William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

przedstawiać stan elektronu w atomie wodoru przy użyciu pięciu liczb kwantowych;
używać liczb kwantowych w celu obliczania wielkości oraz kierunku spinu i momentu magnetycznego elektronu;
wyjaśniać subtelną i nadsubtelną strukturę widma atomu wodoru poprzez oddziaływania magnetyczne w atomie wodoru.

W tej części omówimy spin elektronu (wewnętrzny moment pędu). Spin wprowadza dwie dodatkowe liczby kwantowe do naszego modelu atomu wodoru. Zostały one odkryte na podstawie obserwacji subtelnej struktury widm atomowych. Spin jest podstawową cechą wszystkich cząstek – nie tylko elektronów. Interpretacja spinu (ang. spin – wirowanie) pochodzi od analogii do wirowania ciał wokół ich własnych osi; przykładem może być codzienny obrót Ziemi. Należy jednak podkreślić relatywistyczne pochodzenie spinu i dodać, że nie ma on klasycznego odpowiednika.

Spin jest kwantowany w taki sam sposób jak orbitalny moment pędu. Stwierdzono, że wartość bezwzględna spinowego momentu pędu $S$ elektronu jest dana przez wyrażenie

S=\sqrt{s(s+1)}\hbar\text{,}

8.26

gdzie $s$ jest spinową liczbą kwantową (ang. spin quantum number ). Jest to podobne do kwantowania $L$ danego Równaniem 8.4, z tą różnicą, że jedyna dopuszczalna wartość $s$ dla elektronu wynosi $s = 1 ∕ 2$ . Mówi się, że elektron jest „cząstką o spinie połówkowym”. Odpowiednio spinowa magnetyczna liczba kwantowa (ang. spin projection quantum number ) $m_{s}$ jest związana z $z$ -ową składową spinu, daną przez wyrażenie

S_z=m_s\hbar\text{.}

8.27

Ogólnie dla cząstki o spinie $s$ dozwolone liczby kwantowe to

m_s = -s, -s+1, \dots, 0, \dots, +s-1, +s \text{,}

8.28

a w przypadku elektronu ( $s = 1 ∕ 2$ )

m_s=+\frac{1}{2}\text{.}

8.29

Kierunki spinu (wewnętrznego momentu pędu) są skwantowane, tak jak kierunki orbitalnego momentu pędu. Stan $m_{s} = - 1 ∕ 2$ jest nazywany „spinem w dół” (ang. „spin-down”) i ma $z$ -ową składową spinu, $S_{z} = - 1 ∕ 2$ ; stan z $m_{s} = + 1 ∕ 2$ jest nazywany „spinem w górę” (ang. „spin-up”) i ma $z$ -ową składową spinu, $S_{z} = + 1 ∕ 2$ . Stany te są pokazane na Ilustracji 8.13.

Dwa możliwe stany spinu elektronu przedstawiono jako wektory równej długości, jeden skierowany w górę i w prawo, reprezentujący wektor S spin w górę, a drugi skierowany w dół i w prawo, reprezentujący spin w dół. Oba wektory tworzą takie same kąty z poziomem. Spin w górę posiada składową z równą plus h kreślone przez dwa, a spin w dół ma składową z równą minus h kreślone przez 2.

Ilustracja 8.13 Dwa możliwe stany spinu elektronu.

Wewnętrzny dipolowy moment magnetyczny elektronów może być również, tak jak orbitalny dipolowy moment magnetyczny, wyrażony poprzez spinową liczbę kwantową. Przez analogię do orbitalnego momentu pędu wielkość momentu magnetycznego elektronów powinna być równa

\mu_s=\frac{e}{2m_{\text{e}}}S\text{.}

8.30

Jednakże zgodnie z przewidywaniami szczególnej teorii względności wartość ta jest o $2$ razy za mała, więc prawdziwy związek pomiędzy spinem a spinowym momentem magnetycznym ma postać wektorową

