Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

8.3 Zasada zachowania energii

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 18.3 Zasada zachowania energii
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • formułować zasadę zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem siły niezachowawczej lub bez niej;
  • stosować zasadę zachowania energii mechanicznej do obliczania wartości różnych rodzajów energii w prostym układzie fizycznym.

W tej części rozwiniemy i przeanalizujemy to, co wyprowadziliśmy w sekcji Energia potencjalna układu, gdzie przekształciliśmy zasadę równoważności pracy i energii w opis przemiany energii kinetycznej w potencjalną i na odwrót. Doprowadzi nas to do dyskusji nad fundamentalnym prawem fizyki, jakim jest zasada zachowania energii mechanicznej. W dalszych częściach książki, w których będziecie zmagać się z różnymi problemami fizyki, zobaczycie, jak można uogólnić to prawo na więcej typów energii i przemian pomiędzy nimi. Ostatnia część tego rozdziału będzie wstępem do rozważań o różnych rodzajach energii.

Pojęcia takie jak „wielkości zachowane” oraz „zasady zachowania” mają szczególne znaczenie w fizyce, ale znaczenie tych słów różni się od potocznego rozumienia (podobnie można stwierdzić o powszechnym i naukowym znaczeniu pojęcia „praca”). Potocznie możemy powiedzieć, że pewną ilość wody „zachowujemy”, gdy jej nie używamy lub oszczędzamy. Woda jest zbudowana z cząsteczek składających się z dwóch atomów wodoru oraz jednego tlenu. Połącz te trzy atomy, a uzyskasz wodę, natomiast rozerwanie wiązania doprowadzi do jej zniszczenia. W świecie nauki wielkość zachowana (ang. conserved quantity) to taka, która – jeśli jest rozpatrywana dla całego układu fizycznego – pozostaje niezmienna i/lub jest zamieniana na inną formę danej wielkości w takiej samej ilości. Wielkość zachowana może też być przekazywana do innego układu (wtedy jej ilość się zmieni), ale zawsze odbywa się to w mierzalnych, kontrolowanych ilościach. Wielkość zachowana może ulec przemianie w inną postać, ale nie może być tworzona lub anihilowana. Stąd wynika, że nie ma zasady zachowania wody w fizyce.

Układ z pojedynczą cząsteczką lub ciałem

Rozważmy układ z jedną cząsteczką lub ciałem. Wracając do Równania 8.2 przypomnijmy, że najpierw rozdzieliliśmy wszystkie siły działające na cząstkę na zachowawcze i niezachowawcze, a następnie zapisaliśmy pracę dla każdej z nich zgodnie z założeniami zasady równoważności pracy i energii. Zamieniliśmy pracę wykonywaną przez siły zachowawcze na zmianę energii potencjalnej cząstki i powiedzieliśmy, że możemy ją zamienić na energię kinetyczną, z czego uzyskaliśmy Równanie 8.2. Zapiszmy zatem omawiane uprzednio równanie, pomijając środkowy krok. Zdefiniujmy sumę energii kinetycznej i potencjalnej ( E k + E p = E E k + E p =E) jako energię mechaniczną (ang. mechanical energy) cząsteczki.

Zasada zachowania energii

Energia mechaniczna E E cząsteczki jest stała dopóty, dopóki nie pojawi się siła zewnętrzna (spoza układu) lub siła wewnętrzna niezachowawcza, która na nią oddziałuje. W przypadku sił niezachowawczych zmiana energii mechanicznej jest równa pracy wykonanej przez te siły:

W niezach A B = Δ ( E k + E p ) A B = Δ E A B . W niezach A B =Δ( E k + E p ) A B =Δ E A B .
8.12

Pierwsze z powyższych stwierdzeń definiuje pojęcie zasady zachowania energii (ang. energy conservation) cząstki, na którą nie działają siły niezachowawcze. Klasyczna cząstka (omawiana tutaj) stanowi punkt masowy, który jest nierelatywistyczny i podlega zasadom dynamiki Newtona. W podrozdziale Teoria względności zobaczymy, że zasada zachowania energii jest prawdziwa także dla cząstek relatywistycznych, ale do wyjaśnienia tego potrzebne są pewne poprawki do definicji energii.

