15.1 Ruch harmoniczny

Ruch periodyczny to powtarzające się drgania. Czas wykonania jednego pełnego drgnienia to okres $T$ , liczba drgań na jednostkę czasu definiuje zaś częstotliwość $f$ . Obie wielkości są związane relacją $f = \frac{1}{T}$ .
Ruch harmoniczny jest ruchem drgającym układu, w którym siła zwrotna zmienia się wraz z przemieszczeniem i działa w kierunku do niego przeciwnym.
Maksymalne przemieszczenie to amplituda $A$ . Dla oscylatora harmonicznego częstość kołowa $ω$ , okres drgań $T$ i ich częstotliwość $f$ są odpowiednio określone wzorami $ω = \sqrt{k / m}$ , $T = 2 π \sqrt{m / k}$ i $f = \sqrt{k / m} / (2 π)$ , gdzie $m$ jest masą klocka a $k$ – współczynnikiem sprężystości sprężyny.
W oscylatorze harmonicznym przemieszczenie jest funkcją czasu określoną wzorem $x (t) = A \cos (2 π t / T + ϕ) = A \cos (ω t + ϕ)$ .
Prędkość jest wyrażona relacją $v (t) = − A ω sin (ω t + ϕ) = − v_{max} sin (ω t + ϕ),$ gdzie $v_{m a x} = A ω = A \sqrt{k / m}$ .
Przyspieszenie określa wzór $a (t) = − A ω^{2} cos (ω t + ϕ) = − a_{max} cos (ω t + ϕ)$ , gdzie $a_{m a x} = A ω^{2} = A k / m$ .

15.2 Energia w ruchu harmonicznym

Najprostszy rodzaj drgań dotyczy układów, które można opisać prawem Hooke’a: $F = - k x$ , gdzie $F$ jest siłą zwrotną, $x$ jest przemieszczeniem z położenia równowagi lub deformacją, a $k$ jest współczynnikiem sprężystości układu.
W układzie opisywanym prawem Hooke’a energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście wynosi $E_{p s p r} = k x^{2} / 2$ .
Energia całkowita w oscylatorze harmonicznym jest stała w czasie i dzielona pomiędzy energię potencjalną sprężystości i energię kinetyczną:

$E_{całkowita} = \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} = const .$
Wartość prędkości jako funkcję położenia dla oscylatora harmonicznego określa zależność:

$| v | = \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})}$

Rozważ dysk o promieniu $A$ poruszający się ze stałą prędkością kątową $ω$ . Punkt na krawędzi dysku porusza się ze stałą prędkością styczną $v_{max} = A ω$ . Rzut promienia na oś $x$ opisuje wzór $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ , gdzie $ϕ$ jest przesunięciem fazowym. Z kolei składowa $x$ prędkości stycznej to $v (t) = − A ω sin (ω t + ϕ)$ .

Ciało o masie $m$ zawieszone na nieważkiej nici o długości $d$ tworzy wahadło matematyczne, którego drgania są ruchem harmonicznym przy amplitudzie kąta nie przekraczającej $15^{\circ}$ . Okres drgań wahadła opisuje wzór $T = 2 π \sqrt{d / g}$ , gdzie $d$ jest długością nici a $g$ – przyspieszeniem ziemskim.
Okres drgań wahadła fizycznego można wyznaczyć ze wzoru $T = 2 π \sqrt{I / (m g d)}$ , jeśli znamy moment bezwładności. Odległość pomiędzy osią obrotu a środkiem masy wynosi L.
Okres drgań wahadła torsyjnego określa wzór $T = 2 π \sqrt{I / κ}$ , wymagana jest więc znajomość momentu bezwładności wahadła i momentu kierującego drutu.

W oscylatorach harmonicznych tłumionych działają siły niezachowawcze, które powodują dyssypację energii.
Tłumienie krytyczne powoduje, że układ możliwie najszybciej, asymptotycznie wraca do położenia równowagi.
Układ drgający z tłumieniem podkrytycznym wykonuje drgania wokół położenia równowagi.
Układ z tłumieniem nadkrytycznym osiąga stan równowagi wolniej niż ten z tłumieniem krytycznym.

Częstotliwość własna układu to częstotliwość, w której układ oscyluje swobodnie, o ile nie działa na niego siła wymuszająca ani siły oporu ośrodka.
Rezonans w oscylatorze harmonicznym zachodzi pod wpływem periodycznej siły wymuszającej działającej z taką częstotliwością, jak częstotliwość rezonansowa układu. W tych warunkach obserwujemy drgania rezonansowe o dużej amplitudzie.
Amplituda drgań wymuszonych w pobliżu rezonansu jest tym wyższa, im słabsze jest tłumienie. Wzrost tłumienia układu powoduje poszerzenie krzywej amplitudowej w odpowiedzi na częstotliwość siły wymuszającej.