William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Podsumowanie

7.1 Funkcje falowe

W mechanice kwantowej stan układu fizycznego jest reprezentowany przez funkcję falową.
W interpretacji Borna kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w konkretnym punkcie przestrzeni, a sama funkcja falowa nie jest nigdy mierzalna, natomiast mierzalne są wartości własne operatorów działających na nią.
Funkcja falowa powinna być zazwyczaj znormalizowana, zanim zostanie użyta do dalszych obliczeń.
Wartość oczekiwana jest średnią wartością wielkości fizycznej; do jej wyliczenia używa się funkcji falowej i całkowania.

7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że niemożliwe jest jednoczesne określenie położenia i pędu cząstki z dowolnie dużą dokładnością. Iloczyn niepewności pomiarowych położenia i pędu cząstki jest zawsze równy $\hbar / 2$ lub większy.
Ograniczenia narzucone przez tę zasadę nie mają nic wspólnego z jakością aparatury pomiarowej, ale wynikają z falowej natury materii.
Niepewność pomiaru energii i czasu pokrywa się z obserwacjami eksperymentalnymi dowodzącymi, że stan kwantowy istniejący tylko przez krótką chwilę nie może mieć zdefiniowanej energii.

7.3 Równanie Schrӧdingera

Równanie Schrӧdingera jest podstawowym równaniem falowym mechaniki kwantowej. Pozwala nam to na dokonywanie przewidywań obserwabli fizycznych jakie są mierzone w eksperymencie fizycznym.
Kiedy cząstka porusza się w potencjale niezależnym od czasu, rozwiązaniem równania Schrӧdingera jest iloczyn niezależnej od czasu funkcji falowej i czynnika zależnego od czasu.
Równanie Schrӧdingera może być używane do opisu zjawisk fizycznych zachodzących na poziomie mikroskopowym i makroskopowym. W praktyce stosuje się zazwyczaj do opisu zjawisk w mikrościwecie.

7.4 Cząstka kwantowa w pudełku

Poziomy energetyczne cząstki kwantowej w pudełku określamy przez rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera.
W celu rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki w pudełku (w nieskończonej studni potencjału) należy znaleźć rozwiązania funkcji falowej dla cząstki swobodnej, a następnie dopasować funkcję falową tak, by zerowała się na ścianach pudełka (nazywamy to zastosowaniem warunków brzegowych do rozwiązań równania Schrödingera).
Stany energetyczne cząstki w pudełku są skwantowane i indeksowane przez główne liczby kwantowe, będące liczbami całkowitymi.
Interpretacja kwantowa różni się znacząco od interpretacji klasycznej, kiedy cząstka znajduje się w niskoenergetycznym stanie z niską liczbą kwantową, czyli jest bliska stanu podstawowego.
W przypadku dużych liczb kwantowych, kiedy cząstka kwantowa znajduje się w bardzo pobudzonym stanie, kwantowy opis cząstki w pudełku zgadza się z opisem klasycznym w myśl zasady korespondencji Bohra.

7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny

Kwantowy oscylator harmoniczny jest modelem zbudowanym na zasadzie podobieństwa do klasycznego oscylatora harmonicznego (stosujemy ten sam hamiltonian, ale wprowadzamy dla położenia i pędu operatory). Pozwala on na modelowanie zachowania wielu procesów fizycznych zachodzących w mikroświecie, takich jak wibracje molekularne.
Dozwolone energie (spektrum energii) kwantowych oscylatorów są dyskretne i równomiernie rozłożone (kolejne poziomy energetyczne są oddalone o tę samą wartość). Odległość pomiędzy kolejnymi poziomami energetycznymi jest stała i równa $\hbar \omega$ , czyli wartości stałej Plancka pomnożonej przez $\omega$ (gdzie $\omega = \sqrt{k/m}$ , a $\omega$ to stała sprężystości).
Wartość energii stanu podstawowego jest większa od zera. Oznacza to, że w przeciwieństwie do oscylatora klasycznego kwantowy oscylator harmoniczny nigdy nie znajduje się w stanie spoczynku. Nawet na dnie studni potencjału cząstka (np. atom czy elektron) poddana jest fluktuacjom kwantowym. Spektakularnym tego przykładem jest ciekły hel, który nie osiąga fazy stałej (występuje ona jedynie w warunkach wysokiego ciśnienia).
Stany stacjonarne to stany o niezależnej w czasie energii. Ich przykładami są rozwiązania niezależnego w czasie równania Schrödingera.
W mechanice kwantowej stacjonarne stany kwantowe posiadające niezerową gęstość prawdopodobieństwa występują również w obszarach poza klasycznymi punktami zwrotnymi (punktami, w których klasyczna cząstka odbija się od bariery potencjału, gdy $E \leq V$ ).
Gdy kwantowy oscylator harmoniczny znajduje się w stanie podstawowym, można go znaleźć z największym prawdopodobieństwem w obszarze minimum energetycznego studni kwantowej. Jest to obszar o najmniejszym prawdopodobieństwie dla oscylatora klasycznego.
Dla wysokich liczb kwantowych ruch cząstek kwantowych zaczyna się upodabniać do ruchu oscylatorów klasycznych, co zgadza się z zasadą korespondencji Bohra (opis kwantowy odtwarza opis klasyczny na poziomie pewnych energii i dla pewnych rozmiarów geometrycznych, wykraczających poza rozmiary typowe dla mikroświata).

7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału

Cząstka kwantowa znajdująca się po jednej stronie bariery potencjału o skończonej szerokości i wysokości może przeniknąć przez barierę i pojawić się po drugiej stronie. To zjawisko nazywane jest „tunelowaniem kwantowym”. Nie posiada ono odpowiednika w fizyce klasycznej.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo tunelowania kwantowego, należy założyć znajomość wartości energii padającej cząstki i rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera w celu określenia funkcji falowej wewnątrz bariery i poza nią. Prawdopodobieństwo przetunelowania jest równe stosunkowi kwadratów amplitudy za barierą i amplitudy funkcji falowej przed barierą.
Prawdopodobieństwo przetunelowania zależy od energii padającej cząstki w stosunku do wysokości i szerokości bariery potencjału. Zależy od szerokości w sposób nieliniowy (wykładniczy) tak, że nawet małe jej zmiany powodują znacznie większą zmianę w prawdopodobieństwie transmisji.
Zjawisko tunelowania kwantowego rządzi rozpadem radioaktywnym. Wykorzystywane jest też w wielu współczesnych technologiach, takich jak skaningowy mikroskop tunelowy i nanoelektronika. SMT pozwala na obrazowanie pojedynczych atomów na powierzchniach metalicznych. Urządzenia wykorzystujące tunelowanie elektronów zrewolucjonizowały elektronikę i pozwalają na budowanie szybkich urządzeń elektronicznych o małych rozmiarach.