W niektórych przypadkach wygodniej jest przyjąć, że praca wykonywana przez siły niezachowawcze jest równa zeru, ponieważ albo zakładamy, że nie ma takich sił, albo przesunięcie jest równoległe do powierzchni. Zapisujemy zatem:

W niezach A B = Δ ( E k + E p ) A B = Δ E A B . W niezach A B =Δ( E k + E p ) A B =Δ E A B .
8.13

W takim przypadku zasada zachowania energii jest wyrażona w następujący sposób: energia mechaniczna cząsteczki nie ulega zmianie, jeśli siły niezachowawcze, które mogą na nią oddziaływać, wykonują zerową pracę. Zrozumienie idei zasady zachowania energii jest o wiele ważniejsze niż zapamiętanie konkretnego równania, które ją wyraża.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: zasada zachowania energii

  1. Zidentyfikuj ciało lub ciała, które należy rozpatrzeć (czyli układ fizyczny). Często w zagadnieniach związanych z wykorzystaniem zasady zachowania energii rozpatruje się więcej niż jedno ciało.
  2. Znajdź wszystkie siły działające na ciało (lub ciała).
  3. Określ, czy siły wykonujące pracę są zachowawcze. Jeśli siła niezachowawcza wykonuje pracę, to energia mechaniczna nie jest zachowana. Układ musi zostać przeanalizowany pod kątem pracy sił niezachowawczych, tj. Równaniem 8.13.
  4. Dla każdej siły zachowawczej wykonującej pracę przyjmij odpowiedni punkt odniesienia dla energii potencjalnej. Punkty odniesienia dla różnych rodzajów energii potencjalnej nie muszą być wyznaczone w tym samym miejscu.
  5. Zastosuj zasadę zachowania energii mechanicznej, przyjmując, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała w każdym punkcie układu.

Przykład 8.7

Wahadło matematyczne

Punkt materialny o masie m m jest zawieszony na nieważkiej nici o długości 1,0 m przyczepionej jednym końcem do sufitu, tworząc wahadło matematyczne, tak jak przedstawiono na Rysunku 8.8. Wahadło odchylono od położenia równowagi o 30 ° 30 ° , po czym puszczono swobodnie. Jaka jest prędkość punktu w momencie, w którym przekracza ono najniższy punkt toru ruchu?
Rysunek przedstawia wahadło składające się z piłki zawieszonej na nici. Nić ma długość jednego metra, a piłka ma masę m. Wahadło przedstawiono w pozycji odchylonej o 30 stopni od pionu. W tym położeniu piłka znajduje się na wysokości h nad minimum. Łuk tworzący tor ruchu jest oznaczony linią przerywaną.
Rysunek 8.8 Punkt materialny zawieszony na nieważkiej nici tworzy wahadło matematyczne. Układ przedstawiono w momencie uwolnienia wahadła oraz zaznaczono pewne wielkości przydatne w analizie ruchu.

Strategia rozwiązania

Zaczynając od kroku pierwszego przedstawionej wcześniej strategii rozwiązywania zadań, musimy rozpocząć od określenia, ilu ciał dotyczy zagadnienie. Rozważany problem dotyczy jedynie układu cząstka-Ziemia. Następnie zauważamy, że siła grawitacji, która jest zachowawcza, jest jedyną działającą na cząstkę. W zagadnieniu pomijamy opory powietrza, a siła naciągu nici jest prostopadła do przemieszczenia, a zatem jej praca jest równa zero. Wynika z tego, że energia mechaniczna w układzie jest zachowana i na podstawie Równania 8.13 dana wzorem 0 = Δ ( E k + E p ) 0=Δ( E k + E p ). Ruch rozpoczyna się poprzez wytrącenie ciała ze stanu spoczynku (wahadło puszczono swobodnie), a więc wzrost energii kinetycznej jest równy energii kinetycznej w najniższym punkcie albo, ujmując to inaczej, zmianie energii potencjalnej (którą możemy obliczyć, bazując na geometrii). W kroku czwartym dokonujemy wyboru punktu odniesienia dla energii potencjalnej w najniższym punkcie toru ruchu. Ostatni krok polega na przyrównaniu sumy energii w najwyższym punkcie do sumy w najniższym punkcie i obliczeniu prędkości.

Rozwiązanie

Pomijając siły niezachowawcze, zasadę zachowania energii z uwzględnieniem jedynie punktów startowego i końcowego możemy zapisać jako:
E k p + E p p = E k k + E p k . E k p + E p p = E k k + E p k .

