Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

8.4 Wykresy energii potencjalnej

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 18.4 Wykresy energii potencjalnej
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • tworzyć i interpretować wykresy energii potencjalnej;
  • wyjaśniać związek pomiędzy równowagą i energią potencjalną.

Interpretacja wykresów energii potencjalnej (ang. potential energy diagram) w funkcji położenia jest źródłem wielu przydatnych informacji na temat właściwości mechanicznych układu. Najprostszym przykładem jest przypadek jednowymiarowy, gdzie energia może być przedstawiona w postaci prostego wykresu, np. E p ( x ) E p (x) w funkcji x x. W układach, w których ruch odbywa się w więcej niż jednym wymiarze, procedura jest bardziej skomplikowana, ale analogiczna. Nasze rozważania ograniczymy do ruchu w jednym wymiarze.

Rozważania zaczniemy od ciała spadającego swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, pomijając przy tym siły oporu. Energia mechaniczna układu jest zachowana, E = E k + E p E= E k + E p , a energia potencjalna, przyjmując zero na poziomie podłoża, jest dana wzorem E p ( y ) = m g y E p (y)=mgy (zauważ, że jest to równanie linii prostej o nachyleniu m g m g ). Na wykresie przedstawionym na Rysunku 8.11 oś odciętych reprezentuje wysokość y y nad poziomem gruntu, a rzędnych energię ciała.

Energia wyrażona w dżulach wykreślona jako funkcja wysokości nad poziomem podłoża. Energia potencjalna E p to czerwona linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Równanie prostej jest następujące E p równa się m g y. Wartość energii całkowitej E będąca sumą energii kinetycznej E k i potencjalnej E p jest stała, co zaprezentowano za pomocą czarnej poziomej linii. Wysokość nad poziomem gruntu, dla której linie E i E p się przecinają oznaczono jako y max. Dla danej wielkości y A, mniejszej od y max, oznaczono energię kinetyczną i potencjalną. Energię pomiędzy linią czerwoną E p i osią odciętych oznaczono E p A. Energię pomiędzy czerwoną linią E p i czarną linią E oznaczono jako E k A.
Rysunek 8.11 Wykres energii ciała spadającego swobodnie.

Linia pozioma oznaczona dla energii E E reprezentuje stałą, całkowitą energię mechaniczną ciała, podczas gdy przykładową energię kinetyczną i potencjalną dla wybranej wysokości y A y A oznaczono odpowiednio E k A E k A i E p A E p A . Zauważmy, że energia całkowita dzieli się na kinetyczną i potencjalną, a proporcja ich podziału zmienia się wraz z wysokością. Energia kinetyczna nie może przyjmować wartości ujemnych, a więc energia potencjalna osiąga maksimum dla najwyższego położenia, gdzie uzyskuje wartość energii całkowitej, której nie może przekroczyć. Zatem:

E k = E E p 0 E p E . E k = E E p 0 E p E .

Jeśli przyjmiemy punkt odniesienia dla energii potencjalnej równej zero w y 0 y 0 , to możemy wyrazić energię potencjalną E p E p jako m g y mgy. Przekształcając równanie względem y y otrzymujemy:

y E m g = y max . y E m g = y max .

Za pomocą tego wyrażenia pokazaliśmy, że całkowita energia podzielona przez ciężar ciała ( m g mg) określa maksymalną wysokość y max . y max . W najwyższym położeniu energia kinetyczna oraz prędkość wynoszą zero, więc jeśli ciało przemieszczało się w górę, to w tym punkcie jego prędkość zmieni wartość z dodatniej na ujemną, zatem y max y max to punkt zwrotny opisywanego ruchu. Na wysokości podłoża, y 0 = 0 y 0 = 0 , energia potencjalna jest równa zero, natomiast energia kinetyczna oraz prędkość osiągają maksimum:

E p 0 = 0 = E E k 0 E = E k 0 = 1 2 m v 0 2 v 0 = ± 2 E m . E p 0 = 0 = E E k 0 E = E k 0 = 1 2 m v 0 2 v 0 = ± 2 E m .

