William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

8.1 Atom wodoru

25.

Mamy obliczyć funkcję falową w punkcie $(x, y, z) = (2, 1, 1)$ , w prostokątnym układzie współrzędnych (w umownych jednostkach). Jakie są współrzędne sferyczne tego punktu?

26.

Jeśli atom ma elektron w stanie $n = 5$ z $m_{l} = 3$ , to jakie są możliwe wartości $l$ ?

27.

Jakie są możliwe wartości $m_{l}$ elektronu w stanie $n = 4$ ?

28.

Jakie są, jeśli w ogóle istnieją, ograniczenia dla innych liczb kwantowych elektronu w atomie, jeśli magnetyczna liczba kwantowa $m_{l} = 1$ ?

29.

Ile kątów może tworzyć wektor $\vec{L}$ z osią $z$ dla elektronów z $l = 2$ ?
Oblicz wartość najmniejszego kąta.

30.

Siła działająca na elektron jest „ujemnym gradientem funkcji energii potencjalnej”. Skorzystaj z tego oraz z Równania 8.1, aby pokazać, że siła działająca na elektron w atomie wodoru jest dana przez prawo Coulomba.

31.

Jaka jest łączna liczba stanów z orbitalnym momentem pędu $l = 0$ (pomiń spin elektronu)?

32.

Funkcja falowa jest określona w punkcie o współrzędnych sferycznych $(r, θ, ϕ) = (\sqrt{3}, 45 °, 45 °)$ , gdzie $r$ jest podane w umownych jednostkach. Jakie są współrzędne kartezjańskie tego położenia?

33.

Prawo Coulomba stwierdza, że siła pomiędzy dwoma naładowanymi cząstkami wynosi: $F = k Q q ∕ r^{2}$ . Za pomocą tego wyrażenia określ funkcję energii potencjalnej.

34.

Napisz wyrażenie na łączną liczbę stanów z orbitalną liczbą kwantową $l$ .

35.

Rozpatrz wodór w stanie podstawowym, opisany funkcją falową $\psi_{1\sep 0\sep 0}$ .

Przy pomocy pochodnej określ radialne położenie (odległość od centrum), dla którego gęstość prawdopodobieństwa $P (r)$ jest maksymalna;
Korzystając z określenia średniej wartości funkcji za pomocą całki, znajdź średnie radialne położenie elektronu. (Jest to tak zwana wartość oczekiwana radialnego położenia elektronu). Przedstaw otrzymane wyniki, używając promienia Bohra, $a_{0}$ ;
Dlaczego te wartości się różnią?

36.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że elektron w stanie $1 s$ atomu wodoru znajduje się w odległości od jądra większej niż promień Bohra?

37.

Ile jest możliwych polarnych kątów dla elektronu w stanie $l = 5$ ?

38.

Jaka jest maksymalna liczba stanów elektronu w atomie wodoru na powłoce $n = 2$ (pomiń spin elektronu)?

39.

Jaka jest maksymalna liczba stanów elektronu w atomie wodoru na powłoce $n = 3$ (pomiń spin elektronu)?

8.2 Orbitalny magnetyczny moment dipolowy elektronu

40.

Znajdź wielkość orbitalnego magnetycznego momentu dipolowego elektronu w stanie $3 p$ . Wyraź swoją odpowiedź przez $μ_{B}$ .

41.

Prąd o natężeniu $I=\SI{2}{\ampere}$ przepływa przez kwadratową ramkę o długości boku $2 cm$ . Jaki jest moment magnetyczny ramki?

42.

Oszacuj stosunek momentu magnetycznego elektronu do momentu magnetycznego mionu dla tego samego stanu orbitalnego momentu pędu. Wskazówka: $m_{\mu}=\SI{105,7}{\mega\electronvolt}/c^2$ .

43.

Znajdź wielkość orbitalnego dipolowego magnetycznego momentu pędu elektronu w stanie $4 d$ . Wyraź swoją odpowiedź przez $μ_{B}$ .

44.

Dla elektronu w stanie $3 d$ w zewnętrznym polu magnetycznym $2,5 \cdot 10^{-3} T$ znajdź

natężenie prądu związanego z orbitalnym momentem pędu;
maksymalny moment siły (obrotowy) działający ze strony zewnętrznego pola magnetycznego.

45.

Elektron w atomie wodoru jest w stanie $n = 5$ , $l = 4$ . Znajdź najmniejszy kąt, jaki moment magnetyczny tworzy z osią $z$ . (W odpowiedzi wykorzystaj $μ_{B}$ ).

46.

Znajdź wielkość minimalnego momentu siły $|\vec{M}|$ , który działa na orbitalny dipolowy moment magnetyczny elektronu w stanie $3 p$ w zewnętrznym polu magnetycznym $2,5 \cdot 10^{-3} T$ .

