Zadania

Korzystając z danych z Tabeli 8.2, oblicz, ile łańcuchów DNA można rozerwać, wykorzystując energię jednego elektronu z telewizora kineskopowego. (Obecność elektronów w telewizorze dawnego typu powodowała powstawanie promieniowania rentgenowskiego, które miało działanie kancerogenne. Późniejsze wersje telewizorów kineskopowych posiadały specjalne ekranowanie, które pochłaniało promieniowanie, zanim mogło ono dotrzeć do odbiorców.)

Kamera o ciężarze 10 N odpadła z drona unoszącego się na wysokości $20\text{m}$ i spada swobodnie. Jaka jest zamiana energii potencjalnej związana z upadkiem kamery, jeśli za punkt zera energii potencjalnej przyjmiemy

1. poziom gruntu?
2. poziom, na jakim unosi się dron?
3. Jaka jest wartość energii potencjalnej kamery, zanim odpadnie z drona?
4. Jaka jest wartość energii potencjalnej kamery po tym, jak zderza się z ziemią?

Dla dwóch ostatnich podpunktów przyjmij zero energii potencjalnej w punkcie, w którym przebywa obserwator, czyli w budynku na wysokości $30\text{m}$ nad ziemią.

Kocia zabawka w kształcie kulki ma masę $15\text{g}$ i zostaje wyrzucona prosto w górę z prędkością początkową $3\text{m/s}$. Przyjmij, że opór powietrza jest pomijalny.

1. Ile wynosi energia kinetyczna kulki w momencie wyrzutu?
2. Ile wynosi praca wykonana przez siły grawitacji podczas lotu wznoszącego zabawki?
3. Jaka jest zmiana energii potencjalnej grawitacji w tej części ruchu?
4. Jeśli zero energii potencjalnej jest przyjęte na wysokości wyrzucającej ręki, jaka jest energia potencjalna w momencie, kiedy zabawka osiąga maksymalną wysokość?
5. Jeśli punkt odniesienia dla energii przyjmiemy w punkcie maksymalnej wysokości, to jaka będzie energia potencjalna w momencie, gdy zabawka opuszcza rękę?
6. Oblicz maksymalną wysokość, na jaką może wznieść się kulka.

Siła $F(x)=-5\mathrm{,}0\mathrm{N}\text{/}{\mathrm{m}}^2\cdot x^2+7\mathrm{,}0\mathrm{N}\text{/}\mathrm{m}\cdot x$ działa na cząstkę. (a) Jaka praca zostanie wykonana przy przesunięciu z $x=\mathrm{2,0}\text{m}$ do $x=\mathrm{5,0}\text{m}$? (b) Przyjmując typowy punkt odniesienia dla energii potencjalnej, czyli zero dla $x=\mathrm{\infty }$, oblicz energię potencjalną tej siły.

Energia potencjalna oddziaływań pomiędzy dwoma atomami w cząsteczce dwuatomowej jest zazwyczaj wyrażona funkcją $E_p(x)=a\text{/}{x}^{12}–b\text{/}{x}^6$, gdzie przez $x$ wyrażono odległość pomiędzy atomami. (a) Jaka jest odległość separacji atomów, czyli taka, w której energia potencjalna przyjmuje lokalne minimum (nie w $x=\mathrm{\infty }$)? (b) Jaka jest wartość siły działającej na atomy znajdujące się w tym położeniu? (c) Jak zmienia się siła w funkcji odległości po przekroczeniu minimum lokalnego energii potencjalnej?

Cząstka o masie $\mathrm{2,0}\text{kg}$ porusza się pod wpływem działania siły $F(x)=-5\mathrm{,}0\mathrm{N}\text{/}{\mathrm{m}}^2\cdot x^2+7\mathrm{,}0\mathrm{N}\text{/}\mathrm{m}\cdot x.$ Jeśli prędkość cząstki dla $x=\mathrm{-4,0}\text{m}$ wynosi $v=\mathrm{20,0}\text{m/s,}$ to ile wynosi prędkość dla $x=\mathrm{4,0}\text{m}$?

Chłopiec wyrzuca pionowo w górę kulkę o masie $\mathrm{0,25}\text{kg}$ z prędkością początkową $20\text{m}\text{/}\text{s}$. Kiedy piłka wraca do chłopca, ma prędkość równą $17\text{m}\text{/}\text{s}$. Jaką pracę wykonały siły oporu powietrza w trakcie trwania tego ruchu?

