi z z), a ϕ ϕ jest kątem azymutalnym (względem osi x x). Zależność pomiędzy współrzędnymi sferycznymi oraz współrzędnymi prostokątnymi ma postać x = r sin θ cos ϕ x= r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ y= r sin θ sin ϕ , z = r cos θ z= r cos θ .

Układ współrzędnych x y z, wraz z punktem P i wektorem wodzącym r punktu P. Na rysunku współrzędne punktu P są dodatnie. Wektor r jest nachylony pod kątem teta do osi z. Jego rzut na płaszczyznę x y tworzy kąt teta z dodatnią półosią x.
Ilustracja 8.3 Związek pomiędzy sferycznym układem współrzędnych i prostokątnym układem współrzędnych.

Współczynnik r sin θ r sin θ jest wartością rzutu wektora na płaszczyznę x y xy. Współrzędne x x i y y otrzymuje się, rzutując ten wektor odpowiednio na osie x x i y y. Odwrotna transformacja daje

r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arc cos z r ϕ = arc cos x x 2 + y 2 . r= x 2 + y 2 + z 2 θ = arc cos z r ϕ = arc cos x x 2 + y 2 .

Równanie falowe Schrödingera dla atomu wodoru we współrzędnych sferycznych można znaleźć w bardziej zaawansowanych podręcznikach fizyki współczesnej i nie będziemy rozpatrywać go tutaj szczegółowo. Jednakże można pokazać, że ze względu na symetrię sferyczną E p r E p r równanie to sprowadza się do trzech prostych równań – dla każdej z trzech współrzędnych r r, θ θ i ϕ ϕ. Rozwiązania dla funkcji falowej niezależnej od czasu zapisywane są jako iloczyn trzech funkcji

ψ r θ ϕ = R r Θ θ Φ ϕ , ψ r θ ϕ = R r Θ θ Φ ϕ ,

gdzie R R to funkcja radialna, zależna jedynie od współrzędnej radialnej r r; Θ Θ jest funkcją polarną, zależną jedynie od współrzędnej polarnej θ θ; a Φ Φ jest funkcją jedynie azymutalnej współrzędnej ϕ ϕ. Dopuszczalne rozwiązania równania Schrödingera ψ r θ ϕ ψ r θ ϕ numerowane są liczbami kwantowymi n n, l l, i m l m l

n : główna liczba kwantowa, l : poboczna (orbitalna) liczba kwantowa, m l : magnetyczna liczba kwantowa. n : główna liczba kwantowa, l : poboczna (orbitalna) liczba kwantowa, m l : magnetyczna liczba kwantowa.

Uzasadnienia tych nazw zostaną podane w następnym rozdziale. Funkcja radialna R R zależy tylko od n n i l l, funkcja polarna Θ Θ zależy tylko od l l i m l m l , a funkcja Φ Φ tylko od m l m l . Zależności poszczególnych funkcji od liczb kwantowych są oznaczone indeksami

ψ n l m l r θ ϕ = R n l r Θ l m l θ Φ m l ϕ . ψ n l m l r θ ϕ = R n l r Θ l m l θ Φ m l ϕ . \psi_{n\sep l\sep m_l} (r, \theta, \phi) = R_{n\sep l} (r) \Theta_{l\sep m_l} (\theta) \Phi_{m_l} (\phi) \text{.}

Nie wszystkie zestawy liczb kwantowych n l m l n l m l są możliwe. Na przykład orbitalna liczba kwantowa l l nie może być większa ani równa głównej liczbie kwantowej n n n ( l < n l < n l<n ). Możliwe wartości liczb kwantowych wynoszą

n = 1 2 3 l = 0 1 2 n 1 m l = l l + 1 0 + l 1 + l . n = 1 2 3 l = 0 1 2 n 1 m l = l l + 1 0 + l 1 + l . n = 1 2 3 l = 0 1 2 n 1 m l = l l + 1 0 + l 1 + l . \begin{align} n &= 1, 2, 3, \dots \\ l &= 0, 1, 2, \dots, n-1 \\ m_l &= -l, -l+1, \dots, 0, \dots, +l-1, +l \text{.} \end{align}