\vec{\mu_s}=\frac{e}{m_{\text{e}}}\vec{S}\text{.}

8.31

Odpowiednio $z$ -owa składowa momentu magnetycznego wynosi

\mu_z=-\frac{e}{m_{\text{e}}} S_z=-\frac{e}{m_{\text{e}}} m_s\hbar\text{.}

8.32

Ponieważ spinowa magnetyczna liczba kwantowa elektronu ma tylko dwie wartości ( $m_s=+-1/2$ ), $z$ -owa składowa spinowego momentu magnetycznego także ma dwie wartości

\mu_z=\text{}\pm\frac{e}{2m_{\text{e}}}=\text{}\pm\mu_B\hbar\text{,}

8.33

gdzie $μ_{B}$ jest magnetonem Bohra. Elektron ma własności dipola magnetycznego, więc oczekujemy, że będzie on również oddziaływał z innymi polami magnetycznymi. Rozważymy dwa szczególne przypadki: oddziaływanie swobodnego elektronu z zewnętrznym (niejednorodnym) polem magnetycznym oraz elektronu w atomie wodoru z polem magnetycznym wytwarzanym przez orbitalny moment pędu elektronu.

Przykład 8.4

Spin elektronu i promieniowanie

Atom wodoru w stanie podstawowym jest umieszczony w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji

B = 1,5 T

. Określmy częstotliwość i długość fali promieniowania wytworzonego podczas przejścia pomiędzy stanami elektronu – spin w górę i spin w dół.

Strategia rozwiązania

Magnetyczna spinowa liczba kwantowa wynosi

m_{s} = \pm 1 ∕ 2

, więc

z

-owa składowa momentu magnetycznego przyjmuje wartości

\mu_z=\text{}\pm\frac{e}{2m_{\text{e}}}=\text{}\pm\mu_B\hbar\text{.}

Energia potencjalna elektronu w polu magnetycznym ma postać

E_{\text{p}}=-\mu_z B = \text{}\mp\mu_B B \text{.}

Częstotliwość emitowanego promieniowania jest proporcjonalna do różnicy energii ( $Δ E$ ) między tymi dwoma stanami.

Rozwiązanie

Różnica energii między tymi stanami wynosi

Δ E = 2 μ_{B} B

, więc częstotliwość wytwarzanego promieniowania jest równa

\nu = \frac{\prefop{\Delta}E}{h}=\frac{2\mu_B B}{h}=\frac{2\cdot\SI{5,79e-5}{\electronvolt\per\tesla}\cdot\SI{1,5}{\tesla}}{\SI{4,136e-15}{\electronvolt\second}} = \SI[per-mode=reciprocal]{4,2e10}{\per\second} \text{,}

a długość fali

\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{\SI{3e8}{\metre\per\second}}{\SI[per-mode=reciprocal]{4,2e10}{\per\second}}=\SI{7,1e-3}{\metre} \text{.}

Znaczenie

Fakt istnienia momentu magnetycznego powoduje, że po umieszczeniu elektronu w zewnętrznym polu magnetycznym energia elektronu przyjmuje dwie wartości w zależności od kierunku jego spinu, czyli stan elektronu ulega rozszczepieniu w zewnętrznym polu magnetycznym. Częstotliwość promieniowania wytwarzanego przez przejścia między tymi dwoma stanami jest proporcjonalna do różnicy ich energii. Gdy dwukrotnie zwiększymy indukcję pola magnetycznego, częstotliwość promieniowania podwoi się, a długość fali zmaleje dwukrotnie.

W atomie wodoru spinowy moment magnetyczny elektronu może oddziaływać z polem magnetycznym wytwarzanym przez orbitalny moment pędu elektronu – zjawisko to nosi nazwę sprzężenia spin-orbita (ang. spin-orbit coupling ). Wektory: orbitalnego momentu pędu ( $\vec{L}$ ), orbitalnego momentu magnetycznego ( $\vec{μ}$ ), spinowego momentu pędu ( $\vec{S}$ ) i spinowego momentu magnetycznego ( $\vec{μ_{s}}$ ) są pokazane razem na Ilustracji 8.14.