Prędkość maksymalna ± v 0 ± v 0 oznacza prędkość początkową potrzebną do wzniesienia się na wysokość y max y max oraz prędkość końcową, po upadku z tej wysokości. Wszystkie te informacje można odczytać z wykresu przedstawionego powyżej.

Rozważmy układ masa-sprężyna umieszczony na nieruchomej, poziomej płaszczyźnie, po której układ porusza się bez tarcia, w taki sposób, że siła grawitacji oraz siła reakcji podłoża nie wykonują żadnej pracy (Rysunek 8.12). Jest to układ jednowymiarowy, w którym energia mechaniczna E E jest stała. Energia potencjalna jest obliczana względem położenia równowagi nierozciągniętej sprężyny, czyli dla x = 0 x=0, zatem E p ( x ) = k x 2 / 2 E p (x)=k x 2 /2.

Rysunek a przedstawia ilustrację suwaka zamocowanego pomiędzy dwoma sprężynami umieszczonego na torze z poduszką powietrzną. Rysunek b to wykres energii w dżulach w funkcji przesunięcia liczonego od położenia, w którym sprężyny nie są odkształcone. Funkcja E p od x jest równa jednej drugiej k x do kwadratu. Punkt równowagi znajduje się w minimum paraboli, czyli w punkcie x równym zero. Energia całkowita E będąca sumą E p i E k jest stała i została oznaczona poprzez poziomą czarną linię. Punkty, w których parabola energii potencjalnej E p przecina linię E oznaczono jako punkty zwrotne. Jeden z nich znajduje się dla minus x max, natomiast drugi dla plus x max.
Rysunek 8.12 (a) Suwak umieszczony pomiędzy dwoma sprężynami na torze z poduszką powietrzną jako przykład poziomego układu masa-sprężyna. (b) Wykres energii potencjalnej sporządzony dla omawianego układu.

Z przedstawionego powyżej wykresu możemy odczytać takie same informacje, jak w przypadku spadku swobodnego. Niemniej jednak w układzie masa-sprężyna siła działająca na ciało ma zmienną wartość, co pozwoli nam poszerzyć wiedzę. Dla spadku swobodnego jesteśmy w stanie przewidzieć część informacji, jak na przykład zakres ruchu oraz maksima przesunięć czy prędkości, analizując graniczne wartości energii kinetycznej 0 E k E 0 E k E. Punkt zwrotny (ang. turning point) ruchu występuje, gdy E k = 0 E k =0 lub E p = E E p =E. Oznacza to, że dla układu, w którym mamy do czynienia z energią potencjalną sprężystości, istnieją dwa takie położenia:

x max = ± 2 E k . x max = ± 2 E k .

Ruch suwaka jest zatem ograniczony pomiędzy punktami zwrotnymi x max x x max x max x x max . To stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej (dodatniej) wartości E E, ponieważ funkcja energii potencjalnej nie jest ograniczona ze względu na x x. Z tego względu oraz z uwagi na swój kształt, krzywa E p ( x ) E p (x) jest nazywana nieskończoną studnią potencjału. Na dnie studni potencjału x = 0 x=0, E p = 0 E p =0, natomiast energia kinetyczna osiąga maksimum, czyli E k = E E k =E, a więc v max = ± 2 E / m v max = ± 2 E / m .

