8.4 Wykresy energii potencjalnej

Interpretacja wykresów energii potencjalnej (ang. potential energy diagram) w funkcji położenia jest źródłem wielu przydatnych informacji na temat właściwości mechanicznych układu. Najprostszym przykładem jest przypadek jednowymiarowy, gdzie energia może być przedstawiona w postaci prostego wykresu, np. $E_p(x)$ w funkcji $x$. W układach, w których ruch odbywa się w więcej niż jednym wymiarze, procedura jest bardziej skomplikowana, ale analogiczna. Nasze rozważania ograniczymy do ruchu w jednym wymiarze.

Rozważania zaczniemy od ciała spadającego swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, pomijając przy tym siły oporu. Energia mechaniczna układu jest zachowana, $E=E_k+E_p$, a energia potencjalna, przyjmując zero na poziomie podłoża, jest dana wzorem $E_p(y)=mgy$ (zauważ, że jest to równanie linii prostej o nachyleniu $mg$). Na wykresie przedstawionym na Ilustracji 8.11 oś odciętych reprezentuje wysokość $y$ nad poziomem gruntu, a rzędnych energię ciała.

Ilustracja 8.11 Wykres energii ciała spadającego swobodnie.

Linia pozioma oznaczona dla energii $E$ reprezentuje stałą, całkowitą energię mechaniczną ciała, podczas gdy przykładową energię kinetyczną i potencjalną dla wybranej wysokości $y_A$ oznaczono odpowiednio $E_{kA}$ i $E_{pA}$. Zauważmy, że energia całkowita dzieli się na kinetyczną i potencjalną, a proporcja ich podziału zmienia się wraz z wysokością. Energia kinetyczna nie może przyjmować wartości ujemnych, a więc energia potencjalna osiąga maksimum dla najwyższego położenia, gdzie uzyskuje wartość energii całkowitej, której nie może przekroczyć. Zatem:

Jeśli przyjmiemy punkt odniesienia dla energii potencjalnej równej zero w $y_0$, to możemy wyrazić energię potencjalną $E_p$ jako $mgy$. Przekształcając równanie względem $y$ otrzymujemy:

Za pomocą tego wyrażenia pokazaliśmy, że całkowita energia podzielona przez ciężar ciała ($mg$) określa maksymalną wysokość $y_{\text{max}}.$ W najwyższym położeniu energia kinetyczna oraz prędkość wynoszą zero, więc jeśli ciało przemieszczało się w górę, to w tym punkcie jego prędkość zmieni wartość z dodatniej na ujemną, zatem $y_{\text{max}}$ to punkt zwrotny opisywanego ruchu. Na wysokości podłoża, $y_0=0$, energia potencjalna jest równa zero, natomiast energia kinetyczna oraz prędkość osiągają maksimum:

Prędkość maksymalna $\text{±}{v}_0$ oznacza prędkość początkową potrzebną do wzniesienia się na wysokość $y_{\text{max}}$ oraz prędkość końcową, po upadku z tej wysokości. Wszystkie te informacje można odczytać z wykresu przedstawionego powyżej.

Rozważmy układ masa-sprężyna umieszczony na nieruchomej, poziomej płaszczyźnie, po której układ porusza się bez tarcia, w taki sposób, że siła grawitacji oraz siła reakcji podłoża nie wykonują żadnej pracy (Ilustracja 8.12). Jest to układ jednowymiarowy, w którym energia mechaniczna $E$ jest stała. Energia potencjalna jest obliczana względem położenia równowagi nierozciągniętej sprężyny, czyli dla $x=0$, zatem $E_p(x)=k{x}^2\text{/}2$.

Ilustracja 8.12 (a) Suwak umieszczony pomiędzy dwoma sprężynami na torze z poduszką powietrzną jako przykład poziomego układu masa-sprężyna. (b) Wykres energii potencjalnej sporządzony dla omawianego układu.