47.

Elektron w atomie wodoru znajduje się w stanie $3 p$ . Znajdź najmniejszy kąt, jaki moment magnetyczny tworzy z osią $z$ . (W odpowiedzi użyj $μ_{B}$ ).

48.

Pokaż, że $E_{\text{p}}=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$ . Wskazówka: Ile wynosi nieskończenie mała praca wykonywana w celu dostosowania kierunku momentu magnetycznego do kierunku zewnętrznego pola? Oblicz najpierw pracę podczas obracania wektora momentu magnetycznego o kąt $- d θ$ (w stronę dodatnich wartości osi $z$ ), gdzie $d θ$ jest dodatnią zmianą kąta.

8.3 Spin elektronu

49.

Jaka jest wartość spinowego momentu pędu elektronu (w odpowiedzi użyj $h$ )?

50.

Jakie są możliwe kierunki polarne (kąty polarne) wektora spinowego momentu pędu elektronu?

51.

Dla $n = 1$ napisz wszystkie możliwe zestawy liczb kwantowych $(n, l, m_{l}, m_{s})$ .

52.

Atom wodoru znajduje się w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym ( $B = 200 T$ ). Oblicz długości fali promieniowania wytwarzanego przy przejściu ze stanu „spin w górę” do stanu „spin w dół”.

53.

Jeśli pole magnetyczne z poprzedniego zadania wzrośnie czterokrotnie, to jak zmieni się długość fali promieniowania wytwarzanego przy przejściu ze stanu „spin w górę” do stanu „spin w dół”?

54.

Jeżeli moment magnetyczny w poprzednim zadaniu będzie dwukrotnie większy, co się stanie z częstotliwością światła wytwarzanego przy przejściu ze stanu „spin w górę” do stanu „spin w dół”?

55.

Dla $n = 2$ napisz wszystkie możliwe zestawy liczb kwantowych $(n, l, m_{l}, m_{s})$ .

8.4 Zakaz Pauliego i układ okresowy pierwiastków

56.

Ile elektronów może być na powłoce $n = 4$ ?
Jakie są to podpowłoki i ile elektronów może być na każdej z nich?

57.

Jaka jest minimalna wartość $l$ podpowłoki, na której znajduje się $11$ elektronów?
W przypadku gdy ta podpowłoka należy do powłoki $n = 5$ , jaka jest notacja spektroskopowa tego atomu?

58.

Nieracjonalne wyniki. Które z następujących notacji spektroskopowych nie są dozwolone?

$5 s^{1}$ ;
$1 d^{1}$ ;
$4 s^{3}$ ;
$3 p^{7}$ ;
$5 g^{15}$ .

Podaj, jaka reguła została naruszona przy niedozwolonych notacjach.

59.

Zapisz konfigurację elektronową dla potasu.

60.

Zapisz konfigurację elektronową dla żelaza.

61.

Elektron walencyjny w potasie jest wzbudzony do stanu $5 d$ .

Jaka jest wielkość orbitalnego momentu pędu elektronu?
Ile stanów jest możliwych wzdłuż wybranego kierunku?

62.

Jeżeli atom na pewnej podpowłoce ma dziewięć elektronów, to jaka jest minimalna wartość $l$ ?
Jaka jest notacja spektroskopowa dla tego atomu, jeśli ta podpowłoka jest częścią powłoki o $n = 3$ ?

63.

Zapisz konfigurację elektronową dla atomu magnezu.

64.

Zapisz konfigurację elektronową dla atomu węgla.

65.

Wartości wypadkowego spinu elektronów pierwiastków od B do Ne w stanie podstawowym wynoszą odpowiednio: $\sqrt{3}\hbar/2$ , $\sqrt{2}\hbar$ , $\sqrt{15}\hbar/2$ , $\sqrt{2}\hbar$ , $\sqrt{3}\hbar/2$ i $0$ . Wykaż, że te wartości są zgodne z regułą Hunda.

8.5 Widma atomowe i promieniowanie rentgenowskie

66.

Jaka jest minimalna częstotliwość fotonu potrzebna do jonizacji

jonu He⁺ w stanie podstawowym;
jonu Li²⁺ w pierwszym stanie wzbudzonym?

67.

Jon ${Li}_{2}^{+}$ przechodzi ze stanu opisanego główną liczbą kwantową $n = 4$ do stanu o $n = 2$ .

Jaka jest energia fotonu emitowanego w czasie przejścia?
Jaka jest długość fali tego fotonu?

68.

Czerwone światło emitowane przez laser rubinowy ma długość fali $694,3 nm$ . Jaka jest różnica między energiami stanów początkowego i końcowego, odpowiadającymi emisji tego światła?

69.

