Podsumowanie
7.1 Funkcje falowe
- W mechanice kwantowej stan układu fizycznego jest reprezentowany przez funkcję falową.
- W interpretacji Borna kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w konkretnym punkcie przestrzeni, a sama funkcja falowa nie jest nigdy mierzalna, natomiast mierzalne są wartości własne operatorów działających na nią.
- Funkcja falowa powinna być zazwyczaj znormalizowana, zanim zostanie użyta do dalszych obliczeń.
- Wartość oczekiwana jest średnią wartością wielkości fizycznej; do jej wyliczenia używa się funkcji falowej i całkowania.
7.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga
- Zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi, że niemożliwe jest jednoczesne określenie położenia i pędu cząstki z dowolnie dużą dokładnością. Iloczyn niepewności pomiarowych położenia i pędu cząstki jest zawsze równy ℏ∕2 lub większy.
- Ograniczenia narzucone przez tę zasadę nie mają nic wspólnego z jakością aparatury pomiarowej, ale wynikają z falowej natury materii.
- Niepewność pomiaru energii i czasu pokrywa się z obserwacjami eksperymentalnymi dowodzącymi, że stan kwantowy istniejący tylko przez krótką chwilę nie może mieć zdefiniowanej energii.
7.3 Równanie Schrӧdingera
- Równanie Schrӧdingera jest podstawowym równaniem falowym mechaniki kwantowej. Pozwala nam to na dokonywanie przewidywań obserwabli fizycznych jakie są mierzone w eksperymencie fizycznym.
- Kiedy cząstka porusza się w potencjale niezależnym od czasu, rozwiązaniem równania Schrӧdingera jest iloczyn niezależnej od czasu funkcji falowej i czynnika zależnego od czasu.
- Równanie Schrӧdingera może być używane do opisu zjawisk fizycznych zachodzących na poziomie mikroskopowym i makroskopowym. W praktyce stosuje się zazwyczaj do opisu zjawisk w mikrościwecie.
7.4 Cząstka kwantowa w pudełku
- Poziomy energetyczne cząstki kwantowej w pudełku określamy przez rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera.
- W celu rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki w pudełku (w nieskończonej studni potencjału) należy znaleźć rozwiązania funkcji falowej dla cząstki swobodnej, a następnie dopasować funkcję falową tak, by zerowała się na ścianach pudełka (nazywamy to zastosowaniem warunków brzegowych do rozwiązań równania Schrödingera).
- Stany energetyczne cząstki w pudełku są skwantowane i indeksowane przez główne liczby kwantowe, będące liczbami całkowitymi.
- Interpretacja kwantowa różni się znacząco od interpretacji klasycznej, kiedy cząstka znajduje się w niskoenergetycznym stanie z niską liczbą kwantową, czyli jest bliska stanu podstawowego.
- W przypadku dużych liczb kwantowych, kiedy cząstka kwantowa znajduje się w bardzo pobudzonym stanie, kwantowy opis cząstki w pudełku zgadza się z opisem klasycznym w myśl zasady korespondencji Bohra.
7.5 Kwantowy oscylator harmoniczny
- Kwantowy oscylator harmoniczny jest modelem zbudowanym na zasadzie podobieństwa do klasycznego oscylatora harmonicznego (stosujemy ten sam hamiltonian, ale wprowadzamy dla położenia i pędu operatory). Pozwala on na modelowanie zachowania wielu procesów fizycznych zachodzących w mikroświecie, takich jak wibracje molekularne.
- Dozwolone energie (spektrum energii) kwantowych oscylatorów są dyskretne i równomiernie rozłożone (kolejne poziomy energetyczne są oddalone o tę samą wartość). Odległość pomiędzy kolejnymi poziomami energetycznymi jest stała i równa ℏω, czyli wartości stałej Plancka pomnożonej przez ω (gdzie ω=√k∕m, a k to stała sprężystości).
- Wartość energii stanu podstawowego jest większa od zera. Oznacza to, że w przeciwieństwie do oscylatora klasycznego kwantowy oscylator harmoniczny nigdy nie znajduje się w stanie spoczynku. Nawet na dnie studni potencjału cząstka (np. atom czy elektron) poddana jest fluktuacjom kwantowym. Spektakularnym tego przykładem jest ciekły hel, który nie osiąga fazy stałej (występuje ona jedynie w warunkach wysokiego ciśnienia).
- Stany stacjonarne to stany o niezależnej w czasie energii. Ich przykładami są rozwiązania niezależnego w czasie równania Schrödingera.
- W mechanice kwantowej stacjonarne stany kwantowe posiadające niezerową gęstość prawdopodobieństwa występują również w obszarach poza klasycznymi punktami zwrotnymi (punktami, w których klasyczna cząstka odbija się od bariery potencjału, gdy E≤V).
- Gdy kwantowy oscylator harmoniczny znajduje się w stanie podstawowym, można go znaleźć z największym prawdopodobieństwem w obszarze minimum energetycznego studni kwantowej. Jest to obszar o najmniejszym prawdopodobieństwie dla oscylatora klasycznego.
- Dla wysokich liczb kwantowych ruch cząstek kwantowych zaczyna się upodabniać do ruchu oscylatorów klasycznych, co zgadza się z zasadą korespondencji Bohra (opis kwantowy odtwarza opis klasyczny na poziomie pewnych energii i dla pewnych rozmiarów geometrycznych, wykraczających poza rozmiary typowe dla mikroświata).
7.6 Tunelowanie cząstek przez bariery potencjału
- Cząstka kwantowa znajdująca się po jednej stronie bariery potencjału o skończonej szerokości i wysokości może przeniknąć przez barierę i pojawić się po drugiej stronie. To zjawisko nazywane jest „tunelowaniem kwantowym”. Nie posiada ono odpowiednika w fizyce klasycznej.
- Aby obliczyć prawdopodobieństwo tunelowania kwantowego, należy założyć znajomość wartości energii padającej cząstki i rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera w celu określenia funkcji falowej wewnątrz bariery i poza nią. Prawdopodobieństwo przetunelowania jest równe stosunkowi kwadratów amplitudy za barierą i amplitudy funkcji falowej przed barierą.
- Prawdopodobieństwo przetunelowania zależy od energii padającej cząstki w stosunku do wysokości i szerokości bariery potencjału. Zależy od szerokości w sposób nieliniowy (wykładniczy) tak, że nawet małe jej zmiany powodują znacznie większą zmianę w prawdopodobieństwie transmisji.
- Zjawisko tunelowania kwantowego rządzi rozpadem radioaktywnym. Wykorzystywane jest też w wielu współczesnych technologiach, takich jak skaningowy mikroskop tunelowy i nanoelektronika. SMT pozwala na obrazowanie pojedynczych atomów na powierzchniach metalicznych. Urządzenia wykorzystujące tunelowanie elektronów zrewolucjonizowały elektronikę i pozwalają na budowanie szybkich urządzeń elektronicznych o małych rozmiarach.