Dla stanu podstawowego (stanu o najniższej energii) n = 1 n=1, l = 0 l=0 i m l = 0 m l =0. Jest tylko jeden taki stan kwantowy; funkcją falową dla n = 1 n=1 jest ψ 100 ψ 100 . Natomiast w przypadku n = 2 n=2 mamy

l = 0 m l = 0 , l = 1 m l = -1 0 1 . l = 0 m l = 0 , l = 1 m l = -1 0 1 . l = 0 m l = 0 , l = 1 m l = -1 0 1 . \begin{align} l &= 0 \text{, } m_l=0 \text{,} \\ l &= 1 \text{, } m_l=-1, 0, 1 \text{.} \end{align}

Dlatego dla stanu n = 2 n=2 dozwolone są stany ψ 200 ψ 200 , ψ 21 1 ψ 21 1 , ψ 210 ψ 210 i ψ 211 ψ 211 . Przykładowe funkcje falowe dla atomu wodoru podano w Tabeli 8.1. Należy zauważyć, że niektóre z tych wyrażeń zawierają symbol i i, który reprezentuje -1 -1 , jednakże gdy funkcje falowe zostaną wykorzystane do obliczania odpowiednich prawdopodobieństw, w ostatecznym rozwiązaniu nie pojawią się liczby zespolone.

n = 1 l = 0 m l = 0 n = 1 l = 0 m l = 0 ψ 100 = 1 π 1 a 0 3 2 e r a 0 ψ 100 = 1 π 1 a 0 3 2 e r a 0
n = 2 l = 0 m l = 0 n = 2 l = 0 m l = 0 ψ 200 = 1 4 2 π 1 a 0 3 2 2 r a 0 e r 2 a 0 ψ 200 = 1 4 2 π 1 a 0 3 2 2 r a 0 e r 2 a 0
n = 2 l = 1 m l = -1 n = 2 l = 1 m l = -1 ψ 21 1 = 1 8 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 sin θ e i ϕ ψ 21 1 = 1 8 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 sin θ e i ϕ
n = 2 l = 1 m l = 0 n = 2 l = 1 m l = 0 ψ 210 = 1 4 2 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 cos θ ψ 210 = 1 4 2 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 cos θ
n = 2 l = 1 m l = 1 n = 2 l = 1 m l = 1 ψ 211 = 1 8 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 sin θ e i ϕ ψ 211 = 1 8 π 1 a 0 3 2 r a 0 e r 2 a 0 sin θ e i ϕ
Tabela 8.1 Funkcje falowe atomu wodoru.

Fizyczne znaczenie liczb kwantowych

Każda z trzech liczb kwantowych atomu wodoru n l m l n l m l związana jest z określoną wielkością fizyczną. Główna liczba kwantowa (ang. principal quantum number ) związana jest z całkowitą energią elektronu – E n E n . Zgodnie z równaniem Schrödingera

E n = m e k 2 e 4 2 2 1 n 2 = E 0 1 n 2 , E n = m e k 2 e 4 2 2 1 n 2 = E 0 1 n 2 ,
8.3

gdzie E 0 = 13,6 eV E 0 = 13,6 eV . Zauważmy, że wyrażenie to jest identyczne ze wzorem określającym energię elektronu w modelu Bohra. Zatem, podobnie jak w modelu Bohra, elektron w określonym stanie energii nie wysyła promieniowania.

Przykład 8.1

Ile jest możliwych stanów?

Ile jest możliwych stanów kwantowych w atomie wodoru, odpowiadających głównej liczbie kwantowej n = 3 n=3? Jakie są energie tych stanów?

