William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania dodatkowe

69.

Nieważka sprężyna o stałej $k = 200 N/m$ zwisa z sufitu. Ciało o masie 2,0 kg przyczepiono do swobodnego końca sprężyny i pozwolono na swobodny ruch. Jeśli ciężarek rozciąga sprężynę o 17 cm, zanim zawróci i zacznie się poruszać w górę, to ile wynosi praca sił tarcia podczas opadania?

70.

Cząstka o masie 2,0 kg porusza się pod wpływem siły $F (x) = - x^{2} \cdot 5 N / m^{2} + x \cdot 7 N / m$ . Załóżmy, że siły tarcia również działają na ciało. Jeśli na początku ruchu ciała w punkcie $x = −4,0 m$ jego prędkość wynosi 0,0 m/s, a w punkcie $x = 4,0 m$ 9,0 m/s, to ile wynosi praca wykonana przez siły tarcia na tym odcinku?

71.

Ciężarek 2 przedstawiony poniżej przesuwa się bez tarcia, podczas gdy ciężarek 1 spada. Oba ciężarki połączone są nieważką, nierozciągliwą nicią przerzuconą przez nieważki bloczek, po którym lina porusza się bez tarcia. Oblicz prędkość bloczków po pokonaniu przez nie drogi równej 2,0 m. Załóż, że ruch rozpoczyna się ze stanu spoczynku. Dane: $m_{1} = 2,0 kg$ oraz $m_{2} = 4,0 kg .$

Ciężarek oznaczony numerem 1 jest zawieszony na nici przewieszonej przez bloczek znajdujący się na krawędzi stołu, którą dalej przyczepiono do innego ciężarka oznaczonego 2. Ciężarek 2 przesuwa się po powierzchni stołu w stronę krawędzi. Ciężarek 1 nie styka się z żadną powierzchnią i przesuwa się w dół.

72.

Punkt materialny o masie $m$ znajdujący się początkowo w stanie spoczynku zaczyna się zsuwać po powierzchni kuli o promieniu $R$ bez tarcia (zobacz poniżej). Wykaż, że ciało odrywa się od kuli w momencie gdy $θ = \arccos (2 / 3)$ .

Na rysunku przedstawiono kulę o promieniu R. Ciało znajdujące się na kuli zilustrowano w dwóch położeniach: na wierzchołku i w trakcie zsuwania się z kuli w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Kąt theta jest mierzony pomiędzy poziomem a aktualnym położeniem ciała.

73.

Tajemnicza siła działa na wszystkie cząstki wzdłuż wyróżnionego kierunku i zawsze jest skierowana w stronę pewnego punktu $P$ . Wartość siły zależy od sześcianu odległości od tego punktu, czyli $F \propto r^{3}$ , gdzie $r$ to oddalenie cząstki od punktu $P$ . Przyjmijmy, że $b$ jest współczynnikiem proporcjonalności takim, że wartość siły dana jest wzorem $F = b r^{3}$ . Wyznacz energię potencjalną cząstki związaną z działaniem tej siły w odległości $D$ od punktu $P$ , przy założeniu, że w położeniu $P$ energia potencjalna wynosi zero.

74.

Ciało o masie 10 kg rozpoczyna ruch z punktu $A$ i ześlizguje się w dół równi pochyłej o kącie nachylenia $30 °$ , po czym zderza się z nieważką sprężyną umieszczoną poza równią na poziomym podłożu (zobacz niżej). Stała sprężystości sprężyny wynosi 500 N/m i odchyla się ona od równowagi w momencie uderzenia o 0,75 m. Wysokość równi wynosi 2 m, natomiast ruch odbywa się bez tarcia tylko na powierzchni płaskiej.

Jaką prędkość ma ciało na dole równi?
Ile wynosi praca sił tarcia wykonana w trakcie ruchu ciała po równi?
Ciało odbija się od sprężyny. Jaka jest prędkość ciała w momencie, gdy wraca ono na początek równi?
Na jaką wysokość powróci ciało po odbiciu?

Na ilustracji przedstawiono ciężarek znajdujący się na szczycie równi pochyłej nachylonej pod kątem 30 stopni do poziomu. Ciężarek znajduje się na wysokości 2 metry licząc od podstawy równi. Po prawej stronie równi znajduje się powierzchnia płaska, na której końcu umieszczono sprężynę w orientacji poziomej. Dalszy koniec sprężyny przymocowano do ściany.

75.

Poniżej przedstawiono małą kulkę o masie $m$ , przyczepioną do liny o długości $a$ . Kołek wbito w ścianę w odległości $h$ poniżej punktu zaczepienia liny. Jeśli kulka rozpoczyna swój ruch w momencie, gdy lina jest wychylona o kąt prosty od pionu, wykaż, że $h$ musi być większe niż $3 a / 5$ , żeby kulka mogła wykonać pełne okrążenie wokół kołka.

Zilustrowano małą piłkę przyczepioną do nici o długości a. Kołek wbito w ścianę na wysokości h poniżej punktu zaczepienia liny. Piłka zaczyna swój ruch na sznurku z miejsca, w którym sznurek jest wychylony o 90 stopni do pionu i porusza się po łuku (jak wahadło).

76.

Ciężarek najpierw zsuwa się z równi pochyłej, a po pokonaniu wysokości $h$ pokonuje krótką drogę w poziomie (bez tarcia) i wypada z rampy umieszczonej na wysokości $H$ nad ziemią. Oblicz zasięg lotu $D$ w zależności od $h$ , $H$ i $g$ .

Zilustrowano ciężarek na szczycie równi pochyłej umieszczonej na poziomej platformie. Równia ma wysokość h mierzoną od platformy, natomiast platforma ma wysokość H mierzoną od ziemi. Ciężarek zilustrowano również w trakcie ruchu, kiedy przemieszcza się po poziomej powierzchni platformy z prędkością v po czym wylatuje z platformy i przelatuje odległość D mierzoną w poziomie przed uderzeniem w ziemię.

77.

Ciężarek o masie $m$ zsuwa się z równi bez tarcia. Następnie uderza w drugi ciężarek o masie $M$ przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości $k$ (zobacz poniżej). Ciężarki sklejają się i dalej poruszają się wspólnie.

Wyznacz ściśnięcie sprężyny w funkcji $m$ , $M$ , $h$ , $g$ i $k$ w momencie, w którym układ wraca do równowagi.
Oblicz utratę energii kinetycznej związaną z połączeniem się dwóch ciężarków.

Spoczywający ciężarek (v=0) jest przedstawiony na szczycie równi pochyłej. Wysokość nad powierzchnią ziemi wynosi h. Po prawej stronie od równi, na poziomej powierzchni, znajduje się masa M przyłączona do sprężyny, która z kolei przymocowana jest do ściany.

78.

Ciężarek o masie 300 g przyczepiono do sprężyny o stałej sprężystości 100 N/m. Drugi koniec sprężyny przyczepiono do ściany. Układ znajduje się na poziomej platformie, po której ciężarek porusza się swobodnie bez tarcia. Sprężynę ściśnięto o 12 cm od położenia równowagi, po czym uwolniono.

Jaką wartość energii potencjalnej miał układ w trakcie ściśnięcia?
Oblicz prędkość ciężarka w momencie, gdy przechodzi on przez położenie równowagi.
Wyznacz prędkość ciężarka po pokonaniu przez niego drogi 20 cm, licząc od położenia początkowego.

79.

Ciężarek o masie 0,200 kg przyczepiono do sprężyny o stałej sprężystości 100 N/m. Układ umieszczono na stole, po którym ruch odbywa się bez tarcia, drugi koniec sprężyny umocowano na ścianie po lewej stronie. Sprężynę ściśnięto o 10,0 cm. Znajdź prędkość, gdy ciężarek

przechodzi przez położenie równowagi,
5,00 cm w lewo od punktu (a),
5,00 cm w prawo od (a).

80.

Narciarz zaczyna zsuwać się ze zbocza. Jaka będzie prędkość narciarza po pokonaniu 20 m wysokości zbocza? Opór powietrza i tarcie można pominąć.