Poziomy energii w atomie wodoru mogą być rozdzielone za pomocą zewnętrznego, jak również wewnętrznego pola magnetycznego. Jeżeli spinowy moment magnetyczny i orbitalny moment magnetyczny elektronu są przeciwne (antyrównoległe), to energia potencjalna oddziaływania magnetycznego jest większa, a gdy te momenty są zgodne (równoległe), energia potencjalna jest niższa. Powoduje to rozszczepienie odpowiednich poziomów energetycznych w atomie. W związku z tym przejście z każdego z tych dwóch rozszczepionych stanów do stanów o niższej energii daje nieco inną częstotliwość emitowanego fotonu. Oznacza to, że sprzężenie spin-orbita „rozszczepia” linie widmowe względem tych, których należałoby oczekiwać, gdyby elektron nie miał spinu. Strukturę subtelną (ang. fine structure ) widma wodoru wyjaśnia właśnie sprzężenie spin-orbita.

Orbita elektronu atomu jest przedstawiona jako mały okrąg umieszczony na obwodzie większego okręgu. Kierunek ruchu jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. W jądrze atomu narysowany jest wektor L skierowany do góry (jeśli patrzymy na rysunek z góry) i wektor mi sub l skierowany w dół. Dla elektronu narysowano wektor S nachylony pod pewnym kątem do wektora L oraz wektor mi sub s skierowany przeciwnie do wektora S.

Ilustracja 8.14 Sprzężenie spin-orbita jest oddziaływaniem spinowego momentu magnetycznego

{\vec{μ}}_{s}

elektronu z orbitalnym momentem magnetycznym

\vec{μ}

.

Doświadczalnego dowodu na to, że elektrony mają spinowy moment pędu, dostarcza eksperyment Sterna-Gerlacha (ang. Stern-Gerlach experiment ). Eksperyment ten polega na przepływie strumienia atomów srebra (Ag) przez obszar zewnętrznego, niejednorodnego pola magnetycznego. Atom Ag, tak jak atom Hg, zawiera jeden „niesparowany” elektron na zewnętrznej powłoce (w stanie $s$ ) i dlatego posiada orbitalny moment pędu równy zero. Z tego powodu całkowity moment pędu atomu srebra jest równy spinowi zewnętrznego elektronu ( $S = 1 ∕ 2$ ). Ze względu na spin elektronów atomy Ag zachowują się jak maleńkie magnesy, które przechodzą przez pole magnetyczne. Te magnesy mają dwa możliwe kierunki, odpowiadające stanom elektronu spin w górę i spin w dół. Pole magnetyczne odchyla atomy te, które mają spin w górę, w jednym kierunku, a te, które mają spin w dół, w innym. Daje to dwa oddzielne prążki na ekranie (Ilustracja 8.15).

Figura jest ilustracją eksperymentu Stern Gerlach. Wiązka atomów srebra wychodzi ze źródła i po przejściu przez szczelinę jest wiązką skolimowaną. Skolimowana wiązka wchodzi do obszaru wnętrza magnesu. Gdy przechodzi między biegunami magnesu, w niejednorodnym polu magnetycznym wiązka rozdziela się na dwie wiązki. Jedna część wiązki porusza się w kierunku bieguna północnego, druga w kierunku bieguna południowego. Obie wiązki opuszczają wnętrze magnesu i padają na kliszę fotograficzną w dwóch różnych miejscach.

Ilustracja 8.15 W doświadczeniu Sterna-Gerlacha zewnętrzne, niejednorodne pole magnetyczne odchyla wiązkę elektronów w dwóch różnych kierunkach. Następuje to ze względu na kwantowanie spinowego momentu pędu.

Zgodnie z przewidywaniami mechaniki klasycznej moment pędu (a zatem i moment magnetyczny) atomu Ag może mieć dowolny kierunek, więc oczekuje się ciągłego rozmazywania obrazu wiązki na ekranie. Dwa pasma powstałe w eksperymencie Sterna-Gerlacha dają zaskakujące dowody na poparcie dla idei mechaniki kwantowej.

