Najważniejsze wzory

Najważniejsze wzory

Warunek normalizacji w jednym wymiarze	$P\left(-\infty ,+\infty \right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^{2}dx=1$
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale położenia $\left(x,x+dx\right)$ w jednym wymiarze	$P\left(x,x+dx\right)={\mathrm{\Psi }}^{\text{*}}\left(x,t\right)\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)dx$
Wartość oczekiwana położenia w jednym wymiarze dla cząstki kwantowej	$⟨x⟩=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{\text{*}}\left(x,t\right)x\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)dx$
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla położenia i pędu cząstki kwantowej	$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla energii i czasu dla cząstki kwantowej	$\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$
Równanie Schrödingera zależne od czasu	$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)}{\partial x^2}+V\left(x,t\right)\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }\left(x,t\right)}{\partial t}$
Ogólna postać jednowymiarowej funkcji falowej dla rówania Schrödingera niezależnego od czasu, gdzie następuje separacja współrzędnej położenia i czasu i gdzie możemy wyróżnić operator ewolucji stanu kwantowego w czasie (czynnik fazowy $e^{-i\omega t}$)	$\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=\psi \left(x\right)e^{-i\omega t}$
Równanie Schrödingera niezależne od czasu (stan stacjonarny)	$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{d^2\psi \left(x\right)}{d{x}^2}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$
Równanie Schrödingera dla swobodnej cząstki o stałej energii $E$ (np. elektron poruszający się w próżni ze stałą prędkością)	$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{d^2\psi \left(x\right)}{d{x}^2}=E\psi \left(x\right)$
Stany energetyczne cząstki kwantowej w pudełku o długości $L$, numerowane przez główne liczby kwantowe $n$	$E_n=n^2\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\text{, }n=1,2,3,\dots$
Stan kwantowy dla cząstki w pudełku o długości $L$ i nieprzenikliwych ścianach (nieskończonej barierze potencjału poza obszarem $L$), odpowiadający energii własnej i numerowanej przez liczby naturalne $n$	${\psi }_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\text{, }n=1,2,3,\dots$
Funkcja energii potencjalnej dla oscylatora harmonicznego (klasycznego i kwantowego)	$V\left(x\right)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$
Stacjonarne równanie Schrödingera w przypadku kwantowego oscylatora harmonicznego	$-\frac{\hslash }{2m}\cdot \frac{d^2\psi \left(x\right)}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$
Spektrum energetyczne kwantowego oscylatora harmonicznego	$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega \text{, }n=0,1,2,3,\dots$
Funkcje falowe kwantowego oscylatora harmonicznego związane z energią $E_n$	${\psi }_n\left(x\right)=N_n{e}^{-{\beta }^2{x}^2∕2}{H}_n\left(\beta x\right)\text{, }n=0,1,2,3,\dots$
Definicja prostokątnej bariery potencjału wyznaczonej przez wysokość $V_0$ oraz szerokość $L$
Definicja współczynnika transmisji cząstki kwantowej o energii $E$, padającej na prostokątną barierę potencjału, jako kwadrat modułu funkcji falowej padającej ${\left|{\psi }_{\text{pad}}\left(x\right)\right|}^2$ i przechodzącej ${\left|{\psi }_{\text{prze}}\left(x\right)\right|}^2$	$T\left(L,E\right)=\frac{{\left|{\psi }_{\text{prze}}\left(x\right)\right|}^2}{{\left|{\psi }_{\text{pad}}\left(x\right)\right|}^2}$
Defincja parametru $\beta$ współczynnika transmisji dla prostokątnej bariery potencjału	${\beta }^2=\frac{2m}{{\hslash }^2}\left(V_0-E\right)$
Współczynnik transmisji dla kwantowej cząstki z energią $E$ przechodzącej przez prostokątną barierę potencjału	$T\left(L,E\right)=\frac{1}{{\cosh }^2\beta L+{\left(\gamma \text{/}2\right)}^2{\sinh }^2\beta L}$
Przybliżenie współczynnika transmisji przez prostokątną barierę potencjału dla dużych wartości $L\beta$	$T\left(L,E\right)=16\frac{E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\beta L}$