Z przedstawionego powyżej wykresu możemy odczytać takie same informacje, jak w przypadku spadku swobodnego. Niemniej jednak w układzie masa-sprężyna siła działająca na ciało ma zmienną wartość, co pozwoli nam poszerzyć wiedzę. Dla spadku swobodnego jesteśmy w stanie przewidzieć część informacji, jak na przykład zakres ruchu oraz maksima przesunięć czy prędkości, analizując graniczne wartości energii kinetycznej $0\le E_k\le E$. Punkt zwrotny (ang. turning point) ruchu występuje, gdy $E_k=0$ lub $E_p=E$. Oznacza to, że dla układu, w którym mamy do czynienia z energią potencjalną sprężystości, istnieją dwa takie położenia:

Ruch suwaka jest zatem ograniczony pomiędzy punktami zwrotnymi $\text{−}{x}_{\text{max}}\le x\le x_{\text{max}}$. To stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej (dodatniej) wartości $E$, ponieważ funkcja energii potencjalnej nie jest ograniczona ze względu na $x$. Z tego względu oraz z uwagi na swój kształt, krzywa $E_p(x)$ jest nazywana nieskończoną studnią potencjału. Na dnie studni potencjału $x=0$, $E_p=0$, natomiast energia kinetyczna osiąga maksimum, czyli $E_k=E$, a więc $v_{\text{max}}=\text{±}\sqrt{2E\text{/}m}$.

Z analizy nachylenia stycznej do krzywej energii potencjalnej można również uzyskać informacje o siłach działających na suwak oraz o jego przyspieszeniu. Pokazaliśmy wcześniej, że nachylenie stycznej do krzywej (czyli pochodna tej funkcji) wzięte ze znakiem minus jest równe sile sprężystości, co w tym przypadku jest tożsame z siłą wypadkową, a więc wielkością proporcjonalną do przyspieszenia ciała. Dla $x=0$ nachylenie stycznej, a zatem zarówno siła, jak i przyspieszenie są równe zero, więc jest to punkt równowagi (ang. equilibrium point). Pochodna ze znakiem minus, obliczona po obu stronach równowagi, określa siłę, która będzie dążyć do przywrócenia ciała do położenia równowagi. W tym przypadku wyznaczona w ten sposób siła jest dana wzorem $F=\text{±}kx$, a więc położenie równowagi jest stabilne; taką siłę nazywamy przywracającą. Oznacza to, że $E_p(x)$ osiąga minimum w punkcie równowagi. Jeśli siła po dowolnej stronie równowagi ma kierunek zgodny z przesunięciem liczonym od tego położenia, to równowaga jest niestabilna, a krzywa $E_p(x)$ posiada w tym miejscu punkt przegięcia albo lokalne maksimum.

Przykład 8.10

Wykres energii potencjalnej zależnej od wyższych potęg przemieszczenia

Energia potencjalna cząstki poruszającej się wzdłuż osi $x$ jest dana relacją $E_p(x)=2(x^4-x^2)$, w której $E_p$ wyrażono w dżulach (J), a $x$ w metrach. Na cząstkę nie działają żadne siły niezachowawcze, więc ich energia mechaniczna jest stała i wynosi $E=\mathrm{-0,25}\text{J}$.

1. Czy ruch cząstki jest ograniczony i jeśli tak, to w jakim zakresie wartości $x$ ?
2. Czy istnieją jakiekolwiek położenia równowagi i jeśli tak, to czy są one stabilne, czy nie?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykreślenia energii potencjalnej w funkcji $x$. Funkcja przyjmuje wartość zero w początku układu współrzędnych i początkowo maleje zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości $x$ ($x^2$ jest większe niż $x^4$ dla $x<1$). Po osiągnięciu pewnej wartości funkcja zaczyna rosnąć i dla odpowiednio dużych wartości bezwzględnych położenia przechodzi przez zero i zaczyna przybierać wartości dodatnie. Nasz wykres, tak jak przedstawiono na Ilustracji 8.13, powinien przypominać podwójną studnię potencjału, gdzie położenie zerowe znaleziono z warunku $E_p(x)=0$ i z ekstremami ustalonymi na podstawie pochodnych pierwszego i drugiego rzędu.