Materiały pomocnicze

Aby dowiedzieć się więcej na temat doświadczenia Sterna-Gerlacha, odwiedź stronę: PhET Explorations: Stern-Gerlach Experiment.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.2

Co można powiedzieć o spinowej liczbie kwantowej cząstki naładowanej, jeżeli w doświadczeniu Sterna-Gerlacha powstają cztery odrębne pasma zamiast dwóch?

Podobnie jak elektron również proton ma spinową liczbę kwantową $s = 1 ∕ 2$ (w skrócie spin $s = 1 ∕ 2$ ) oraz własny moment magnetyczny (według obecnej wiedzy moment ten wynika z ruchu orbitalnego kwarków wewnątrz protonu). Oddziaływanie między spinowym momentem magnetycznym protonu i spinowym momentem magnetycznym elektronu, znane jako sprzężenie spin-spin (ang. spin-spin coupling ), tłumaczy tzw. strukturę nadsubtelną (ang. hyperfine structure ) widma wodoru. Energia układu elektron–proton jest różna w zależności od tego, czy momenty spinowe są zgodne, czy przeciwne. Przejścia między tymi stanami (tzw. przejścia spin-flip) skutkują emisją fotonów o długości fali $λ \approx 21 cm$ (w zakresie fal radiowych). Linia $21 cm$ w radioastronomii traktowana jest jak „odcisk palca” gazu wodorowego. Astronomowie wykorzystują tę linię widmową do tworzenia map spiralnych ramion galaktyk, składających się głównie z wodoru (Ilustracja 8.16).

Trzy zdjęcia Galaktyk widzianych za pomocą teleskopu. Figura a, przedstawia obraz w świetle widzialnym. Galaktyka wygląda jak zbiór gwiazd, ma bardzo gęsty środek i spiralne ramiona. Figura b jest obrazem widzianym w promieniowaniu wodoru 21 cm. Na tym rysunku bardziej widoczna jest spiralna natura Galaktyki, brak jest centralnego zgrubienia. Figura c jest złożeniem dwóch poprzednich obrazów.

Ilustracja 8.16 Oddziaływanie magnetyczne pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru stosuje się do tworzenia map spiralnych ramion Galaktyki Wiatrak (NGC 5457). (a) Galaktyka widziana w świetle widzialnym. (b) Galaktyka widziana w promieniowaniu wodoru o długości fali

\SI{21}{\centi\metre}

. (c) Obraz złożony z (a) i (b). Zauważmy, że emisja wodoru wnika w pył galaktyczny i bardzo wyraźnie pokazuje jej spiralne ramiona, natomiast galaktyczne jądro przedstawia się lepiej w świetle widzialnym. Źródła: (a) modyfikacja pracy ESA i NASA; (b) modyfikacja pracy Fabiana Waltera

Pełny opis stanu elektronu w atomie wodoru wymaga pięciu liczb kwantowych: $n$ , $l$ , $m_{l}$ , $s$ oraz $m_{s}$ . Nazwy, symbole i dozwolone wartości tych liczb są zestawione w Tabeli 8.4.

Nazwa	Symbol	Dozwolone wartości
Główna liczba kwantowa	$n$	$1, 2, 3, \dots$
Poboczna liczba kwantowa	$l$	$0, 1, 2, \dots, n - 1$
Magnetyczna liczba kwantowa	$m_l$	$0, ±1, ±2, \dots, \pm l$
Spinowa liczba kwantowa	$s$	$1 ∕ 2$ (elektron)
Magnetyczna spinowa liczba kwantowa	$m_{s}$	$\pm 1 ∕ 2$

Tabela 8.4 Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru.

Należy pamiętać, że wewnętrzne (spinowe) liczby kwantowe wprowadzone w tym rozdziale ( $s$ i $m_{s}$ ) mają zastosowanie dla wielu cząstek, nie tylko elektronów. Na przykład kwarki wewnątrz jądra atomowego są również cząstkami ze spinem połówkowym. Jak zobaczymy później, liczby kwantowe stanowią pomoc przy klasyfikowaniu cząstek elementarnych i wchodzą w skład modeli naukowych, próbujących wyjaśnić, jak działa Wszechświat.

8.3 Spin elektronu

Spin elektronu i promieniowanie

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie