William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

16.1 Fale biegnące

34.

Burze na Bałtyku mogą powodować powstawanie fal, które przemieszczają się do wybrzeża oddalonego o 12 km. Jak długo trwa ten ruch, jeśli prędkość fali wynosi 15,0 m/s?

35.

Fale w basenie przemieszczają się z prędkością 0,75 m/s. Na jednym końcu basenu stoi człowiek, który uderza ręką powierzchnię wody, obserwując falę, która biegnie do przeciwległego końca basenu, odbija się od niego i wraca po upływie 30,00 s. Ile wynosi długość basenu?

36.

Powiewy wiatru tworzą na oceanie falę o długości 5,00 cm, poruszającą się z prędkością 2,00 m/s. Jaka jest jej częstotliwość?

37.

Ile razy w ciągu minuty łódka kołysze się na powierzchni wody, jeśli powstała w wyniku tego fala ma długość 40,0 m i rozchodzi się z prędkością 5,00 m/s?

38.

Harcerze na obozie potrząsają mostem linowym, który właśnie przekroczyli i obserwują fale o wysokości 8,00 m. Jaka będzie prędkość rozchodzenia się fal, jeśli będą potrząsać mostem dwa razy na sekundę?

39.

Jaka jest długość fali, którą wytwarzasz w basenie, uderzając rękoma z częstotliwością 2,00 Hz, jeśli fale rozchodzą się z prędkością 0,800 m/s?

40.

Jaka jest długość fali sejsmicznej, która powoduje drgania o częstotliwości 10,0 Hz i przenosi się do miejsca odległego o 84,0 km w ciągu 12,0 s?

41.

Fale radiowe transmitowane z prędkością $v = c \approx 3 \cdot 10^{8} m / s$ przez sondę kosmiczną Voyager mają długość 0,120 m. Jaka jest ich częstotliwość?

42.

Ludzkie ucho jest w stanie rozróżniać dźwięki, które dochodzą do każdego ucha z osobna z opóźnieniem 0,34 ms. (a) Przypuśćmy, że źródło dźwięku o niskiej częstotliwości znajduje się na prawo od osoby, której uszy są oddalone od siebie w przybliżeniu o 18 cm, a prędkość dźwięku wynosi ok. 340 m/s. Jak długi jest interwał czasu między chwilą, w której dźwięk dobiega do prawego ucha, a chwilą, w której dźwięk dobiega do lewego ucha? (b) Załóż, że ta sama osoba nurkuje i źródło dźwięku o niskiej częstotliwości znajduje się z prawej strony nurka. Jak długi jest interwał czasu w tym przypadku, jeśli prędkość dźwięku w wodzie wynosi 1500 m/s? (c) Co jest istotne dla interwałów czasu w obu tych sytuacjach?

43.

(a) Sejsmografy dokonują pomiaru czasu wystąpienia trzęsienia Ziemi z dokładnością do 0,100 s. W celu oszacowania położenia epicentrum wstrząsu geologowie porównują czasy nadejścia fal S i P, które poruszają się z różnymi prędkościami. Jeśli fale prędkości fal S i P wynoszą odpowiednio 4,00 km/s i 7,20 km/s, to z jaką precyzją możemy obliczyć położenie epicentrum? (b) Fale sejsmiczne z wnętrza Ziemi powstające podczas detonowania bomb jądrowych mogą być użyte do zlokalizowania miejsca przeprowadzenia próby i wykrycia sprawcy naruszenia zakazu wykonywania takich testów. Oceń granice dokładności obliczeń do części (a).

44.

Harcerka odbywa 10-kilometrowy marsz, żeby zdobyć odznakę. Podczas marszu zauważa klif w pewnej odległości od niej. Pragnąc obliczyć czas potrzebny na dojście do klifu i wiedząc, że prędkość dźwięku wynosi w przybliżeniu 343 m/s, krzyczy i zauważa, że echo wraca po upływie mniej więcej 2,00 s. Jeśli dziewczynka jest w stanie pokonać 1,00 km w ciągu 10 minut, to ile czasu zajmie jej dotarcie do klifu?

45.

Inżynier ds. zapewnienia jakości w firmie produkującej patelnie dostał polecenie sprawdzenia jakości nowej linii patelni z powłoką zapobiegającą przywieraniu. Powłoka powinna mieć grubość 1,00 mm. Jedna z dostępnych metod polega na zmierzeniu grubości powłoki przy pomocy śruby mikrometrycznej. Jednak wymaga ona zerwania powłoki z patelni, jest zatem inwazyjna dla produktu. Inżynier zdecydował się zastosować metodę nieinwazyjną, w której generator wytwarza ultradźwięki o częstotliwości $f = 25 kHz$ . Ultradźwięki były przepuszczane przez badaną powłokę, następnie odbijały się one od powierzchni metalu i ulegały interferencji z falami biegnącymi. Mierzono czas przejścia fali przez powłokę. Długość fali ultradźwiękowej w powłoce wyniosła 0,076 m. Jaki powinien być czas przejścia fali przez powłokę, jeśli ma ona prawidłową grubość (1,00 mm)?

16.2 Matematyczny opis fal

46.

Impuls może być opisany jako pojedyncze zaburzenie falowe, które przenosi się przez ośrodek. Rozważ impuls, który w chwili $t = 0,00 s$ jest opisany równaniem $y (x) = \frac{6,00 m^{3}}{x^{2} + 2,00 m^{2}}$ , a którego położenie wynosi $x = 0,00 m .$ Impuls rozchodzi się z prędkością $v = 3,00 m/s$ zgodnie ze zwrotem osi $x$ . (a) Ile wynosi amplituda impulsu? (b) Podaj równanie impulsu jako funkcję położenia i czasu. (c) Jakie jest położenie impulsu w chwili $t = 5,00 s$ ?

47.

Fala poprzeczna na strunie jest opisana funkcją falową

y (x, t) = 0,2 c m \cdot \sin (2,0 m^{- 1} \cdot x - 3,0 s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{16}) .

Jakie jest wychylenie struny względem położenia równowagi dla $x = 4,0 m$ w chwili $t = 10,0 s ?$

48.

Rozważ funkcję falową

y (x, t) = 3,0 c m \cdot \sin (0,4 m^{- 1} \cdot x - 2,0 s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{10}) .

Podaj okres, długość, prędkość i fazę początkową tej fali.

49.

Dane jest równanie impulsu:

y\apply(x,t) = \exp(\num{-2,77}(\frac{\num{2,00}(x - \SI{2,00}{\metre\per\second} \cdot t)}{\SI{5,00}{\metre}})^2) ​

Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykres wychylenia ośrodka $y$ w funkcji położenia $x$ . Przedstaw zależności (na tym samym wykresie) dla chwil czasu $t = 0,00 s$ oraz $t = 3,00 s$ . Jakie będzie położenie impulsu w chwili $t = 3,00 s$ ?

50.

W chwili $t = 0,00 s$ fala jest opisana funkcją falową, która zależy od położenia. Równanie ma postać: $y (x) = 0,30 m \cdot \sin (6,28 m^{- 1} \cdot x)$ . Fala pokonuje odcinek 4,00 m w czasie 0,50 s w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ . Napisz równanie falowe jako funkcję położenia i czasu.

51.

Fala jest opisana funkcją

y (x, t) = 0,25 m \cdot \sin (0,3 m^{- 1} \cdot x - 0,9 s^{- 1} \cdot t + \frac{π}{3}) .

Oblicz: (a) amplitudę, (b) liczbę falową, (c) częstość kołową, (d) prędkość fali, (e) fazę początkową, (f) długość fali, (g) okres fali.

52.

Fala na powierzchni wody ma amplitudę 0,6 m, a odległość pomiędzy sąsiednimi dolinami fali wynosi 8,00 m. Fala rozchodzi się z prędkością 1,5 m/s w kierunku zgodnym ze zwrotem osi $x$ . W chwili czasu $t = 0$ wychylenie wynosi zero, a $v_{y}$ jest dodatnie. (a) Zakładając, że jest to fala sinusoidalna, podaj postać równania fali. (b) W arkuszu kalkulacyjnym narysuj przebieg fali dla chwil czasu $t = 0,00 s$ oraz $t = 2,00 s$ na tym samym wykresie. Sprawdź, czy fala pokonuje odległość 3,00 m w czasie 2,00 s.

53.

Fala jest przedstwiona funkcją falową: $y (x, t) = 0,30 m \cdot \sin [\frac{2 π}{4,50 m} (x - 18,00 \frac{m}{s} \cdot t)]$ . Podaj amplitudę, długość, szybkość, okres i częstotliwość tej fali.

54.

Podłużna fala na strunie jest opisana funkcją falową $y (x, t) = 0,50 c m \cdot \sin (1,57 m^{- 1} \cdot x - 6,28 s^{- 1} \cdot t)$ . (a) Jaka jest prędkość tej fali? (b) Jaka jest wartość maksymalnej prędkości wychyleń struny w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu fali?

55.

Pływak zauważył, że jednego dnia fale na powierzchni morza były okresowe i przypominały falę sinusoidalną. Oszacował, że pionowa odległość pomiędzy grzbietem a doliną fali wynosi około 0,45 m, a odległość pomiędzy dwoma grzbietami 1,8 m. Naliczył 12 fal w ciągu każdych 2 min. Napisz prostą funkcję falową opisującą tę falę.

56.

Rozważ falę opisaną funkcją falową $y (x, t) = 0,3 m sin (2,00 m^{−1} x - 628,00 s^{−1} t) .$ (a) Ile grzbietów przebiegnie przez punkt, w którym stoi obserwator, w ciągu 2,00 min? (b) Jak daleko przemieści się fala w tym czasie?

57.

Rozważ dwie fale opisane funkcjami falowymi $y_{1} (x, t) = 0,50 m sin (\frac{2 π}{3,00 m} x + \frac{2 π}{4,00 s} t)$ i $y_{2} (x, t) = 0,50 m sin (\frac{2 π}{6,00 m} x - \frac{2 π}{4.00 s} t) .$ Podaj podobieństwa i różnice między nimi.

58.

Rozważ dwie fale opisane funkcjami falowymi: $y_{1} (x, t) = 0,20 m sin (\frac{2 π}{6,00 m} x - \frac{2 π}{4,00 s} t)$ oraz $y_{2} (x, t) = 0,20 m cos (\frac{2 π}{6,00 m} x - \frac{2 π}{4,00 s} t) .$ Podaj podobieństwa i różnice między tymi falami.

59.

Prędkość fali poprzecznej na strunie wynosi 300,00 m/s, jej długość 0,50 m, a amplituda 20,00 cm. Jaki czas jest potrzebny, aby cząstka na strunie przebyła odległość 5,00 km?

16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie

60.

Fala poprzeczna rozchodzi się wzdłuż struny o długości 5,00 m z prędkością 30,00 m/s. Struna poddana jest naprężeniu 10,00 N. Ile wynosi masa struny?

61.

Drut miedziany ma gęstość $ρ = 8920 {kg/m}^{3},$ jego promień wynosi 1,20 mm, a długość $L$ . Poddano go naprężeniu 10,00 N i wzdłuż niego wytworzono falę poprzeczną. (a) Jaka jest liniowa gęstość masy drutu? (b) Jaka jest prędkość fali rozchodzącej się wzdłuż drutu?

62.

Struna fortepianu ma liniową gęstość masy $μ = 4,95 \cdot 10^{- 3} k g / m$ . Ile powinno wynosić naprężenie struny, aby prędkość fali wyniosła 500,00 m/s?

63.

Struna o liniowej gęstości masy $μ = 0,0060 kg/m$ jest przymocowana do sufitu. Do jej swobodnego końca przywiązano odważnik o masie 20 kg. Struna została uderzona i wzdłuż niej powstała fala. Oszacuj prędkość tej fali.

64.

Sznur ma liniową gęstość masy $μ = 0,0075 kg/m$ , a jego długość wynosi 3 m. Został on szarpnięty i w ciągu 0,20 s fala dobiegła do jego końca. Jakie jest naprężenie sznura?

65.

Struna ma długość 3,00 m, a jej masa wynosi 5,00 g. Poddano ją naprężeniu 500,00 N i wytworzono wzdłuż niej impuls. Ile czasu potrzeba, aby przemieścił się on wzdłuż struny?

66.

Fala dźwiękowa rozchodzi się w azocie w warunkach normalnych. Zakładając, że gęstość $ρ = 1,25 {kg/m}^{3}$ , a moduł sprężystości objętościowej wynosi $K = 1,42 \cdot 10^{5} P a$ , oblicz prędkość dźwięku.

67.

Jaka jest w przybliżeniu prędkość dźwięku w powietrzu o temperaturze $T = 28 ° C$ ?

68.

Fala poprzeczna rozchodzi się wzdłuż struny poddanej naprężeniu 7,00 N z prędkością 20,00 m/s. Jakie powinno być naprężenie struny, aby prędkość fali była równa 25,00 m/s?

69.

Dwie struny są zamocowane pomiędzy dwoma palami, jak pokazano na poniższym rysunku. Pale są odległe o 2,00 m. Każdą strunę poddano naprężeniu 600,00 N. Struna 1 ma liniową gęstość $μ_{1} = 0,0025 kg/m$ , a struna 2 $μ_{2} = 0,0035 kg/m .$ Na końcach z każdej strony generowane są fale poprzeczne, tak jak pokazano na rysunku. Ile czasu musi upłynąć, aby się spotkały?

Rysunek pokazuje dwie struny, zamocowane do pali. Dla struny górnej fala rozchodzi się z lewa na prawo z prędkością v subscript w1. W dolnej strunie fala rozchodzi się z prawa na lewo z prędkością v subscript w2.

70.

Dwie struny zamocowano do dwóch pali, jak pokazano na rysunku powyżej. Odległość między palami wynosi 2,00 m. Gęstość liniowa każdej struny wynosi $μ_{1} = 0,0025 kg/m,$ naprężenie struny 1 wynosi 600,00 N, a struny 2 700,00 N. Fale poprzeczne są generowane na obu końcach strun, jak pokazano na rysunku. Ile potrzeba czasu, aby się spotkały?

71.

Dźwięk e¹ fortepianu ma częstotliwość $f = 393,88 H z$ . Jaka będzie prędkość fali na strunie i jej długość, jeśli struna o liniowej gęstości masy $μ = 0,012 kg/m$ zostanie poddana sile naciągu o wartości 1000,00 N?

72.

Dwie fale poprzeczne poruszają się wzdłuż struny. Prędkość każdej z nich wynosi $v = 30,00 m/s .$ Wykres wychylenia w funkcji położenia dla chwili czasu $t = 0,00 s$ przedstawiono na poniższym rysunku. (a) Ile wynoszą długości tych fal? (b) Ile wynoszą ich częstotliwości? (c) Jaka jest maksymalna prędkość w kierunku pionowym dla każdej z fal?

Przedstawiono dwie fale. Pierwsza oznaczona jako y1 od x, t. Jej wartości y zmieniają się od -3 m do 3 m. Grzbiety fali odpowiadają wartościom x równym 5 m i 15 m. Druga fala jest oznaczona jako y2 od x, t. Jej wartości y zmieniają się od -2 do 2. Jej grzbiety odpowiadają x równemu 3 m, 9 m i 15 m.

73.

Fala sinusoidalna rozchodzi się wzdłuż struny o liniowej gęstości masy $μ = 0,060 kg/m$ . Maksymalna prędkość fali w kierunku pionowym to $v_{y max} = 0,30 cm/s .$ Fala jest opisana rozwiązaniem równania falowego
$y (x, t) = A sin (6,00 m^{−1} x - 24,00 s^{−1} t) .$ (a) Jaka jest amplituda fali? (b) Jakie jest naprężenie struny?

74.

Prędkość fali poprzecznej na strunie wynosi $v = 60,00 m/s$ , natomiast naciąg struny wynosi $F_{T} = 100,00 N$ . Jakie powinno być naprężenie struny, by prędkość fali wzrosła do $v = 120,00 m/s?$

16.4 Energia i moc fali

75.

Struna o długości 5 m i masie 90 g jest poddana naprężeniu 100 N. Wzdłuż niej rozchodzi się fala, którą możemy opisać równaniem:

\begin{array}{l} y (x, t) = 0,01 m \\ \cdot sin (0,40 m^{-1} \cdot x - 1170,12 s^{-1} \cdot t) . \end{array}

Jaka moc przypada na jednostkę długości fali?

76.

Ultradźwięk o natężeniu $1,5 \cdot 10^{2} W / m^{2}$ jest wytwarzany przez głowicę ultrasonografu, za pomocą którego możemy dokonać obrazowania prostokątnego fragmentu ciała ludzkiego o wymiarach 3,00 cm na 5,0 cm. Jaka jest moc wyjściowa ultradźwięku?

77.

Głośnik niskiej częstotliwości ma powierzchnię $A = 0,05 m^{2}$ i wytwarza 1 W mocy akustycznej. (a) Jakie jest natężenie dźwięku w jego pobliżu? (b) Jeśli od głośnika dźwięki rozchodzą się równomiernie we wszystkich kierunkach, to w jakiej odległości od niego słyszalny będzie dźwięk o natężeniu $0,1 {W/m}^{2}$ ?

78.

Ile razy należy zwiększyć amplitudę fali, żeby zwiększyć jej natężenie 50 razy?

79.

Do pomiaru natężenia światła słonecznego używa się miernika, którego powierzchnia $100 {cm}^{2}$ rejestruje promieniowanie o mocy 6,50 W. Podaj zarejestrowane natężenie w ( ${W/m}^{2}$ ).

80.

Energia słoneczna, która dociera do powierzchni Ziemi, ma natężenie $1400 {W/m}^{2}$ . Jak dużo czasu potrzeba, aby dostarczyć energię $1,8 \cdot 10^{9} J$ na powierzchnię $1,00 m^{2}$ ?

81.

Przypuśćmy, że dysponujemy urządzeniem, które odzyskuje moc z fal morskich. Moc ta jest proporcjonalna do natężenia fal. Jeśli dziennie urządzenie wytwarza 10,0 kW mocy z fal o wysokości 1,20 m, to ile wytoworzy mocy z fali o wysokości 0,600 m?

82.

Panele słoneczne przetwarzają energię słoneczną na energię elektryczną z wydajności 10,0 %. Jeśli średnie natężenie światła słonecznego w dzień wynosi $70,00 {W/m}^{2}$ , to jaką powierzchnię powinien mieć panel, żeby wytworzyć energię elektryczną o mocy 100 W? (b) Ile wynosi maksymalny koszt paneli, jeśli inwestycja musi się zwrócić po 2 latach, a korzysta się z nich 10 h dziennie? Załóż, że 1 kW energii kosztuje 50 groszy.

83.

Dźwięk dochodzący do mikrofonu tworzy na ekranie oscyloskopu sinusoidę. Jeśli natężenie oryginalnego dźwięku, wynoszące $2,00 \cdot 10^{- 5} W / m^{2}$ , uległo wzmocnieniu, a amplituda wzmocnionego dźwięku wzrosła o $30,0 %$ , to jakie jest natężenie wzmocnionego dźwięku?

84.

Struna ma masę 0,30 kg i długość 4,00 m. Jeśli jej naprężenie wynosi 50,00 N, a sinusoidalna fala indukowana na strunie ma amplitudę 2,00 cm, to jaka jest jej częstotliwość, jeśli średnia moc wynosi 100,00 W?

85.

Wzdłuż struny $(μ = 0,05 kg/m)$ została wygenerowana fala sinusoidalna. Równanie falowe dla takiej fali ma postać: $y (x, t) = A sin (20,93 m^{−1} x - ω t)$ . Jaka jest częstotliwość i amplituda fali?

86.

Struna została poddana naprężeniu $F_{T}$ . Energia jest przenoszona przez falę na strunie w tempie $P_{1}$ , a częstotliwość tej fali wynosi $f_{1}$ . Jak zmieni się tempo przenoszenia energii $P_{2}$ w porównaniu z $P_{1}$ , jeśli naprężenie wzrośnie dwukrotnie?

87.

Uderzono kamerton o częstotliwości 250 Hz. Natężenie dźwięku wynosi $I_{1}$ w odległości 1,00 m od źródła. (a) Ile wynosi natężenie dźwięku w odległości 4,00 m od źródła? (b) Jak daleko od kamertonu słychać dźwięk o natężeniu równym 1/10 natężenia dźwięku w punkcie położonym bardzo blisko źródła?

88.

Głośnik jest zasilany napięciem $U = 120,00 V$ , a płynący w nim prąd ma natężenie $I = 10,00 A .$ Moc wynosi $P = I U$ . Aby przetestować głośnik, na jego wejście podano sygnał o przebiegu sinusoidalnym. Zakładając, że dźwięk jest falą kulistą i cała energia dostarczona do głośnika zostaje zamieniona na energię akustyczną, oblicz, jak daleko od głośnika słychać dźwięk o natężeniu $3,82 {W/m}^{2} ?$

89.