Strategia rozwiązania

Dla atomu wodoru o danej energii liczba dozwolonych stanów zależy od orbitalnego momentu pędu. Możemy policzyć te stany dla kolejnych wartości głównej liczby kwantowej n = 1 2 3 n = 1 2 3 . Ponieważ całkowita energia zależy jedynie od głównej liczby kwantowej, możemy wykorzystać Równanie 8.3 i główną liczbę kwantową liczonych stanów.

Rozwiązanie

Jeśli n = 3 n=3, dozwolone wartości l l wynoszą 0 0, 1 1 i 2 2. Jeżeli l = 0 l=0, to m l = 0 m l =0 ( 1 1 stan). Jeżeli l = 1 l=1, to m l = -1 0 + 1 m l = -1 0 + 1 ( 3 3 stany), a jeśli l = 2 l=2, to m l = -2 -1 0 + 1 + 2 m l = -2 -1 0 + 1 + 2 ( 5 5 stanów). W sumie mamy 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 =9 dozwolonych stanów. Ponieważ całkowita energia zależy tylko od głównej liczby kwantowej, n = 3 n=3, energia każdego z tych stanów jest równa
E 3 = E 0 1 3 2 = 13,6 eV 9 = 1,51 eV . E 3 = E 0 1 3 2 = 13,6 eV 9 = 1,51 eV .

Znaczenie

Elektron w atomie wodoru może znajdować się w stanach o różnej wartości orbitalnego momentu pędu, odpowiadających tej samej energii. Wraz ze wzrostem wartości orbitalnego momentu pędu rośnie liczba dozwolonych stanów o takiej samej energii.

Poboczna liczba kwantowa (ang. angular momentum orbital quantum number ) l l związana jest z orbitalnym momentem pędu elektronu w atomie wodoru. Teoria kwantowa mówi, że gdy atom wodoru jest w stanie ψ n l m l ψ n l m l \psi_{n\sep l \sep m_l} , wartość jego orbitalnego momentu pędu wynosi

L = l l + 1 , L = l l + 1 , L=\sqrt{l(l+1)}\hbar\text{,}
8.4

gdzie

l = 0 1 2 n 1 . l = 0 1 2 n 1 . l=0, 1, 2, \dots, n-1 \text{.}

Ten wynik odbiega od modelu Bohra, w którym kwantowanie momentu pędu następuje zgodnie z regułą L = n L = n L = n \hbar , gdzie n = 1 2 3 n = 1 2 3 n=1,2,3,\dots

Stany kwantowe z różnymi wartościami orbitalnego momentu pędu są rozróżniane za pomocą notacji spektroskopowej (ang. spectroscopic notation ; Tabela 8.2). Oznaczenia s s, p p, d d, f f wynikają z pierwszych historycznych prób sklasyfikowania atomowych linii widmowych (litery pochodzą odpowiednio od angielskich słów sharp, principal, diffuse i fundamental). Po f f dalsze litery następują w porządku alfabetycznym.

Stan podstawowy atomu wodoru jest oznaczony jako 1 s 1s, gdzie 1 1 oznacza poziom energii ( n = 1 n=1) a s s orbitalny moment pędu ( l = 0 l=0). Gdy n = 2 n=2, l l może być równe 0 0 lub 1 1. Stan n = 2 n=2, l = 0 l=0 jest oznaczony jako 2 s 2s, stan n = 2 n=2, l = 1 l=1 oznaczamy jako 2 p 2p. Gdy n = 3 n=3, l l może wynosić 0 0, 1 1 lub 2 2, a możliwymi stanami są odpowiednio 3 s 3s, 3 p 3p lub 3 d 3d. Oznaczenia dla innych stanów kwantowych podano w Tabeli 8.3.

