Rozdz. 7 Najważniejsze wzory - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

Najważniejsze wzory

Warunek normalizacji w jednym wymiarze	$P\apply(-\infty, +\infty) =\int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\mathrm{Ψ}\apply(x,t)}^2\d x = 1$
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale położenia $(x, x+\d x)$ w jednym wymiarze	$P\apply(x,x+\d x)=\mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t)\mathrm{Ψ}\apply(x,t)\d x$
Wartość oczekiwana położenia w jednym wymiarze dla cząstki kwantowej	$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t) x \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \d x$
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla położenia i pędu cząstki kwantowej	$\prefop{\Delta}x \prefop{\Delta}p \geq \frac{\hbar}{2}$
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla energii i czasu dla cząstki kwantowej	$\prefop{\Delta}E \prefop{\Delta}t \geq \frac{\hbar}{2}$
Równanie Schrödingera zależne od czasu	$- \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\partial ^2 \mathrm{Ψ}\apply(x,t)}{\partial x^2} + V\apply(x,t) \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = i \hbar \frac{\partial \mathrm{Ψ}\apply(x,t)}{\partial t}$
Ogólna postać jednowymiarowej funkcji falowej dla rówania Schrödingera niezależnego od czasu, gdzie następuje separacja współrzędnej położenia i czasu i gdzie możemy wyróżnić operator ewolucji stanu kwantowego w czasie (czynnik fazowy $e^{- i ω t}$ )	$\mathrm{Ψ}\apply(x,t) = \psi\apply(x) e^{-i\omega t}$
Równanie Schrödingera niezależne od czasu (stan stacjonarny)	$-\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d ^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} + V\apply(x) \psi\apply(x) = E\psi\apply(x)$
Równanie Schrödingera dla swobodnej cząstki o stałej energii $E$ (np. elektron poruszający się w próżni ze stałą prędkością)	$-\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} = E \psi\apply(x)$
Stany energetyczne cząstki kwantowej w pudełku o długości $L$ , numerowane przez główne liczby kwantowe $n$	$E_n = n^2 \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \text{, } n = 1,2,3,\dots$
Stan kwantowy dla cząstki w pudełku o długości $L$ i nieprzenikliwych ścianach (nieskończonej barierze potencjału poza obszarem $L$ ), odpowiadający energii własnej i numerowanej przez liczby naturalne $n$	$\psi_n \apply(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n \pi x}{L}) \text{, } n=1,2,3, \dots$
Funkcja energii potencjalnej dla oscylatora harmonicznego (klasycznego i kwantowego)	$E_{\text{p}}\apply(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
Stacjonarne równanie Schrödingera w przypadku kwantowego oscylatora harmonicznego	$- \frac{\hbar}{2m} \cdot \frac{\d ^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi\apply(x) = E \psi\apply(x)$
Spektrum energetyczne kwantowego oscylatora harmonicznego	$E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar \omega \text{, } n=0,1,2,3,\dots$
Funkcje falowe kwantowego oscylatora harmonicznego związane z energią $E_{n}$	$\psi_n \apply(x) = N_n e^{-\beta^2 x^2 /2} H_n \apply(\beta x) \text{, } n=0,1,2,3,\dots$
Definicja prostokątnej bariery potencjału wyznaczonej przez wysokość $V_0$ oraz szerokość $L$	$V\apply(x) = \left{ \begin{matrix}[l] 0\text{,}&\text{ dla } x<0 \\ V_0\text{,}&\text{ dla }0\leq x\leq L \\ 0\text{,}&\text{ dla } x>L\end{matrix} \right\$
Definicja współczynnika transmisji cząstki kwantowej o energii $E$ , padającej na prostokątną barierę potencjału, jako kwadrat modułu funkcji falowej padającej $\abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2$ i przechodzącej $\abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2$	$T\apply(L, E) = \frac{\abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2}{\abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2}$
Defincja parametru $\beta$ współczynnika transmisji dla prostokątnej bariery potencjału	$\beta^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E)$
Współczynnik transmisji dla kwantowej cząstki z energią $E$ przechodzącej przez prostokątną barierę potencjału	$T (L, E) = \frac{1}{\cosh^{2} β L + {(γ / 2)}^{2} \sinh^{2} β L}$
Przybliżenie współczynnika transmisji przez prostokątną barierę potencjału dla dużych wartości $L\beta$	$T\apply(L,E) = 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\beta L}$