Ilustracja 8.13 Wykres energii potencjalnej w ruchu jednowymiarowym, w którym energia jest funkcją położenia do czwartej oraz do drugiej potęgi.

Dozwolone wartości $x$ dla przykładu (a) możemy odnaleźć, jeśli wiemy, że energia kinetyczna nie przyjmuje wartości ujemnych, oraz znamy wartość energii całkowitej. Położenia równowagi w przykładzie (b) i ich stabilność wyznaczamy poprzez badanie własności funkcji energii potencjalnej w pobliżu ekstremów. Musimy przy tym określić zwrot sił działających w pobliżu ekstremum (pamiętajmy, że punkt równowagi jest stabilny, tylko jeśli funkcja posiada w nim lokalne minimum).

Wystarczy rzut oka na wykres, żeby jakościowo odpowiedzieć na pytania. To właśnie dlatego wykresy energii potencjalnej są tak przydatne. Zauważmy, że istnieją dwa zakresy, w których ruch jest dozwolony $(E>E_p)$ oraz trzy punkty równowagi (nachylenie $\mathrm{d}{E}_p\text{/}\mathrm{d}x=0$), z których jedno jest niestabilne $({\mathrm{d}}^2{E}_p\text{/}\mathrm{d}{x}^2<0)$, a dwa stabilne $({\mathrm{d}}^2{E}_p\text{/}\mathrm{d}{x}^2>0)$.

Rozwiązanie

1. Aby znaleźć dozwolony zakres $x$, stosujemy warunek:
   
   $$E_k=E-E_p=-\frac{1}{4}-2(x^4-x^2)\ge 0.$$
   
   Jeśli równanie zapiszemy w taki sposób, aby otrzymać kwadrat różnicy, rachunek uprości się do rozwiązania nierówności $2(x^2-1\text{/}2{)}^2\le 1\text{/}4$, której rozwiązanie przyjmuje postać:
   
   $$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{8}}\le x^2\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}.$$
   
   Stąd uzyskamy zakresy $x_p\le x\le x_R$ oraz $-x_R\le x\le -x_p$, gdzie $x_p=\mathrm{0,38}$ i $x_R=\mathrm{0,92}$ (w metrach).
2. W celu znalezienia położeń równowagi musimy rozwiązać równanie:
   
   $$\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}x}=8x^3-4x=0$$
   
   i znajdujemy punkty $x=0$ oraz $x=\text{±}{x}_Q$, gdzie $x_Q=1\text{/}\sqrt{2}=\mathrm{0,707}$ (metry). Druga pochodna ma następującą postać:
   
   $$\frac{{\mathrm{d}}^2{E}_p}{\mathrm{d}{x}^2}=24x^2-4$$
   
   i osiąga wartość ujemną dla $x=0$, co określa lokalne maksimum funkcji, czyli równowaga jest niestabilna. Natomiast w punktach $x=\text{±}{x}_Q$ druga pochodna przyjmuje wartość dodatnią, co oznacza, że jest to lokalne minimum, a więc mamy do czynienia z równowagą stabilną.

Znaczenie

Cząstka w omawianym przykładzie może oscylować w jednym z dwóch dozwolonych zakresów ruchu, ale nie ma wystarczającej energii, by opuścić studnię potencjału, w której początkowo się znalazła. Zasada zachowania energii mechanicznej w powiązaniu z zależnościami pomiędzy energią kinetyczną i prędkością oraz energią potencjalną i siłą umożliwiają nam pozyskanie bardzo wielu zarówno jakościowych, jak i ilościowych informacji na temat ruchu cząstki. Wystarczy nam do tego odpowiednio przygotowany wykres energii potencjalnej.

Przed zakończeniem tej sekcji poćwiczmy jeszcze trochę metodę odnajdywania zależności położenia od czasu na podstawie energii potencjalnej cząstki dla przypadku jednowymiarowego układu masy na sprężynie przedstawionego w poprzednich częściach działu.