Żółte światło z sodowej lampy ulicznej jest wytwarzane przez przejście atomów sodu ze stanu $3 p$ do stanu $3 s$ . Jeśli różnica energii tych dwóch stanów wynosi $2,1 eV$ , to jaka jest długość fali światła żółtego?

70.

Oszacuj długość fali linii $K_{α}$ promieniowania rentgenowskiego wapnia.

71.

Oszacuj długość fali linii $K_{α}$ promieniowania rentgenowskiego cezu.

72.

Promienie rentgenowskie są wytwarzane przez uderzenie w tarczę wiązką elektronów. Przed uderzeniem elektrony są przyspieszone w polu elektrycznym o różnicy energii potencjalnej: $\prefop{\Delta}E_{\text{p}}=-e\prefop{\Delta}V$ , gdzie $e$ jest ładunkiem elektronu, a $Δ V$ jest różnicą potencjałów. Jaka jest minimalna długość emitowanej fali, jeśli $Δ V = 15 kV$ ?

73.

Co się stanie z minimalną długością fali w poprzednim zadaniu, gdy napięcie lampy rentgenowskiej zwiększymy dwukrotnie?

74.

Załóżmy, że eksperyment z poprzedniego zadania jest przeprowadzony z mionami. Czy zmieni się minimalna długość fali?

75.

Lampa rentgenowska z przyłożonym napięciem $50 kV$ przyspiesza elektrony w stronę metalowej tarczy.

Jaka jest najkrótsza długość fali promieniowania rentgenowskiego wysyłana przez tę tarczę?
Oblicz energię wysyłanych fotonów w $eV$ ;
Wyjaśnij zależność energii fotonów od zastosowanego napięcia.

76.

Kineskop kolorowego telewizora generuje nieco promieniowania rentgenowskiego, gdy wiązka elektronów pada na ekran. Jaka jest najmniejsza długość fali tego promieniowania, gdy do przyspieszenia elektronów zastosowano napięcie równe $30 kV$ (należy pamiętać, że telewizory posiadają ekranowanie chroniące widzów przed naświetlaniem promieniowaniem rentgenowskim)?

77.

Do lampy rentgenowskiej przyłożono napięcie $100 kV$ .

Ile wynosi maksymalna energia fotonu, który może zostać wytworzony przez lampę rentgenowską? Podaj odpowiedź w elektronowoltach i dżulach;
Znajdź długość fali takiego fotonu.

78.

Maksymalna charakterystyczna energia fotonów promieniowania rentgenowskiego pochodzi z wychwytywania wolnego elektronu przez lukę na powłoce $K$ . Ile wynosi ta energia, wyrażona w $keV$ , dla wolframu, przy założeniu, że swobodny elektron nie ma początkowej energii kinetycznej?

79.

Jakie są przybliżone energie fotonów promieniowania rentgenowskiego $K_{α}$ i $K_{β}$ dla miedzi?

80.

Porównaj długości fal fotonów promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego dla miedzi i złota.

81.

Przybliżone energie fotonów promieniowania rentgenowskiego $K_{α}$ i $K_{β}$ dla miedzi wynoszą odpowiednio $8 keV$ i $9,48 keV$ . Ustal stosunek częstotliwości rentgenowskich złota do miedzi, a następnie użyj tej wartości do oszacowania odpowiednich energii fotonów promieniowania $K_{α}$ i $K_{β}$ dla złota.

8.6 Lasery

82.

Laser molekularny stosowany w chirurgii emituje promieniowanie w podczerwieni o długości fali $\SI{10,6}{\micro\metre}$ . Naświetlenie wiązką tego lasera powoduje odparowanie $\SI{1}{\centi\metre\cubed}$ ciała poprzez podniesienie jego temperatury do $\SI{100}{\degreeCelsius}$ w czasie błysku, trwającego $\SI{1}{\milli\second}$ .

Ile fotonów bierze udział w tym procesie? Możesz założyć, że ciało ma takie samo ciepło parowania jak woda;
Jaka była minimalna moc wyjściowa lasera podczas błysku?

83.

Laser ekscymerowy, wykorzystywany do korekcji wzroku, emituje promieniowanie UV o długości fali $\SI{193}{\nano\metre}$ .

Oblicz energię emitowanych fotonów w $\si{\electronvolt}$ ;
Te fotony są stosowane do odparowania tkanki rogówki, której właściwości są bardzo podobne do wody. Oblicz ilość energii potrzebną do tego, aby cząsteczka wody zmieniła fazę z ciekłej na gazową – czyli podziel ciepło parowania wody w $\si{\kilo\joule\per\kilogram}$ przez liczbę cząsteczek wody w kilogramie;
Wyraź tę energię w $\si{\electronvolt}$ i porównaj ją z energią fotonu. Przedyskutuj wnioski.