Magnetyczna liczba kwantowa (ang. angular momentum projection quantum number ) m l m l związana jest z kątem azymutalnym ϕ ϕ (patrz Ilustracja 8.3) i z z z -ową składową momentu pędu elektronu, równą rzutowi momentu pędu na oś z z. Składowa ta wynosi

L z = m l , L z = m l , L_z=m_l\hbar\text{,}
8.5

gdzie

m l = l l + 1 0 + l 1 + l . m l = l l + 1 0 + l 1 + l . m_l = -l, -l+1, \dots, 0, \dots, +l-1, +l \text{.}

Z drugiej strony z z-składowa orbitalnego momentu pędu, równa rzutowi momentu pędu na oś z z, jest związana z wielkością orbitalnego momentu pędu zależnością

L z = L cos θ , L z = L cos θ ,
8.6

gdzie θ θ jest kątem pomiędzy wektorem momentu pędu i wektorem osi z z. Kierunek osi z z określony jest doświadczalnie – to znaczy, że to eksperymentator decyduje o kierunku tej składowej. Na przykład kierunek osi z z może być kierunkiem zewnętrznego pola magnetycznego. Zależność pomiędzy L z L z i L L przedstawiono na Ilustracji 8.4.

Układ współrzędnych x y z. Wektor L jest nachylony pod kątem teta do dodatniej osi z a składowa zetowa wynosi L sub z równa się m razy h kreślone. Składowe x-owa i y-owa mają wartości dodatnie, ale nie są opisane.
Ilustracja 8.4 Składowa z z z momentu pędu jest kwantowana własną liczbą kwantową m l m l m_l .
Orbitalna liczba kwantowa l l Wartość momentu pędu Stan Nazwa spektroskopowa
0 0 0 0 s s Sharp (ostra)
1 1 2 h 2 h p p Principal (główna)
2 2 6 h 6 h d d Diffuse (rozmyta)
3 3 12 h 12 h f f Fundamental (podstawowa)
4 4 20 h 20 h g g
5 5 30 h 30 h h h
Tabela 8.2 Nazwy spektroskopowe i orbitalny moment pędu.
l = 0 l=0 l = 1 l=1 l = 2 l=2 l = 3 l=3 l = 4 l=4 l = 5 l=5
n = 1 n=1 1 s 1s
n = 2 n=2 2 s 2s 2 p 2p
n = 3 n=3 3 s 3s 3 p 3p 3 d 3d
n = 4 n=4 4 s 4s 4 p 4p 4 d 4d 4 f 4f
n = 5 n=5 5 s 5s 5 p 5p 5 d 5d 5 f 5f 5 g 5g
n = 6 n=6 6 s 6s 6 p 6p 6 d 6d 6 f 6f 6 g 6g 6 h 6h
Tabela 8.3 Spektroskopowy opis stanów kwantowych.

Kwantowanie L z L z równoważne jest kwantowaniu kąta θ θ \theta . Podstawiając l l + 1 l l + 1 \sqrt{l(l+1)}\hbar za L L L i m l m l m_l \hbar za L z L z L_z z Równania 8.6, otrzymujemy

m l = l l + 1 cos θ . m l = l l + 1 cos θ . m_l\hbar=\sqrt{l(l+1)}\hbar\cos\theta\text{.}
8.7

Zatem kąt θ θ przyjmuje określone (skwantowane) wartości

θ = arc cos m l l l + 1 . θ= arc cos m l l l + 1 .
8.8

Należy zauważyć, że zarówno kąt polarny ( θ θ), jak i rzut wektora momentu pędu na oś z z ( L z L z ), są skwantowane.

Kwantowanie kąta polarnego dla stanu l = 3 l=3 przedstawione jest na Ilustracji 8.5. Wektor orbitalnego momentu pędu leży na powierzchni stożka o kącie rozwarcia 2 θ 2θ, kąt θ θ jest kątem między osią stożka (osią z z) a tworzącą, czyli jest połową kąta rozwarcia stożka (chyba że m l = 0 m l =0, wtedy kąt θ = 90 ° θ= 90 ° , wektor natomiast jest prostopadły do osi z z).