81.

Powtórz poprzednie zadanie, ale tym razem zakładając, że praca wykonana przez siły oporu nie może być pominięta. Niech praca oporu powietrza na odcinku od $A$ do $B$ wynosi −2000 J. Praca wykonana przez siły oporu jest ujemna, ponieważ siły oporu są skierowane przeciwnie do przesunięcia. Masa narciarza wynosi 50 kg. Jaka jest jego prędkość w punkcie $B$ (zakładając, że pokonana wysokość jest taka sama jak w poprzednim zadaniu)?

82.

Dwa ciała reagują ze sobą siłą zachowawczą. Wykaż, że energia mechaniczna odizolowanego układu dwóch ciał będzie wtedy zachowana. (Podpowiedź: Rozpocznij od trzeciego prawa Newtona i definicji pracy po to, by wyprowadzić wzór na pracę wykonaną przez każde z ciał.)

83.

W parku rozrywki wagonik porusza się po torze przedstawionym poniżej. Wyznacz prędkość wagonika w $A$ , $B$ oraz $C$ . Zauważ, że praca sił tarcia jest równa zero ze względu na to, że siła tarcia jest skierowana zawsze prostopadle do promienia obracających się kółek pojazdu.

Na rysunku przedstawiono tor roller coastera z trzema wzgórzami. Pierwsza górka jest najwyższa i ma 50 metrów, druga jest najmniejsza a trzecia średnia pod względem wysokości i ma 40 metrów. Wagonik rozpoczyna ruch z prędkością v = 0 na szczycie pierwszego wzgórza. Punkt A jest umieszczony w minimum pomiędzy drugim i trzecim wzgórzem i jest to na wysokości 20 metrów. Punkt C znajduje się prawie na końcu toru na poziomie podłoża.

84.

Kula stalowa o masie 200 g jest przyczepiona do nieważkiej nici o długości 2,00 m zwisającej z sufitu. Całość tworzy wahadło, które wychylono pod kątem $30 °$ od pionu, po czym puszczono, pozwalając na ruch swobodny. Opór powietrza można pominąć. Wyznacz prędkość kuli w położeniu (a) najniższym w pionie, (b) wychylonym pod kątem $20 °$ oraz (c) $10 °$ .

85.

Krążek hokejowy o masie 300 g leci w poprzek pokrytego lodem stawu. Zanim go uderzono, znajdował się w stanie spoczynku. Poprzez uderzenie nadano mu prędkość równą 40 m/s. Krążek zatrzymuje się po pokonaniu drogi 30 m.

Opisz zmianę energii ciała w czasie i podaj wartości liczbowe pracy i energii.
Oblicz wartość wypadkowej siły tarcia.

86.

Pocisk o masie 2 kg wystrzelono z prędkością 20 m/s pod kątem $30 °$ do poziomu.

Oblicz początkową energię całkowitą pocisku, przyjmując za punkt odniesienia dla energii grawitacji – punkt wystrzału.
Oblicz energię kinetyczną w najwyższym możliwym położeniu lotu.
Oblicz energię potencjalną w tym samym punkcie.
Oblicz maksymalną wysokość. Porównaj wynik z rozwiązaniem zadania metodą kinetyczną.

87.

Pocisk artyleryjski wystrzelono, mierząc w cel umieszczony na wysokości 200 m nad ziemią. Kiedy pocisk znajduje się na wysokości 100 m, ma prędkość 100 m/s. Jaką ma prędkość w chwili uderzenia w cel? Pomiń opory powietrza.

88.

Ile wynosi energia rozproszona człowieka o masie 60 kg spadającego ze stałą prędkością na odległości 15 metrów?

89.

Pudełko o całkowitej energii 50 J ślizga się bez tarcia po powierzchni. Przedmiot uderza w sprężynę, którą ściska, wychylając ją o 25 cm z położenia równowagi. Jeśli to samo pudełko poruszałoby się z tarciem, to ściśnięcie sprężyny byłoby równe 15 cm. Jaka ilość energii została rozproszona podczas ruchu z tarciem?