Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 38.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • dlaczego atom wodoru ma właściwości magnetyczne;
  • dlaczego poziomy energetyczne atomu wodoru związane z orbitalnym momentem pędu są rozszczepiane przez zewnętrzne pole magnetyczne;
  • używać liczb kwantowych do obliczania wielkości i kierunku orbitalnego dipolowego momentu magnetycznego atomu wodoru.

W modelu atomu wodoru Bohra elektron porusza się po orbicie kołowej wokół protonu. Elektron przechodzi przez dany punkt toru ruchu cyklicznie, w ściśle określonych odstępach czasu, co pozwala obliczyć natężenie I I prądu związanego z jego ruchem. Elektron, który obiega proton w atomie wodoru, zachowuje się zatem analogicznie do prądu przepływającego przez kołowy przewód (Ilustracja 8.10). Wcześniej, podczas nauki o magnetyzmie, dowiedzieliśmy się, że prąd płynący w przewodzie wytwarza pole magnetyczne. Analogicznie możemy stwierdzić, że atom wodoru wytwarza pole magnetyczne i tym samym oddziałuje z innymi polami magnetycznymi.

Figura (a) pokazuje pętlę z prądem. Prąd o natężeniu I płynie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jeśli patrzymy na rysunek z góry. Wektor mi skierowany jest w górę i umiejscowiony jest w środku pętli. Figura (b) pokazuje atom wodoru jako elektron, mający postać kuleczki opisanej jako minus e, wirującej po orbicie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jeśli rysunek oglądany jest z góry. Kuleczka, wektor mi skierowany w dół oraz wektor L skierowany w górę znajdują się w centrum orbity.
Ilustracja 8.10 (a) Prąd płynący przez przewód w kształcie pętli jest analogiczny do (b) elektronu krążącego wokół protonu w atomie wodoru.

Orbitalny magnetyczny moment dipolowy (ang. orbital magnetic dipole moment ) jest miarą wielkości pola magnetycznego wytworzonego przez ruch orbitalny elektronu, czyli przez orbitalny moment pędu. Zgodnie z podrozdziałem Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem wielkość orbitalnego magnetycznego momentu dipolowego (w skrócie – momentu magnetycznego) pętli z prądem jest równa

μ = I ⁢ A , μ= I ⁢ A ,
8.13

gdzie I I jest natężeniem prądu, a A A oznacza pole powierzchni pętli. Natężenie prądu I I związane z elektronem krążącym po orbicie wokół protonu w atomie wodoru wynosi

I = e T , I= e T ,
8.14

gdzie e e jest wartością (bezwzględną) ładunku elektronu, a T T jego okresem obiegu po orbicie. Jeśli założymy, że elektron porusza się po doskonałej orbicie kołowej, jego okres orbitalny wynosi

T = 2 ⁢ π ⁢ r v , T= 2 ⁢ π ⁢ r v ,
8.15

gdzie r r jest promieniem orbity, a v v jest szybkością elektronu na orbicie. Biorąc pod uwagę, że powierzchnia koła jest równa π ⁢ r 2 π⁢ r 2 , bezwzględna wartość momentu magnetycznego wynosi

μ = I ⁢ A = e 2 ⁢ π ⁢ r ∕ v ⁢ π ⁢ r 2 = e ⁢ v ⁢ r 2 . μ = I ⁢ A = e 2 ⁢ π ⁢ r ∕ v ⁢ π ⁢ r 2 = e ⁢ v ⁢ r 2 . \mu=IA=\frac{e}{2\pi r/v} \pi r^2 = \frac{evr}{2}\text{.}
8.16

Powyższe równanie pozwala wyrazić wartość momentu magnetycznego μ μ poprzez wartość orbitalnego momentu pędu L L ( L → = r → × p → L → = r → × p → ). Na orbicie kołowej elektronu wektor położenia r → r → i wektor pędu p → p → tworzą kąt prosty. Tak więc wartość orbitalnego momentu pędu jest równa

L → = r → × p → = r ⁢ p ⁢ sin θ = r ⁢ p = r ⁢ m e ⁢ v . L → = r → × p → = r ⁢ p ⁢ sin θ = r ⁢ p = r ⁢ m e ⁢ v . \abs{\vec{L}}=\abs{\vec{r}\times\vec{p}}=rp\sin\theta=rp=rm_{\text{e}}v\text{.}
8.17

Łącząc te dwa równania, otrzymujemy

μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L . μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L . \mu=\frac{e}{2m_{\text{e}}}L\text{.}
8.18

W pełnej, wektorowej postaci to wyrażenie zapisuje się jako

μ → = − e 2 ⁢ m e ⁢ L → . μ → = − e 2 ⁢ m e ⁢ L → . \vec{\mu}=-\frac{e}{2m_{\text{e}}}\vec{L}\text{.}
8.19

Znak „–” pojawia się dlatego, że elektron ma ładunek ujemny. Jak pokazano na Ilustracji 8.10 (b), kierunek momentu magnetycznego elektronu jest przeciwny do kierunku momentu pędu. Zauważmy, że związek między μ → μ → i L → L → w Równaniu 8.19 w modelu atomu wodoru Bohra jest niezależny od promienia orbity.