Pokazano siedem wektorów, wszystkie o długości L, tworzące 7 różnych kątów z osią z. Składowe z-owe wektorów są pokazane jako linie wychodzące z wierzchołka wektora i ich oznaczenia są na osi z. Dla czterech wektorów kąt pomiędzy osią z i wektorem również został oznaczony. Składowe z-owe mają wartość 3 h kreślone dla kąta teta sub 3, 2 h kreślone dla kąta teta sub 2, h kreślone dla kata teta sub 1, zero dla kąta teta sub zero, minus h kreślone, minus 2 h kreślone i minus 3 h kreślone.
Ilustracja 8.5 Kwantowanie orbitalnego momentu pędu. Każdy wektor leży na powierzchni stożka, którego wysokość oznaczono na osi z z z .

Szczegółowa analiza momentu pędu wykazuje, że nie możemy poznać jednocześnie wszystkich trzech jego składowych. Jeśli ustaliliśmy, że rzut momentu pędu na oś z z ( z z-owa składowa orbitalnego momentu pędu) przyjmuje określoną wartość, która zależy od liczby kwantowej m l m l , to nie możemy jednocześnie wyznaczyć rzutów momentu pędu na osie x x i y y, czyli jego składowych L x L x i L y L y . W rezultacie, dokładny kierunek wektora orbitalnego momentu pędu jest nieznany.

Przykład 8.2

Jakie są dozwolone kierunki wektora momentu pędu L L \vec{L} ?

Obliczmy kąt, jaki tworzy wektor momentu pędu z osią z z dla l = 1 l=1, jak to pokazano na Ilustracji 8.6.
Rysunek pokazuje trzy możliwe wartości składowych momentu pędu wzdłuż osi z. Pokazano górną orbitę kołową dla m sub t = 1 przy L sub z. Wektor L tworzy kąt teta 1 z osią z. Promień orbity jest składową L prostopadłego do osi z. Pokazano środkową orbitę kołową dla m sub t = 0. Leży ona w płaszczyźnie x y. Wektor L Tworzy kąt teta 2, tworzący kąt 90 stopni z osią z. Promień orbity wynosi L. Pokazano najniżej leżącą orbitę kołową dla m sub t = -1 dla odległości L sub z. Wektor L tworzy kąt teta 3 z osią z. Promień orbity jest składową L prostopadłą do osi z.
Ilustracja 8.6 Składowa momentu pędu wzdłuż osi z z z (zdefiniowanej przez kierunek pola magnetycznego) może mieć tylko pewne określone wartości. Są one pokazane dla l = 1 l = 1 , dla którego m l = −1 , 0 , + 1 m l = −1 , 0 , + 1 . Kierunek wektora L L jest skwantowany w tym sensie, że dozwolone są tylko niektóre kąty, jakie ten wektor tworzy z osią z z z .

Strategia rozwiązania

Wektory L L i L z L z (składowa wektorowa w kierunku z z) tworzą trójkąt prostokątny, w którym L L jest przeciwprostokątną, a L z L z przyległym bokiem. Stosunek L z L z do L = L L= L jest cosinusem szukanego kąta. Wielkości L L i L z L z są dane przez
L = l l + 1  i  L z = m l . L = l l + 1  i  L z = m l . L=\sqrt{l(l+1)}\hbar\text{ i }L_z=m_l\hbar\text{.}

Rozwiązanie

Dla l = 1 l=1 m l m l może wynosić + 1 +1, 0 0 lub -1 -1. Zatem L L ma wartość daną wzorem
L = l l + 1 = 2 , L = l l + 1 = 2 , L=\sqrt{l(l+1)}\hbar=\sqrt{2}\hbar\text{,}

a wielkość L z L z może mieć trzy wartości

L z = m l = m l = + 1 , 0 m l = 0 , m l = 1 . L z = m l = m l = + 1 , 0 m l = 0 , m l = 1 . L_z = m_l \hbar = \left{\begin{matrix} \hbar, m_l = +1 \text{,} \\ 0, m_l = 0 \text{,} \\ - \hbar, m_l = -1 \text{.} \end{matrix} \right.