Wykorzystując tylko zasadę zachowania energii i zakładając brak sił oporu, wykaż, że kamień rzucony pionowo z mostu na wysokości 20 m nad poziomem wody z prędkością początkową 15,0 m/s uderzy w taflę z prędkością 24,8 m/s niezależnie od zwrotu prędkości początkowej. (Podpowiedź: pokaż, że $E_{k\text{s}}+E_{p\text{s}}=E_{k\text{f}}+E_{p\text{f}}$.)

Pomijając zagadnienia związane z tarciem, dodatkową siłą mięśni rąk i nóg oraz inne czynniki, skok o tyczce możemy rozważyć jako konwersję energii kinetycznej biegnącego atlety w energię potencjalną podczas skoku. Jeśli skoczek ma wznieść się na wysokość 4,8 m, to jaką prędkość musi osiągnąć w trakcie rozbiegu?

Załóż, że cięciwa w łuku oddziałuje na strzałę siłą sprężystości (taką samą jak w prawie Hooke'a). Podczas celowania łucznik naciąga cięciwę, cofając strzałę o 50 cm, i trzyma ją w tej pozycji z siłą $150\text{N}$. Jeśli masa pocisku wynosi $50\text{g}$, a cięciwę uznajemy za nieważką, jaką prędkość osiągnie strzała zaraz po wystrzeleniu?

Sanie o masie 70 kg zsuwają się w dół równi o długości $80\text{m}$ nachylonej pod kątem $10\text{°}$ do poziomu. Po zjeździe sanie pokonują 20 m w poziomie i zaczynają ruch pod górę pod kątem $8\text{°}$. Sanie przemieszczają się o dalsze 80 m, po czym zatrzymują się. Ile wyniesie praca wykonana przez siły tarcia?

Piłeczka baseballowa o masie 0,25 kg w wyniku uderzenia kijem uzyskała prędkość 40 m/s. Gdy wpada na trybuny w odległości 120 m od bazy, ma prędkość 30 m/s. Przy założeniu, że piłka wylądowała 20 m ponad poziomem boiska, oblicz, jaką pracę wykonały siły oporu powietrza.

Nieważka sprężyna w działku sprężynowym ma stałą sprężystości równą $k=12\text{N/cm}$. Pocisk o masie 15 g zostaje wystrzelony pionowo w górę na wysokość 5,0 m ponad lufę. Oblicz, jak mocno ściśnięta była sprężyna przed wystrzałem.

Tajemnicza siła o wartości 10 N działa poziomo na wszystko. Siła jest zawsze zwrócona w stronę ściany znajdującej się w wielkiej hali. Wyznacz energię potencjalną ciała, na którą działa ta siła, w funkcji odległości $x$ od ściany. Załóż, że energia potencjalna w położeniu, w którym znajduje się ściana, wynosi zero.

Cząstka o masie 4,0 kg porusza się wzdłuż osi $x$ pod wpływem działania siły $F\left(x\right)=\text{−}c{x}^3$, gdzie $c=\mathrm{8,0}{\text{N/m}}^3.$ Prędkość cząstki w punkcie $x_A=\mathrm{1,0}\text{m}$ wynosi 6,0 m/s. Ile wynosi prędkość dla $x_B=\mathrm{-2,0}\text{m}$?

Cząstka o masie 4,0 kg porusza się wzdłuż osi $x$ i działa na nią siła, której funkcję przedstawiono graficznie poniżej. Prędkość cząstki w $x=0$ wynosi $v=\mathrm{6,0}\text{m/s}$. Wyznacz prędkość dla

1. x = 2,0 m,
2. x = 4,0 m,
3. x = 10,0 m.
4. Czy cząstka zawraca w jakimkolwiek położeniu i porusza się z powrotem w kierunku początku układu współrzędnych?
5. Powtórz część (d) zakładając, że $v=2\mathrm{,}0\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}$ w $x=0$.

1. Naszkicuj wykres funkcji energii potencjalnej $E_p(x)=k{x}^2\text{/}2+A{e}^{-\alpha x^2}$, gdzie $k$, $A$ i $\alpha$ to stałe.
2. Ile wynosi wartość siły związanej z tą energią potencjalną?
3. Załóż, że cząstka o masie równej $m$ porusza się z prędkością $v_a$ w położeniu $x=a$. Wykaż, że cząstka nie może przekroczyć punktu w początku układu współrzędnych, chyba że spełniony jest warunek:

W reality show Niesamowity wyścig uczestnik ma za zadanie strzelić arbuzem o masie 12 kg z procy i trafić w wyznaczony cel. Proca jest naciągnięta na odległość 1,5 m od położenia równowagi, a sam owoc znajduje się wtedy na poziomie gruntu. Podczas wystrzału, w chwili oderwania od procy, arbuz znajduje się na wysokości 0,3 m nad ziemią. Cel, w który uderza pocisk, znajduje się na ziemi w odległości 10 metrów od procy. Oblicz stałą sprężystości procy.

