Rozdział 8

$4\mathrm{,}63\mathrm{J}-(-2\mathrm{,}83\mathrm{J})=7\mathrm{,}00\mathrm{J}$

35,3 kJ, 143 kJ, 0 kJ

22,8 cm. Nierozciągnięta sprężyna ma długość 0,02 m (patrz: początek przykładu). Znając długość nierozciągniętej sprężyny, możemy obliczyć, że końcowe odkształcenie sprężyny wynosi 0,028 m. Stąd długość sprężyny jest sumą długości nierozciągniętej i odkształcenia, czyli 22,8 cm.

Musi wzrosnąć, ponieważ siła była skierowana w dół, czyli praca została wykonana, aby odciągnąć ciężarek. Wykonana praca będzie równa wzrostowi całkowitej energii potencjalnej układu.

2,83 N

$F=4\mathrm{,}8\mathrm{N}$, skierowana w stronę początku układu współrzędnych.

$\mathrm{0,033}\text{m}$

b. Przy danej wysokości energia potencjalna grawitacji jest zawsze taka sama, natomiast energia kinetyczna jest mniejsza w ruchu w dół, ponieważ siła oporu powietrza jest dyssypatywna i wykonuje ujemną pracę. W związku z tym, dla każdej wysokości prędkość w ruchu w dół jest mniejsza niż prędkość ruchu w górę, a zatem czas opadania jest dłuższy od czasu wznoszenia.

stałej – $E_p(x)=-1\mathrm{J}$

a. Tak, ruch jest dozwolony dla $\mathrm{-1,055}\text{m}\le x\le \mathrm{1,055}\text{m}$; b. takie same jak w poprzednim przypadku.

$x\left(t\right)=\text{±}\sqrt{\left(2E\text{/}k\right)}\text{sin}\left[\left(\sqrt{k\text{/}m}\right)t\right]\text{oraz}{v}_0=\text{±}\sqrt{\left(2E\text{/}m\right)}$

Energia potencjalna układu może być ujemna, ponieważ jest to wartość liczona względem pewnego określonego punktu.

Jeśli punkt odniesienia jest przyjęty na poziomie podłoża, to energia potencjalna wzrasta do momentu osiągnięcia maksimum lotu, po czym zmniejsza się wraz z opadaniem oszczepu. Całkowita zmiana energii potencjalnej w tym ruchu wynosi zero, z wyjątkiem sytuacji, w której oszczep ma punkt ciężkości poniżej punktu, z którego został wyrzucony.

Różnica wysokości pomiędzy położeniem początkowym i końcowym (na poziomie gruntu) ciała.

Jest to siła, która powoduje rozproszenie energii układu w ten sposób, że nie da się jej zamienić z powrotem na pracę.

Zmiana energii kinetycznej jest równa pracy wypadkowej. W związku z tym, że siły zachowawcze są niezależne od drogi, po powrocie do punktu wyjścia energia potencjalna i kinetyczna będą miały takie same wartości jak przed rozpoczęciem ruchu. Podczas przemieszczania energia całkowita jest zachowana, ale zarówno kinetyczna, jak i potencjalna będą zmieniać swoje wartości.

Energia potencjalna grawitacji samochodu zmienia się wraz z jego ruchem w dół wzgórza, ponieważ zmniejsza się jego wysokość. Część jego energii ulegnie rozproszeniu w wyniku działania siły tarcia. Pozostała energia potencjalna ulegnie przemianie w energię kinetyczną, powodując wzrost prędkości auta. Ostatecznie samochód się zatrzymuje i cała jego energia kinetyczna jest rozproszona poprzez pracę wykonaną przez hamulce.

Stwierdzenie mówi, że energia całkowita układu $E$ jest zachowana dopóty, dopóki nie ma sił niezachowawczych działających na ciało.

Pracą mięśni swoich nóg.

Musimy wznieść ciało czterokrotnie wyżej.

40000

$\text{a.}\mathrm{-200}\text{J};\text{b.}\mathrm{-200}\text{J};\text{c.}\mathrm{-100}\text{J};\text{d.}\mathrm{-300}\text{J}$

$\text{a.}\mathrm{0,068}\text{J};\text{b.}\mathrm{-0,068}\text{J};\text{c.}\mathrm{0,068}\text{J};\text{d.}\mathrm{0,068}\text{J};\text{e.}\mathrm{-0,068}\text{J};\text{f.}46\text{cm}$

$\text{a.}\mathrm{-120}\text{J};\text{b.}120\text{J}$

a. $(2a\text{/}b{)}^{1\text{/}6}$; b. $0$; c. $\sim x^{\mathrm{–7}}$

$14\text{m}\text{/}\text{s}$

$14\text{J}$

Dowód powyższego równania jest rozwiązaniem zadania.

$\mathrm{9,7}\text{m}\text{/}\text{s}$

$39\text{m}\text{/}\text{s}$

1900 J

151 J

3,5 cm

$10x$ przy założeniu, że oś $x$ rozpoczyna się w położeniu ściany i jest skierowana na zewnątrz.

4,6 m/s

a. 5,6 m/s; b. 5,2 m/s; c. 6,4 m/s; d. nie; e. tak

1. Na potrzeby rysowania wykresu przyjęto, że $k=0\mathrm{,}02$, $A=1$, $\alpha =1$;
2. $F=kx-\alpha xA{e}^{\text{−}\alpha x^2}$;
3. Energia potencjalna w położeniu $x=0$ musi być mniejsza niż suma energii kinetycznej i potencjalnej w położeniu $x=\text{a}$ lub inaczej $A\le m{v}^2\text{/}2+k{a}^2\text{/}2+A{e}^{-\alpha x^2}$. Rozwiązanie nierówności ze względu na $A$ prowadzi do warunku przedstawionego w zadaniu.

8700 N/m

a. 70,6 m/s; b. 69,9 m/s

a. 180 N/m; b. 11 m

a. $9\mathrm{,}8\cdot {10}^3\mathrm{J}$; b. $1\mathrm{,}4\cdot {10}^3\mathrm{J}$; c. 14 m/s

a. 47,6 m; b. $1\mathrm{,}88\cdot {10}^5\mathrm{J}$; c. 373 N

33,9 cm

a. 0,0269 J; b. $E_p=0$; c. 1,11 m/s; d. 4,96 cm

42 cm

0,44 J

3,6 m/s

$b{D}^4\text{/}4$

Należy to wykazać.

a. $\sqrt{\frac{2m^{2}gh}{k\left(m+M\right)}}$; b. $\frac{mMgh}{m+M}$

$\text{a.}\mathrm{2,24}\text{m}\text{/}\text{s};\text{b.}\mathrm{1,94}\text{m}\text{/}\text{s};\text{c.}\mathrm{1,94}\text{m}\text{/}\text{s}$

18 m/s

$v_A=24\text{m/s;}{v}_B=14\text{m/s;}{v}_C=31\text{m/s}$

a. Strata energii wynosi $240\mathrm{N}\mathrm{m}$; b. $F=8\text{N}$

89,7 m/s

32 J