Ruch rozpoczyna się od spoczynku, a zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru. Natomiast w najniższym punkcie toru przyjmujemy, że energia potencjalna jest zerowa. Nasze równania upraszczają się do postaci:

0 + m g h = 1 2 m v 2 + 0 v = 2 g h . 0 + m g h = 1 2 m v 2 + 0 v = 2 g h .

Wysokość, na jakiej znajduje się punkt materialny na początku ruchu, nie jest dana bezpośrednio w treści zadania. Można ją wyprowadzić poprzez zastosowanie zasad trygonometrii i dwóch danych: długości wahadła oraz kąta wychylenia początkowego. Na rysunku pionową przerywaną linią oznaczono długość wahadła, a wysokość, na jakiej znajduje się ciało – poprzez h h. Pozostałą część długości wahadła x = L h x=Lh można obliczyć, korzystając z zależności trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, poprzez:

cos θ = x L , x = L cos θ . cosθ= x L ,x=Lcosθ.

Z powyższych ustaleń można wyprowadzić równanie na h h :

x + h = L L cos θ + h = L h = L L cos θ = L ( 1 cos θ ) . x + h = L L cos θ + h = L h = L L cos θ = L ( 1 cos θ ) .

Uzyskaną wielkość podstawiamy do równania wynikającego z początkowych rozważań dotyczących energii i możemy wyznaczyć prędkość:

v = 2 g L ( 1 cos θ ) = 2 9 , 8 m s 2 1 m ( 1 cos 30 ) = 1 , 62 m s . v= 2 g L ( 1 cos θ ) = 2 9 , 8 m s 2 1 m ( 1 cos 30 ) =1,62 m s .

Znaczenie

Wyznaczyliśmy prędkość, korzystając bezpośrednio z zasady zachowania energii, bez potrzeby rozwiązywania równania różniczkowego dla ruchu wahadła (zobacz Drgania). Inaczej możemy to przedstawić poprzez wykresy słupkowe energii całkowitej (ang. bar graphs of total energy). Na początku punkt materialny ma jedynie energię potencjalną, ponieważ znajduje się w najwyższym położeniu. W momencie gdy ciało przechodzi przez położenie najniższe, cała energia potencjalna jest zamieniana na kinetyczną. Możemy zatem wyobrazić sobie, jakim przemianom podlega energia, gdy ciało przechodzi przez położenia pośrednie (Rysunek 8.9). Zmiany energii w trakcie ruchu punktu z najniższego położenia i z powrotem do najwyższego możemy odczytać na poniższych diagramach od (c), poprzez (b), do (a).
Wykresy słupkowe przedstawiające energię całkowitą (E), energię potencjalną (E p) oraz kinetyczną (E k) w różnych położeniach wahadła. Na wykresie (a) całkowita energia jest równa potencjalnej, a kinetyczna jest równa zero. Na wykresie (b) energia kinetyczna i potencjalna są sobie równe, a ich suma jest równa energii całkowitej. Wykres (c) przedstawia energia energię kinetyczną równą energii całkowitej, a energię potencjalną równą zeru. Na wszystkich trzech wykresach słupek energii całkowitej ma taką samą długość.
Rysunek 8.9 Wykresy słupkowe przedstawiające energię całkowitą ( E E ), potencjalną ( E p E p ) oraz kinetyczną ( E k E k ) ciała w różnych położeniach. (a) Całkowita energia układu równa się energii potencjalnej, a energia kinetyczna jest równa zero, co jest charakterystyczne dla maksymalnego wychylenia. (b) Punkt materialny jest w połowie drogi pomiędzy maksymalnym i minimalnym położeniem, a więc energia kinetyczna jest równa potencjalnej, a ich suma – energii całkowitej. (c) Ciało jest w najniższym położeniu, energia kinetyczna osiąga maksimum i jest równa energii całkowitej, natomiast energia potencjalna jest zerowa.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.7

W jakiej odległości od położenia równowagi znajduje się wahadło z poprzedniego przykładu, jeśli jego prędkość jest równa 0,81 m / s ? 0,81 m / s ?