W filmie Igrzyska śmierci Katniss Everdeen wystrzeliła strzałę o masie 0,0200 kg z poziomu podłoża, po to by przebić jabłko znajdujące się na scenie. Stała sprężystości łuku wynosi 330 N/m, a cięciwa została naciągnięta na odległość 0,55 m. Owoc znajduje się na wysokości 5 m. Z jaką prędkością strzała (a) opuszcza łuk, (b) uderza w jabłko?

W kreskówce Struś pędziwiatr szybko rozprężająca się sprężyna wyrzuca kojota prosto w skałę. Wydłużenie sprężyny wynosi 5 m, a masa i prędkość kojota odpowiednio 20 kg i 15 m/s.

1. Ile wynosi stała sprężystości sprężyny?
2. Jeśli kojot zostałby wyrzucony pionowo w górę, to jak wysoko by doleciał, zakładając, że nie działają na niego żadne siły niezachowawcze?

W filmie Monty Python i Święty Graal krowę wystrzelono z katapulty znajdującej się na zamkowym murze. Zero dla energii potencjalnej przyjęto na poziomie gruntu. Stała sprężystości katapulty wynosi $1\mathrm{,}1\cdot {10}^4\mathrm{N}\text{/}\mathrm{m}$, a odchylenie od położenia równowagi jest równe 0,5 m. Jeśli mur zamku ma wysokość 9,1 m, a krowa masę 110 kg, to:

1. Ile wynosi energia potencjalna krowy na szczycie muru?
2. Jaka jest wartość energii potencjalnej sprężystości przed wystrzałem?
3. Jaka jest prędkość krowy tuż przed uderzeniem w ziemię?

1. Jak wysoko pod górkę może wjechać samochód z wyłączonym silnikiem, jeśli praca wykonana przez siły tarcia jest pomijalnie mała, a jego prędkość początkowa wynosi 110 km/h?
2. Jeśli samochód o masie 750 kg i, tej samej, co w punkcie (a) prędkości początkowej wjeżdża na wysokość 22 m, to jaka część jego energii została zamieniona na ciepło?
3. Ile wynosi średnia siła tarcia wzgórza, jeśli kąt nachylenia wzgórza wynosi $\mathrm{2,5}\text{°}$ względem poziomu?

Drążek pogo ma sprężynę o stałej sprężystości $2\mathrm{,}5\cdot {10}^4\mathrm{N}\text{/}\mathrm{m}$, której maksymalne ściśnięcie wynosi 12,0 cm. Na jaką maksymalną wysokość, licząc od położenia równowagi, może wyskoczyć dziecko, jeśli całkowita masa dziecka i drążka wynosi 40 kg?

Ciężarek o masie 200 g przyczepiono do nieważkiej sprężyny o stałej sprężystości 100 N/cm. Drugi koniec sprężyny przymocowano do sufitu. Układ początkowo znajduje się w stanie spoczynku, w którym położenie ciężarka oznaczono symbolem $O$. Załóżmy, że zero energii potencjalnej ciężarka przypada właśnie w tym punkcie, zarówno dla siły sprężystości, jak i grawitacji. Ciężarek odciągnięto na odległość 5 cm od stanu spoczynku, po czym pozwolono mu na swobodny ruch.

1. Ile wynosi wypadkowa energia potencjalna ciężarka w najniższym punkcie ruchu?
2. Jaka jest wypadkowa energia potencjalna w położeniu $O$ ?
3. Jaka jest prędkość ciężarka w momencie, w którym przekracza położenie $O$ ?
4. Jak wysoko ponad punkt $O$ wzniesie się ciężarek?

Dziecko o wadze 32 kg skacze na trampolinie. Trampolina oddziałuje na nie siłą sprężystości, działającą jako siła przywracająca. Stała sprężystości trampoliny wynosi 5000 N/m. W najwyższym punkcie podskoku dziecko znajduje się 1 m nad poziomem powierzchni trampoliny. Jakie jest maksymalne odchylenie płachty trampoliny w momencie lądowania dziecka? Pomiń zjawisko ugięcia nóg oraz pracę mięśni dziecka.