Jak widać na Ilustracji 8.6, cos θ = L z L cos θ = L z L , więc dla m l = + 1 m l = + 1 mamy

cos θ 1 = L z L = 2 = 1 2 = 0,707 . cos θ 1 = L z L = 2 = 1 2 = 0,707 . \cos\theta_1=\frac{L_z}{L}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}\hbar}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\num{0,707}\text{.}

A zatem

θ 1 = arc cos 0,707 = 45 ° . θ 1 = arc cos 0,707 = 45 ° .

Podobnie dla m l = 0 m l =0 znajdziemy cos θ 2 = 0 cos θ 2 =0. To daje

θ 2 = arc cos 0 = 90 ° . θ 2 = arc cos 0 = 90 ° .

Wreszcie dla m l = -1 m l =-1 mamy

cos θ 3 = L z L = 2 = 1 2 = 0,707 , cos θ 3 = L z L = 2 = 1 2 = 0,707 , \cos\theta_3=\frac{L_z}{L}=\frac{-\hbar}{\sqrt{2}\hbar}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\num{0,707}\text{,}

więc

θ 3 = arc cos 0,707 = 135 ° . θ 3 = arc cos 0,707 = 135 ° .

Znaczenie

Kąty te są zgodne z przedstawionymi na rysunku. Jak widać, tylko kąt względem osi z z jest skwantowany. Wektor momentu pędu L L, o ile tworzy odpowiedni kąt z osią z z, może wskazywać dowolny kierunek. W takim razie wektory orbitalnego momentu pędu leżą na powierzchniach stożków, jak pokazano na rysunku. Omawianym przykładem możemy też zilustrować zasadę odpowiedniości Bohra. Zwróćmy uwagę, że najmniejszy kąt (w naszym przykładzie θ1θ1 \theta_1) jest określony przez maksymalną wartość m l = l m l =l. Dla tego kąta
cos θ = L z L = l l l + 1 , cos θ = L z L = l l l + 1 ,

a dla bardzo dużych l l można go zaokrąglić do 1 1. Jeśli cos θ = 1 cos θ =1, to θ = 0 ° θ= 0 ° . Ponadto w przypadku dużej wartości l l istnieje bardzo dużo wartości m l m l , dzięki czemu praktycznie wszystkie kąty stają się możliwe.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.1

Czy wielkość L z L z może być równa L L?

Używanie funkcji falowej do przewidywania

Jak widzieliśmy wcześniej, mechanikę kwantową możemy zastosować do przewidywania prawdopodobieństwa zdarzeń fizycznych z wykorzystaniem funkcji prawdopodobieństwa. Poprawne jest zatem stwierdzenie „elektron znajduje się w danej objętości w danym czasie z określonym prawdopodobieństwem”, ale nie – „elektron znajduje się w tym czasie w położeniu x y z x y z ”. W celu określenia prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie wodoru w objętości danego obszaru przestrzeni konieczne jest scałkowanie gęstości prawdopodobieństwa ψ n l m l 2 ψ n l m l 2 \abs{\psi_{n\sep l\sep m_l}}^2 po tej objętości

prawdopodobieństwo = objętość ψ n l m l 2 d V , prawdopodobieństwo = objętość ψ n l m l 2 d V , \text{prawdopodobieństwo} = \iiint_{\text{objętość}}\abs{\psi_{n\sep l\sep m_l}}^2\d V \text{,}
8.9

gdzie d V dV jest nieskończenie małym elementem objętości. Jeśli całka jest obliczana dla całej przestrzeni, wynik wynosi 1 1, ponieważ prawdopodobieństwo tego, że cząstka jest położona gdziekolwiek, wynosi 1 1 1 (warunek normalizacji). Występująca we wzorze na prawdopodobieństwo wartość bezwzględna eliminuje występowanie i = -1 i= -1 w wyniku obliczeń.