Energia fali, która powstała na powierzchni sadzawki, jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. W przypadku, gdy odległość fali od źródła wynosi 6,00 m, amplituda fali wynosi 0,1 cm. Ile wynosiłaby amplituda dla odległości fali od źródła równej 2,00 m?

16.5 Interferencja fal

90.

Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane jako:
$y_{1} (x, t) = 0,3 m sin (4 m^{−1} x + 3 s^{−1} t)$ i $y_{2} (x, t) = 0,6 m sin (8 m^{−1} x - 6 s^{−1} t) .$ Jakie jest wychylenie fali wypadkowej utworzonej w wyniku interferencji tych dwóch fal w punkcie $x = 0,5 m$ w chwili $t = 0,2 s?$

91.

Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane przez równania:
$y_{1} (x, t) = 0,3 m sin (4 m^{−1} x + 3 s^{−1} t + \frac{π}{3})$
i $y_{2} (x, t) = 0,6 m sin (8 m^{−1} x - 6 s^{−1} t) .$ Jakie jest wychylenie fali wypadkowej utworzonej w wyniku interferencji tych dwóch fal w punkcie $x = 1,0 m$ w chwili $t = 3,0 s?$

92.

Rozważ dwie fale sinusoidalne biegnące wzdłuż struny, opisane jako: $y_{1} (x, t) = 0,3 m sin (4 m^{−1} x - 3 s^{−1} t)$ i $y_{2} (x, t) = 0,3 m sin (4 m^{−1} x + 3 s^{−1} t) .$ Podaj funkcję falową fali wypadkowej. (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości $sin (u \pm v) = sin u cos v \pm cos u sin v$ .)

93.

Dwie fale sinusoidalne biegną w tym samym ośrodku w tych samych kierunkach. Ich amplitudy wynoszą 3,00 cm, długości 5,20 m, a okresy 6,52 s. Faza początkowa jednej z nich wynosi $ϕ$ . Jaka jest faza fali wyjściowej o amplitudzie 5,00 cm? (Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości $sin u + sin v = 2 sin (\frac{u + v}{2}) cos (\frac{u - v}{2})$ .)

94.

Dwie fale sinusoidalne biegną w tym samym ośrodku zgodnie ze zwrotem osi $x$ . Obie mają amplitudy równe 6,00 cm, długości 4,3 m, okresy 6,00 s, a faza początkowa jednej z nich wynosi $ϕ = 0,50 rad .$ Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w chwili $t = 3,15 s$ i w punkcie $x = 0,45 m$ ?

95.

Dwie fale sinusoidalne biegną przez ośrodek wzdłuż osi $x$ . Obie mają amplitudy równe 7,00 cm, liczby falowe $k = 3,00 m^{−1},$ częstości kołowe $ω = 2,50 s^{−1}$ i okresy równe 6,00 s, a jedna ma fazę początkową równą $ϕ = π / 12 r a d .$ Jakie jest wychylenie fali wypadkowej w chwili $t = 2,00 s$ i położeniu $x = 0,53 m?$

96.

Rozważ dwie fale, rozchodzące się w tym samym ośrodku: $y_{1} (x, t)$ i $y_{2} (x, t)$ . Różnią się one jedynie fazą. (a) Podaj wartość fazy w radianach, jeśli amplituda fali wypadkowej stanowi 1,75 amplitudy fal składowych. (b) Podaj wartość fazy w stopniach. (c) Wyraź fazę poprzez długości składowych fal.

97.

Dwie fale sinusoidalne, które różnią się jedynie fazą, biegną w tym samym kierunku. Równanie falowe fali wypadkowej ma postać

y_{R} (x, t) = 0,70 m sin (3,00 m^{−1} x - 6,28 s^{−1} t + \frac{π}{4}) .

Ile wynoszą: częstości kołowe, liczby falowe, amplitudy i fazy fal składowych?

98.

Dwie fale sinusoidalne, które różnią się jedynie fazą, biegną w tym samym kierunku. Równanie falowe fali wypadkowej wynosi $y_{R} (x, t) = 0,35 cm sin (6,28 m^{−1} x - 1,57 s^{−1} t + \frac{π}{4}) .$ Ile wynoszą: okresy, długości, amplitudy i fazy poszczególnych fal?