Zgodnie z mechaniką kwantową moment magnetyczny może być wyrażony poprzez orbitalną liczbę kwantową l l. Z Równania 8.18 i Równania 8.4 otrzymujemy, że wielkość momentu magnetycznego wynosi

μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L = e 2 ⁢ m e ⁢ l ⁢ l + 1 ⁢ ℏ = μ B ⁢ l ⁢ l + 1 . μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L = e 2 ⁢ m e ⁢ l ⁢ l + 1 ⁢ ℏ = μ B ⁢ l ⁢ l + 1 . \mu=\frac{e}{2m_{\text{e}}} L = \frac{e}{2m_{\text{e}}}\sqrt{l(l+1)}\hbar =\mu_B\sqrt{l(l+1)}\text{.}
8.20

Podobnie z z z -owa składowa momentu magnetycznego jest równa

μ z = − e 2 ⁢ m e ⁢ L z = − e 2 ⁢ m e ⁢ m l ⁢ ℏ = − μ B ⁢ m l . μ z = − e 2 ⁢ m e ⁢ L z = − e 2 ⁢ m e ⁢ m l ⁢ ℏ = − μ B ⁢ m l . \mu_z=-\frac{e}{2m_{\text{e}}} L_z = -\frac{e}{2m_{\text{e}}}m_l\hbar =-\mu_B m_l\text{.}
8.21

Wielkość μ B μ B jest podstawową jednostką magnetyzmu nazywaną magnetonem Bohra (ang. Bohr magneton ), która ma wartość 9,3 ⋅ 10 -24 ⁢ J ∕ T 9,3 ⋅ 10 -24 ⁢ J ∕ T \SI{9,3e-24}{\joule\per\tesla} lub 5,8 ⋅ 10 -5 ⁢ eV ∕ T 5,8 ⋅ 10 -5 ⁢ eV ∕ T . Kwantowanie momentu magnetycznego jest wynikiem kwantowania orbitalnego momentu pędu.

Jak zobaczymy w następnym podrozdziale, całkowity magnetyczny moment dipolowy atomu wodoru jest wynikiem złożenia momentu wynikającego z ruchu orbitalnego elektronu z jego wewnętrznym momentem pędu, czyli tzw. spinem. Na razie pominiemy wpływ spinu elektronu.

Przykład 8.3

Orbitalny magnetyczny moment dipolowy

Jaka jest wartość orbitalnego momentu magnetycznego μ μ elektronu w atomie wodoru w
  1. stanie s s;
  2. stanie p p;
  3. stanie d d?

Zakładamy, że spin elektronu jest równy zero.

Strategia rozwiązania

Wartość momentu magnetycznego elektronu jest związana z jego orbitalnym momentem pędu L L. Dla atomu wodoru wielkość ta jest związana z kolei z orbitalną liczbą kwantową l l. W notacji spektroskopowej litery s s, p p, d d itd. odpowiadają liczbie kwantowej I = 0 1 2 I = 0 1 2 I = 0, 1, 2 itd.

