Rozdz. 14 Podsumowanie - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

14.1 Indukcyjność wzajemna

Indukcyjność jest własnością urządzenia określającą jego zdolność do indukowania SEM w innym urządzeniu.
Indukcyjność wzajemna występuje w dwóch urządzeniach, które indukują wzajemnie SEM.
Zmiana natężenia prądu $d i_{1} ∕ d t$ w jednym obwodzie indukuje SEM ( $ε_{2}$ ) w drugim
$ε_{2} = - M \frac{d i_{1}}{d t},$
gdzie $M$ jest indukcyjnością wzajemną między dwoma obwodami. Znak minus wynika z reguły Lenza.
Podobnie zmiana natężenia prądu $d i_{2} ∕ d t$ w drugim obwodzie indukuje SEM ( $ε_{2}$ ) w pierwszym
$ε_{1} = - M \frac{d i_{2}}{d t},$
gdzie $M$ jest tą samą indukcyjnością wzajemną, co w przypadku odwrotnego procesu.

Zjawisko samoindukcji polega na indukowaniu się SEM w cewce indukcyjnej, przez którą płynie zmienny prąd
$ε = - L \frac{d i}{d t},$
gdzie $L$ nazywane jest indukcyjnością własną cewki, a $d i ∕ d t$ jest szybkością zmian natężenia płynącego przez nią prądu. Znak minus oznacza, że SEM przeciwdziała zmianom natężenia prądu zgodnie z regułą Lenza. Jednostką indukcyjności własnej jest henr ( $H$ ), $1 H = 1 Ω s$ .
Indukcyjność własna solenoidu wynosi
$L = \frac{μ_{0} N^{2} S}{l},$
gdzie $N$ oznacza liczbę zwojów, $S$ jest polem przekroju poprzecznego solenoidu, $i$ jest jego dlugością, a $μ_{0} = 4 π \cdot 10^{- 7} T m ∕ A$ jest przenikalnością magnetyczną próżni.
Indukcyjność własna toroidalnej cewki o przekroju prostokątnym wynosi
$L = \frac{μ_{0} N^{2} h}{2 π} ln \frac{R_{2}}{R_{1}},$
gdzie $N$ jest liczbą zwojów, $R_{1} i R_{2}$ są wewnętrznym i zewnętrznym promieniem toroidu, $h$ jest jego wysokością, a $μ_{0} = 4 π \cdot 10^{- 7} T m ∕ A$ jest przenikalnością magnetyczną próżni.

Energia zmagazynowana na cewce indukcyjnej wynosi
$E_{L} = \frac{1}{2} L I^{2} .$
Indukcyjność własna na jednostkę długości kabla koncentrycznego wynosi
$\frac{L}{l} = \frac{μ_{0}}{2 π} ln \frac{R_{2}}{R_{1}} .$

Kiedy połączymy szeregowo opornik, cewkę indukcyjną i źródło napięcia, zachowanie natężenia prądu w czasie opisywane jest równaniem (włączanie)
$i (t) = \frac{ε}{R} (1 - e^{- R t ∕ L}) = \frac{ε}{R} (1 - e^{- t ∕ τ_{L}}),$
a początkowe natężenie prądu wynosi $I_{0} = ε ∕ R$ .
Charakterystyczna stała czasowa obwodu RL wynosi $τ_{L} = L ∕ R$ , gdzie $L$ jest indukcyjnością własną, a $R$ oporem.
W czasie od $0$ do $τ_{L}$ natężenie prądu rośnie od $0$ do $\num{0,632}I_0$ .
Po zwarciu cewki z opornikiem prąd zanika według równania (wyłączanie)
$i (t) = \frac{ε}{R} e^{- t ∕ τ_{L}} .$
W czasie od $0$ do $τ_{L}$ natężenie prądu spada od $0$ do $\num{0,638}I_0$ .

Energia przenoszona jest cyklicznie między kondensatorem a cewką indukcyjną w obwodzie LC z częstością kątową $\omega=1/\sqrt{LC}$ .
Ładunek na kondensatorze i natężenie prądu w obwodzie dane są równaniami
$q \apply (t) = q_0 \cos (\omega t + \phi) \text{,}$
$i \apply (t) = -\omega q_0 \sin (\omega t + \phi) \text{.}$

Zależność ładunku od czasu w słabo tłumionym obwodzie RLC opisuje równanie
$q (t) = q_{0} e^{- R t ∕ 2 L} \cdot cos (ω^{'} t + ϕ) .$
Częstość kątowa w słabo tłumionym obwodzie RLC wynosi
$ω^{'} = \sqrt{\frac{1}{L C} - {(\frac{R}{2 L})}^{2}} .$