Przykład 8.8

Opór powietrza spadającego ciała

W momencie, gdy helikopter unosi się na wysokości 1 km 1 km , odrywa się od niego panel spodni i pikuje w kierunku ziemi (Rysunek 8.10). Masa panelu wynosi 15 kg 15 kg , a podczas zderzenia z podłożem jego prędkość wynosi 45 m / s 45 m / s . Ile energii mechanicznej ulega rozproszeniu w wyniku działania oporów powietrza podczas opadania panelu?
Rysunek przedstawia helikopter i znajdujący na nieokreślonej wysokości pod nim panel, który osiągnął stałą prędkość maksymalną. Panel rozpoczął spadek z wysokości maszyny. Wykresy słupkowe są zaprezentowane po prawej stronie dla początku ruchu i dla położenia, w którym prędkość maksymalna jest osiągnięta. Na początku energia potencjalna E p jest równa energii całkowitej E, a energia kinetyczna wynosi zero. W momencie gdy panel osiąga prędkość maksymalną energia kinetyczna jest różna od zera, energia potencjalna jest mniejsza niż poprzednio. Energia całkowita nadal jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej, ale jest mniejsza niż na początku ruchu.
Rysunek 8.10 Panel helikoptera odrywa się i spada swobodnie, aż do momentu, w którym osiąga prędkość maksymalną 45 m/s. Ile energii zostało rozproszone na skutek występowania oporów powietrza?

Strategia rozwiązania

Krok 1: W układzie jest rozpatrywane tylko jedno ciało.

Krok 2: Zarówno siła grawitacji, jak i oporu powietrza działają na ciało, tak jak określono to w treści zadania.

Krok 3: Siła grawitacji jest zachowawcza, jednakże niezachowawcze siły oporu również wykonują pracę nad spadającym panelem. W związku z tym musimy użyć zasady zachowania energii wyrażonej Równanie 8.12, aby wyznaczyć wartość rozproszonej energii:

Δ E rozp = | W niezach | = | Δ ( E k + E p ) sf | . Δ E rozp = | W niezach | = | Δ( E k + E p ) sf | .

Krok 4: Początkowa energia kinetyczna w y s = 1 km y s = 1 km wynosi zero. Przyjmijmy zero energii potencjalnej na wysokości podłoża.

Krok 5: Praca sił niezachowawczych, czyli energia rozproszona przez opory powietrza, jest równa różnicy całkowitej energii mechanicznej początku i końca ruchu.

Rozwiązanie

Energia mechaniczna, która uległa rozproszeniu przez opory powietrza, jest sumą algebraiczną przyrostu energii kinetycznej i straty energii potencjalnej. Zatem możemy obliczyć tę sumę poprzez:
Δ E rozp = | E k k E k p + E p k E p p | = | 1 2 15 k g ( 45 m s ) 2 0 + 0 15 k g 9 , 8 m s 2 1000 m | = 130 k J . Δ E rozp = | E k k E k p + E p k E p p | = | 1 2 15 k g ( 45 m s ) 2 0 + 0 15 k g 9 , 8 m s 2 1000 m | = 130 k J .

Znaczenie

Znaczna część początkowej energii mechanicznej panelu ( E p s ) ( E p s ), 147 kJ, została rozproszona. Zauważ, że zdołaliśmy wyznaczyć energię rozproszoną, nie znając sił oporu, a jedynie wiedząc, że są dyssypatywne.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.8

Pewnie sobie przypominasz, że pomijając opory powietrza, w rzucie pionowym czas, jaki potrzebuje wyrzucone ciało, aby osiągnąć maksimum położenia, jest równy czasowi, jaki potrzebuje ciało aby spaść do punktu wyrzutu. Załóżmy teraz, że nie możemy pominąć oporów, tak jak w Przykładzie 8.8. Czy czas, w którym ciało się wznosi, jest (a) większy, (b) mniejszy czy (c) taki sam jak czas opadania? Wyjaśnij.

W powyższych przykładach za pomocą zasady zachowania energii byliśmy w stanie obliczyć prędkość ciała jedynie we wskazanych punktach ruchu. Należy zauważyć, że metoda analizy ruchu ciał bazująca na zachowaniu energii jest o wiele potężniejszym narzędziem. Bardziej zaawansowane metody teorii mechaniki pozwalają obliczyć pełną zależność czasową ruchu cząstki. Często lepszym modelem matematycznym ruchu jest model opierający się na analizie energii kinetycznej i potencjalnej niż ten bazujący na rozpisaniu sił działających na ciało (jest to widoczne szczególnie dobrze w przypadku opisu kwantowo-mechanicznego cząstek takich jak elektrony czy atomy).