Rozwiązanie

Wielkość momentu magnetycznego jest podana w Równaniu 8.20
μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L = e 2 ⁢ m e ⁢ l ⁢ l + 1 ⁢ ℏ = μ B ⁢ l ⁢ l + 1 . μ = e 2 ⁢ m e ⁢ L = e 2 ⁢ m e ⁢ l ⁢ l + 1 ⁢ ℏ = μ B ⁢ l ⁢ l + 1 . \mu=\frac{e}{2m_{\text{e}}} L = \frac{e}{2m_{\text{e}}}\sqrt{l(l+1)}\hbar =\mu_B\sqrt{l(l+1)}\text{.}
  1. Dla stanu s s, czyli dla l = 0 l=0, mamy μ = 0 μ=0 i μ z = 0 μ z =0.
  2. Dla stanu p p, czyli dla l = 1 l=1, mamy
    μ=μ⁢1⁢1+1=2⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-101,więc ⁢μz⁢∈−μB0μB.μ=μ⁢1⁢1+1=2⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-101,więc ⁢μz⁢∈−μB0μB.μ=μ⁢1⁢1+1=2⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-101,więc ⁢μz⁢∈−μB0μB. \begin{align} \mu &= \mu \sqrt{1(1+1)} =\sqrt{2} \mu_B \text{,} \\ \mu_z &= - \mu_B m_l \text{, gdzie } m_l \prefop{\u{2208}} \left{-1,0,1\right} \text{,} \\ \text{więc } \mu_z &\prefop{\u{2208}} \left{-\mu_B,0,\mu_B\right} \text{.} \end{align}
  3. Dla stanu d d, czyli dla l = 2 l=2, otrzymujemy
    μ=μB⁢2⁢2+1=6⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-2-1012,tak, że ⁢μz⁢∈−2⁢μB−μB0μB2⁢μB.μ=μB⁢2⁢2+1=6⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-2-1012,tak, że ⁢μz⁢∈−2⁢μB−μB0μB2⁢μB.μ=μB⁢2⁢2+1=6⁢μB,μz=−μB⁢ml⁢, gdzie ⁢ml⁢∈-2-1012,tak, że ⁢μz⁢∈−2⁢μB−μB0μB2⁢μB. \begin{align} \mu &= \mu_B \sqrt{2(2+1)} =\sqrt{6} \mu_B \text{,} \\ \mu_z &= - \mu_B m_l \text{, gdzie } m_l \prefop{\u{2208}} \left{-2,-1,0,1,2\right} \text{,} \\ \text{tak, że } \mu_z &\prefop{\u{2208}} \left{-2\mu_B, -\mu_B,0,\mu_B, 2\mu_B\right} \text{.} \end{align}

Znaczenie

W stanie s s nie ma orbitalnego momentu pędu ( L = 0 L=0), a tym samym nie ma momentu magnetycznego. Nie znaczy to, że elektron znajduje się w spoczynku, a jedynie, że całkowity ruch elektronu nie wytwarza pola magnetycznego. W stanie p p elektron ma moment magnetyczny z trzema możliwymi wartościami jego z z-owej składowej. Oznacza to, że wektor momentu magnetycznego może przyjmować trzy różne kierunki – każdy przeciwny do wektora orbitalnego momentu pędu. W stanie d d elektron ma moment magnetyczny o jednej z pięciu możliwych wartości jego z z-owej składowej. W tym przypadku moment magnetyczny może wskazywać pięć kierunków określonych różnymi kątami polarnymi.

Ponieważ atom wodoru ma moment magnetyczny, można oczekiwać, że będzie on oddziaływał z zewnętrznym polem magnetycznym, tak jak np. igła magnetyczna z ziemskim polem magnetycznym. Z podrozdziału Wypadkowa sił i moment sił działających na pętlę z prądem wiemy, że gdy pętla z prądem oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym, to działa na nią moment siły M → M → , opisany wzorem

M → = I ⁢ A → × B → = μ → × B → , M → = I ⁢ A → × B → = μ → × B → ,
8.22

gdzie A → A → jest wektorem powierzchni pętli, μ → μ → jest momentem magnetycznym, a B → B → wektorem indukcji zewnętrznego pola magnetycznego. Moment siły (obrotowy) „stara się” obrócić wektor momentu magnetycznego atomu wodoru tak, aby był zgodny z kierunkiem zewnętrznego pola magnetycznego. Ponieważ zewnętrzne pole magnetyczne wykonuje pracę mechaniczną nad atomem wodoru, możemy mówić o zmianie energii w atomie. Energia potencjalna atomu wodoru związana z tym magnetycznym oddziaływaniem opisana jest Równaniem 8.23

E p = − μ → ⋅ B → . E p = − μ → ⋅ B → . E_{\text{p}}=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}\text{.}
8.23

Zgodnie z powyższym równaniem, jeśli kierunek momentu magnetycznego jest przeciwny do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego, energia potencjalna jest maksymalna, natomiast w przypadku, gdy kierunek momentu magnetycznego jest zgodny z kierunkiem zewnętrznego pola magnetycznego, energia potencjalna jest najmniejsza. Praca wykonywana nad atomem wodoru podczas obracania wektora momentu magnetycznego atomu w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego jest więc związana ze spadkiem energii potencjalnej. Energia układu jest zachowana, jednak ponieważ następuje spadek energii potencjalnej, wytwarzane jest promieniowanie (emisja fotonów). Te przejścia energetyczne są skwantowane, ponieważ, jak wiemy, moment magnetyczny może przyjmować tylko określone kierunki.