99.

Rozważ dwie funkcje falowe: $y_{1} (x, t) = 4,00 m sin (π m^{−1} x - π s^{−1} t)$ i $y_{2} (x, t) = 4,00 m sin (π m^{−1} x - π s^{−1} t + \frac{π}{3}) .$ (a) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, narysuj wykresy funkcji falowych oraz funkcji falowej, która jest wynikiem superpozycji tych dwóch funkcji falowych w funkcji położenia $(0,00 \leq x \leq 6,00 m)$ dla chwili czasu $t = 0,00 s .$ (b) Ile wynoszą długości fali i amplitudy fal pierwotnych? (c) Ile wynoszą długość i amplituda fali wypadkowej?

100.

Rozważ dwie funkcje falowe: $y_{2} (x, t) = 2,00 m sin (\frac{π}{2} m^{−1} x - \frac{π}{3} s^{−1} t)$ i $y_{2} (x, t) = 2,00 m sin (\frac{π}{2} m^{−1} x - \frac{π}{3} s^{−1} t + \frac{π}{6}) .$ (a) Sprawdź, czy $y_{R} = 2 A cos (\frac{ϕ}{2}) sin (k x - ω t + \frac{ϕ}{2})$ jest rozwiązaniem dla fali, która powstała w wyniku superpozycji tych dwóch fal. Utwórz tabelkę, której kolumny odpowiadają $x$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{1} + y_{2}$ i $y_{R} = 2 A cos (\frac{ϕ}{2}) sin (k x - ω t + \frac{ϕ}{2}) .$ Wylicz wartości dla $x$ zmieniającego się w zakresie od 0 do 12 m, którymi posłużysz się do narysowania wykresów dla wszystkich czterech fal.

101.

Rozważ dwie funkcje falowe, które różnią się jedynie fazą: $y_{1} (x, t) = A cos (k x - ω t)$ i $y_{2} (x, t) = A cos (k x - ω t + ϕ) .$ Korzystając z tożsamości trygonometrycznych $cos u + cos v = 2 cos (\frac{u - v}{2}) cos (\frac{u + v}{2})$ oraz $cos (− θ) = cos (θ)$ , oblicz równanie falowe fali, która jest wynikiem ich superpozycji. Czy równanie falowe, które uzyskałeś, jest dla ciebie zaskoczeniem?

16.6 Fale stojące i rezonans

102.

Fala biegnąca wzdłuż sprężynki Slinky, którą rozciągnięto na 4 m przebiega odległość tam i z powrotem w ciągu 2,4 s. (a) Jaka jest prędkość fali? (b) Przy pomocy tej samej sprężynki rozciągniętej na tę sama długość wytworzono falę stojącą, która ma trzy strzałki i cztery węzły. Jaka jest częstotliwość drgań sprężynki?

103.

Struna o długości 2 m jest zamocowana z dwóch stron i poddana takiemu naprężeniu, że wzdłuż niej biegnie fala z prędkością równą $v_{w} = 50,00 m/s .$ Ile wynosi długość fali i częstotliwości trzech pierwszych modów normalnych?

104.

Rozważ układ eksperymentalny pokazany na rysunku poniżej. Długość odcinka struny między oscylaorem a bloczkiem wynosi $L = 1,00 m .$ Liniowa gęstość masy struny to $μ = 0,006 kg/m .$ Oscylator może wykonywać drgania o dowolnej częstotliwości. Masa odważnika wynosi 2,00 kg. (a) Ile wynosi długość fali i częstotliwość modu $n = 6$ ? (b) Struna powoduje drgania powietrza wokół siebie. Jaka jest długość fali dźwięku, jeśli prędkość dźwięku wynosi $v_{s} = 343,00 m/s?$

Po lewej stronie rysunku znajduje się oscylator. Struna jest przymocowana do prawej strony obudowy oscylatora. Struna jest przerzucona przez bloczek, a jej koniec zwisa pionowo. Na końcu struny znajduje się odważnik. Struna porusza się wzdłuż bloczka bez tarcia. Odległość pomiędzy bloczkiem i oscylatorem wynosi L. Odcinek ten jest opisany jako mu równa się dm dzielone przez dx równa się wartość stała.

105.