Możemy przedstawić najprostsze cechy takiego podejścia energetycznego do ruchu za pomocą analizy cząstki poruszającej się w jednym wymiarze i posiadającej energię potencjalną E p ( x ) E p (x), na którą nie działają siły niezachowawcze. Równanie 8.12 oraz definicja prędkości mówią nam, że:

E k = 1 2 m v 2 = E E p ( x ) v = d x d t = 2 ( E E p ( x ) ) m . E k = 1 2 m v 2 = E E p ( x ) v = d x d t = 2 ( E E p ( x ) ) m .

Rozdzielmy zmienne x x oraz t t i obliczmy całkę w granicach od czasu początkowego t = 0 t = 0 do dowolnie przyjętego momentu czasu t t:

t = 0 t d t = x 0 x d x 2 ( E E p ( x ) ) / m . t= 0 t d t= x 0 x d x 2 ( E E p ( x ) ) / m .
8.14

Jeśli obliczymy całkę z Równania 8.14, to będziemy mogli wyrazić x x w funkcji t t.

Przykład 8.9

Stałe przyspieszenie

Zastosuj energię potencjalną opisaną wzorem E p ( x ) = E ( x / x 0 ) E p (x)=E(x/ x 0 ), gdzie E > 0 E>0, w Równaniu 8.14, aby obliczyć położenie x x ciała w funkcji czasu t t.

Strategia rozwiązania

Wiemy jak energia potencjalna zmienia się wraz ze zmianą x x, a więc możemy podstawić E p ( x ) E p (x) w Równaniu 8.14 i obliczyć całkę po to by znaleźć x x. W wyniku takiej procedury otrzymujemy wyrażenie na x x w funkcji energii E E, masy m m oraz położenia początkowego x 0 . x 0 .

Rozwiązanie

Po wykonaniu dwóch pierwszych kroków z powyższej strategii, uzyskamy:
t = x 0 x d x ( 2 E / m x 0 ) ( x 0 x ) = 1 ( 2 E / m x 0 ) | −2 ( x 0 x ) | x 0 x = 2 ( x 0 x ) ( 2 E / m x 0 ) . t = x 0 x d x ( 2 E / m x 0 ) ( x 0 x ) = 1 ( 2 E / m x 0 ) | −2 ( x 0 x ) | x 0 x = 2 ( x 0 x ) ( 2 E / m x 0 ) .

Rozwiązawszy równanie ze względu na xx, otrzymujemy x ( t ) = x 0 ( E / m x 0 ) t 2 / 2 x(t)= x 0 (E/m x 0 ) t 2 /2.

Znaczenie

Położenie jako funkcja czasu, dla założonego potencjału, wyraża jednowymiarowy ruch ze stałym przyspieszeniem a = ( E / m x 0 ) a = ( E / m x 0 ) rozpoczynający się w x 0 x 0 . Otrzymany wynik nie jest zaskakujący, ponieważ przedstawiona energia potencjalna odpowiada działaniu stałej siły F = d E p / d x = E / x 0 F= d E p / d x=E/ x 0 odpowiadającej przyspieszeniu a = F / m a=F/m.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.9

Jaką wartość energii potencjalnej E p ( x ) E p (x) należy wstawić do Równania 8.13, aby ciało o masie 1 kg i energii mechanicznej 1 J poruszało się ze stałą prędkością?

Przeanalizujemy jeszcze inny, bardziej adekwatny przykład zastosowania Równania 8.13, gdy rozpatrzymy pozostałe wnioski wypływające z wyrażenia opisującego energię potencjalną cząstki.

Układy wielu ciał

Układy fizyczne zazwyczaj zawierają więcej niż jedno ciało. Niemniej jednak zasada zachowania energii, na przykład taka jak w Równaniu 8.12 albo Równaniu 8.13, jest podstawowym prawem fizyki i jest prawdziwa dla każdego układu. Musimy jedynie pamiętać o uwzględnieniu energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich cząstek oraz pracy wszystkich sił niezachowawczych działających na nie. Lepiej jest odłożyć dalszą dyskusję na tę chwilę, gdy nauczymy się więcej na temat dynamiki układów zbudowanych z wielu cząstek, np. w rozdziałach Pęd i zderzenia, Obroty wokół stałej osi czy Moment pędu.

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.