Jeżeli przyjmiemy, że kierunek zewnętrznego pola magnetycznego jest zgodny z kierunkiem osi z z, energia potencjalna związana z orbitalnym momentem dipolowym wynosi

E p ⁡ θ = − μ ⁢ B ⁢ cos θ = − μ z ⁢ B = − − μ B ⁢ m l ⁢ B = m l ⁢ μ B ⁢ B , E p ⁡ θ = − μ ⁢ B ⁢ cos θ = − μ z ⁢ B = − − μ B ⁢ m l ⁢ B = m l ⁢ μ B ⁢ B , E_{\text{p}}\apply(\theta)=-\mu B\cos\theta = -\mu_z B = -(-\mu_B m_l)B=m_l \mu_B B \text{,}
8.24

gdzie μ B μ B jest magnetonem Bohra, a m l m l jest magnetyczną liczbą kwantową (ang. magnetic orbital quantum number ) (rzutem orbitalnego momentu pędu na oś z z), która przyjmuje wartości

m l = − l − l + 1 … 0 … + l − 1 + l . m l = − l − l + 1 … 0 … + l − 1 + l . m_l = -l, -l+1, \dots, 0, \dots, +l-1, +l \text{.}
8.25

Na przykład w stanie elektronu l = 1 l=1 istnieją trzy poziomy energii, równe E p = − μ B 0 μ B ⁢ B E p = − μ B 0 μ B ⁢ B E_{\text{p}} = -\mu_B, 0, \mu_B B .

Rozszczepienie poziomów energetycznych pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego jest nazywane efektem Zeemana (ang. Zeeman effect ). Przy zaniedbaniu efektu spinu elektronu przejścia ze stanu l = 1 l=1 do niższego stanu (poziomu) energetycznego dają trzy ściśle określone linie widmowe (Ilustracja 8.11, lewa kolumna). Podobnie przejścia ze stanu l = 2 l=2 dają pięć linii widmowych (prawa kolumna). Rozszczepienie tych linii jest proporcjonalne do indukcji zewnętrznego pola magnetycznego. Efekt ten ma wiele zastosowań. Przykładowo rozszczepienie linii w widmie wodoru Słońca jest wykorzystywane do określenia indukcji jego pola magnetycznego. Systematyczne pomiary pola magnetycznego mogą być wykorzystywane do utworzenia mapy aktywności magnetycznej powierzchni Słońca, nazywanej magnetogramem (Ilustracja 8.12).

Figura przedstawia wpływ pola magnetycznego o indukcji B sub ext, na dwie różne linie spektralne, odpowiadające przejściu z l=1 do l=0 (rysunek po lewej) i przejściu z l=2 do l=0 po prawej. Widma przedstawiono dla przypadku braku zewnętrznego pola, dla niezerowego zewnętrznego pola i dla silnego zewnętrznego pola. Dla przypadku braku pola, oba przejścia pokazano jako pojedyncze linie. W drugim przypadku, kiedy zastosowano pole magnetyczne, linie spektralne rozdzielają się na kilka linii; linia po lewej rozdziela się na trzy linie. Linia po prawej rozdziela się na pięć linii. W trzecim przypadku, pole magnetyczne jest silne. Linia po lewej stronie rysunku rozdziela się na trzy linie a linia po prawej na pięć, ale odległości między rozdzielonymi liniami są większe niż dla poprzedniego przypadku.
Ilustracja 8.11 Efekt Zeemana polega na rozszczepieniu linii widmowych przez zewnętrzne pole magnetyczne. W lewej kolumnie rozszczepienie następuje na skutek przejścia od stanu n = 2 l = 1 n = 2 l = 1 (n=2, l=1) do niższego stanu energetycznego; w prawej kolumnie rozszczepienie energii następuje na skutek przejścia od stanu n = 3 l = 2 n = 3 l = 2 (n=3, l=2) do stanu o niższej energii. Rozszczepienie tych linii jest proporcjonalne do indukcji zewnętrznego pola magnetycznego.
Magnetogram Słońca, który wygląda jak szary dysk na czarnym tle, z umieszczonymi na nim białymi i czarnymi punktami. Większość punków jest skupiona dokładnie w środku obrazu.
Ilustracja 8.12 Magnetogram Słońca. Jasne i ciemne miejsca wskazują znaczącą aktywność magnetyczną na powierzchni Słońca.
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.