Kabel o liniowej gęstości masy $μ = 0,2 kg/m$ rozpięto między dwoma słupami. Jego naprężenie wynosi 500,00 N. Odległość między słupami to 20 m. Wiatr wprawił kabel w rezonans i wzdłuż niego powstała fala stojąca o długości 4,5 m. Temperatura powietrza wynosi $T = 20 ° C .$ Ile wynosi częstotliwość i długość podmuchu?

106.

Rozważ pręt o długości $L$ , który zamocowano na środku. W miejscu zamocowania musi powstać węzeł, jak pokazano poniżej. Narysuj dwa pierwsze mody normalne dla pręta wykonującego drgania rezonansowe. Oblicz długości fal i częstotliwości, które powodują rezonans pręta.

Rysunek przedstawia poziomy pręt o długości L = 2 m, który jest podparty w środku

107.

Rozważ dwie funkcje falowe $y (x, t) = 0,30 cm sin (3 m^{−1} x - 4 s^{−1} t)$ i $y (x, t) = 0,30 cm sin (3 m^{−1} x + 4 s^{−1} t)$ . Napisz funkcję falową dla fali stojącej, która jest ich wypadkową.

108.

Struna o długości 2,40 m i masie 7,50 g poddana jest naprężeniu 160 N. Oba jej końce są zamocowane, a ona sama została wprawiona w drgania. (a) Jaka jest prędkość fali na strunie? Struna została wprawiona w drgania rezonansowe z taką częstotliwością, przy której utworzona została fala stojąca o długości 1,20 m. (b) Jaka jest częstotliwość drgań wymuszających, które wprawiły strunę w rezonans?

109.

Struna o gęstości liniowej masy 0,0062 kg/m i długości 3,00 m została wprawiona w drgania rezonansowe o modzie $n = 100$ . Naprężenie struny wynosi 20,00 N. Ile wynosi długość i częstotliwość fali?

110.

Struna o liniowej gęstości masy 0,0075 kg/m i długości 6,00 m została wprawiona w drgania rezonansowe o modzie $n = 4$ przez drgania wymuszające o częstotliwości 100,00 Hz. Jakie jest naprężenie struny?

111.

Dwie fale sinusoidalne o identycznych długościach i amplitudach biegną w przeciwnych kierunkach wzdłuż struny, tworząc falę stojącą. Liniowa gęstość masy struny wynosi $μ = 0,075 kg/m$ , a naprężenie $F_{T} = 5,00 N .$ Interwał czasowy pomiędzy wygaszeniami interferencyjnymi to $Δ t = 0,13 s .$ Ile wynosi długość fali?

112.

Struna zamocowana na obu końcach ma długość 5,00 m i masę 0,15 kg. Naprężenie struny wynosi 90 N. Struna wykonuje drgania tak, że powstaje fala stojąca o częstotliwości podstawowej. (a) Jaka jest prędkość fali na strunie? (b) Podaj długość fali stojącej. (c) Ile wynosi okres fali stojącej?

113.

Jeden koniec struny jest zamocowany. Masa struny wynosi 0,0090 kg, a jej długość 3,00 m. Poddano ją naprężeniu 200,00 N. Struna jest wprawiana w drgania przez źródło o regulowanej częstotliwości tak, aby wzdłuż niej mogły powstawać fale stojące. Podaj długości fal i częstotliwości dla czterech pierwszych modów fali stojącej.

114.

Częstotliwości dwóch kolejnych modów fali na strunie wynoszą 258,36 Hz i 301,42 Hz. Jaka jest kolejna częstotliwość, większa niż 100,00 Hz, przy której powstaje fala stojąca?

115.

Struna o długości 3,50 m i liniowej gęstości masy $μ = 0,005 kg/m$ jest zamocowana na obu końcach i poddana naprężeniu 90,00 N. Wzdłuż niej powstała fala stojąca mająca 6 węzłów i 5 strzałek. Ile wynoszą prędkość, długość, częstotliwość i okres fali stojącej?

116.

Falę sinusoidalną wytworzono wzdłuż struny o długości 1,5 m. Oba jej końce są zamocowane. Fala odbija się od punktów zamocowania. Amplituda wynosi 4,00 cm, a prędkość rozchodzenia się 175 m/s. Wzdłuż struny powstaje mod rezonansowy $n = 6$ . Napisz równanie fali stojącej dla tego przypadku.