Rozważmy elektron w stanie z zerowym momentem pędu ( l = 0 l=0). W tym przypadku funkcja falowa elektronu zależy tylko od współrzędnej radialnej r r ( r r jest odległością danego punktu od jądra, patrz stany ψ 1 0 0 ψ 1 0 0 \psi_{1\sep 0\sep 0} i ψ 2 0 0 ψ 2 0 0 \psi_{2\sep 0\sep 0} w Tabeli 8.1). Niech element d V dV odpowiada nieskończenie małej objętości sferycznej powłoki o promieniu r r, o nieskończenie małej grubości d r dr, którą można zapisać jako

d V = 4 π r 2 d r . d V = 4 π r 2 d r .
8.10

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w obszarze od r r do r + d r r+ d r („w przybliżeniu w położeniu r r”) jest równe

P r d r = ψ n 0 0 4 π r 2 d r . P r d r = ψ n 0 0 4 π r 2 d r . P\apply(r)\d r = \abs{\psi_{n\sep 0\sep 0}}4\pi r^2\d r \text{.}
8.11

P r P r nazywamy radialną funkcją gęstości prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwa na jednostkę długości). W stanie podstawowym atomu wodoru prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w obszarze od r r do r + d r r+ d r jest więc równe

ψ 1 0 0 2 4 π r 2 d r = 4 a 0 3 r 2 exp 2 r a 0 d r , ψ 1 0 0 2 4 π r 2 d r = 4 a 0 3 r 2 exp 2 r a 0 d r , \abs{\psi_{1\sep 0\sep 0}}^2 4\pi r^2 \d r = \frac{4}{a_0^3}r^2 \exp(\frac{-2r}{a_0})\d r \text{,}
8.12

gdzie a 0 = 0,5 Å a 0 = 0,5 Å a_0=\SI{0,5}{\angstrom} . Radialna funkcja gęstości prawdopodobieństwa P r P r jest przedstawiona na Ilustracji 8.7. Obszar pod krzywą pomiędzy dwiema wartościami promienia, r 1 r 1 i r 2 r 2 , daje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w tym przedziale odległości od jądra. Aby znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość r r, przyrównujemy pierwszą pochodną tej funkcji do zera ( d P d r = 0 d P d r =0) i obliczamy r r spełniające warunek r = a 0 r= a 0 . Zauważmy, że najbardziej prawdopodobna odległość elektronu od jądra nie jest równa średniej (lub oczekiwanej) wartości r r, ponieważ funkcja ψ 1 0 0 2 ψ 1 0 0 2 \abs{\psi_{1\sep 0\sep 0}}^2 nie jest symetryczna względem wartości a 0 a 0 , dla której ma ona maksimum.

Wykres funkcji P jako funkcji r. Dla r = 0 funkcja wynosi, osiąga maksymalną wartość dla r = a sub 0, następnie stopniowo maleje i asymptotycznie zbliża się do zera dla dużych r. Maksymalna wartość funkcji jest osiągana dla najbardziej prawdopodobnego r. Zaznaczono powierzchnię pod wykresem od r sub 1 do r sub 2.
Ilustracja 8.7 Radialna funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego atomu wodoru.

Jeśli elektron ma orbitalny moment pędu ( l 0 l0), funkcje falowe reprezentujące elektron zależą od kątów θ θ i ϕ ϕ; czyli ψ n l m l = ψ n l m l r θ ϕ ψ n l m l = ψ n l m l r θ ϕ \psi_{n\sep l\sep m_l}=\psi_{n\sep l\sep m_l}\apply(r,\theta,\phi) . Orbitale atomowe dla trzech stanów, gdzie n = 2 n=2 i l = 1 l = 1 l=1 , pokazane są na Ilustracji 8.8. Orbital atomowy to obszar przestrzeni, w którym zawiera się pewien procent (zwykle 90 % 90%) prawdopodobieństwa znalezienia się elektronu (orbitale atomowe czasami określa się jako „chmury” gęstości prawdopodobieństwa). Należy zauważyć, że te rozkłady mają wyraźne wyróżnione kierunki. Ta kierunkowość jest ważna dla chemików podczas analizy, w jaki sposób atomy wiążą się ze sobą, tworząc cząsteczki.

Diagram pokazuje kształty orbitali p. Orbitale mają postać hantli leżących wzdłuż osi x, y i z.
Ilustracja 8.8 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla trzech stanów przy n = 2 n = 2 i l = 1 l = 1 . Rozkłady są skierowane wzdłuż (a) osi x x x , (b) osi y y y oraz (c) osi z z z .

Nieco inną reprezentację funkcji falowej przedstawiono na Ilustracji 8.9. W tym przypadku jasne i ciemne obszary wskazują miejsca odpowiednio o stosunkowo dużym i małym prawdopodobieństwie znalezienia elektronu. W przeciwieństwie do modelu atomu wodoru Bohra elektron nie porusza się wokół jądra (protonu) po ściśle określonym torze. Zasada nieoznaczoności sprawia, że nie jest możliwe opisanie, jak elektron przedostaje się z jednego miejsca do drugiego.

Figura pokazuje chmurę gęstości prawdopodobieństwa dla elektronów o n równym 1, 2 i 3 i l równym 0, 1 i 2. Dla n=1, l=0 rozkład ma symetrię sferyczną, jaśniejszy w środku i wraz ze wzrostem promienia kolor stopniowo ciemnieje. Dla n=2, l=0 rozkład ma symetrię sferyczną, posiada sferyczny, koncentryczny węzeł. Węzeł widoczny jest jako czarne kółko w środku chmury. Chmura jest jaśniejsza w środku, na zewnątrz węzła kolor jaśnieje (ale nie jest tak jasny jak w środku chmury), następnie ciemnieje wraz ze wzrostem r. Dla n=2, l=1 węzeł ma postać płaszczyzny, leżącej wzdłuż średnicy chmury, mającej postać czarnej linii posiadającej wcięcia przy krawędziach. Chmura jest najjaśniejsza w środku, pod i nad węzłem. Dla n=3, l=0 rozkład ma symetrię sferyczną z dwoma sferycznymi węzłami. Węzeł ma postać czarnego koła wewnątrz chmury. Chmura jest jaśniejsza w środku, węzeł jest carny, kolor jaśnieje na zewnątrz węzła, drugi węzeł jest czarny, na zewnątrz drugiego węzła kolor znowu jaśnieje, a następnie ciemnieje wraz ze wzrostem r. Lokalne maksima (w środku, pomiędzy węzłami, na zewnątrz węzłów) mają coraz mniejsze natężenia. Stan n=3, l=2 posiada dwa koncentryczne węzły i płaski węzeł wzdłuż średnicy. Chmura jest jaśniejsza w środku koncentrycznego węzła. Jasność drugiego maksimum lokalnego ma postać płata powyżej i poniżej węzła. Dla n=3, l=2 mamy dwa węzły w postaci płaszczyzn, które wyglądają jak X naniesiony na chmurę. Ćwiartki chmury są mocno wcięte na krawędziach, tworząc zaokrąglone płaty. Chmura jest najjaśniejsza w środku.
Ilustracja 8.9 Chmura prawdopodobieństwa dla elektronu w stanie podstawowym i w kilku stanach wzbudzonych atomu wodoru. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu oznaczono odcieniem koloru; im kolor jaśniejszy, tym większa szansa znalezienia elektronu.
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.