Z analizy nachylenia stycznej do krzywej energii potencjalnej można również uzyskać informacje o siłach działających na suwak oraz o jego przyspieszeniu. Pokazaliśmy wcześniej, że nachylenie stycznej do krzywej (czyli pochodna tej funkcji) wzięte ze znakiem minus jest równe sile sprężystości, co w tym przypadku jest tożsame z siłą wypadkową, a więc wielkością proporcjonalną do przyspieszenia ciała. Dla x = 0 x = 0 nachylenie stycznej, a zatem zarówno siła, jak i przyspieszenie są równe zero, więc jest to punkt równowagi (ang. equilibrium point). Pochodna ze znakiem minus, obliczona po obu stronach równowagi, określa siłę, która będzie dążyć do przywrócenia ciała do położenia równowagi. W tym przypadku wyznaczona w ten sposób siła jest dana wzorem F = ± k x F = ± k x , a więc położenie równowagi jest stabilne; taką siłę nazywamy przywracającą. Oznacza to, że E p ( x ) E p (x) osiąga minimum w punkcie równowagi. Jeśli siła po dowolnej stronie równowagi ma kierunek zgodny z przesunięciem liczonym od tego położenia, to równowaga jest niestabilna, a krzywa E p ( x ) E p (x) posiada w tym miejscu punkt przegięcia albo lokalne maksimum.

Przykład 8.10

Wykres energii potencjalnej zależnej od wyższych potęg przemieszczenia

Energia potencjalna cząstki poruszającej się wzdłuż osi x x jest dana relacją E p ( x ) = 2 ( x 4 x 2 ) E p (x)=2( x 4 x 2 ), w której E p E p wyrażono w dżulach (J), a x x w metrach. Na cząstkę nie działają żadne siły niezachowawcze, więc ich energia mechaniczna jest stała i wynosi E = −0,25 J E = −0,25 J .
  1. Czy ruch cząstki jest ograniczony i jeśli tak, to w jakim zakresie wartości x x ?
  2. Czy istnieją jakiekolwiek położenia równowagi i jeśli tak, to czy są one stabilne, czy nie?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykreślenia energii potencjalnej w funkcji x x. Funkcja przyjmuje wartość zero w początku układu współrzędnych i początkowo maleje zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości x x ( x 2 x 2 jest większe niż x 4 x 4 dla x < 1 x < 1 ). Po osiągnięciu pewnej wartości funkcja zaczyna rosnąć i dla odpowiednio dużych wartości bezwzględnych położenia przechodzi przez zero i zaczyna przybierać wartości dodatnie. Nasz wykres, tak jak przedstawiono na Rysunku 8.13, powinien przypominać podwójną studnię potencjału, gdzie położenie zerowe znaleziono z warunku E p ( x ) = 0 E p (x)=0 i z ekstremami ustalonymi na podstawie pochodnych pierwszego i drugiego rzędu.
Wykres przedstawia energię potencjalną E p wyrażoną w dżulach jako funkcję położenia x wyrażonego w metrach. E p jest wielomianem czwartego stopnia z x i reprezentuje ruch w jednym wymiarze wzdłuż osi x. Wykres funkcji został narysowany dla wartości x od -1.2 do 1.2 metra, z wartościami na osi oznaczonymi co 0.5 metra oraz z siatką pomocniczą o szerokości oczka 0.1 metra. Oś rzędnych rozciąga się od -0.55 do +0.55 dżula, wartości są oznaczone co 0.1 dżula z liniami pomocniczymi co 0.05 dżula. Funkcja E p od x równa się 2 razy w nawiasie x do czwartej minus x kwadrat. Funkcja zmierza do nieskończoności dla x zmierzającego do plus minus nieskończoności i jest równa zero dla x równego zero. Funkcja osiąga minimum wynoszące -0.5 dżula w x równym około -0.7 metra oraz +0.7 metra. Pozycję minimum dla dodatniej wartości x oznaczono Q, a dla ujemnej minus Q. Funkcja E p od x przechodzi przez zero dla dwóch wartości x, dla x równego minus 1 oraz plus 1. Całkowita energia E wynosi -0.25 dżula i ta wartość jest reprezentowana przez poziomą linię na wykresie. Punkty przecięcia funkcji z poziomą linią występują dla czterech różnych położeń, co opisano od lewej do prawej. Punkt najbardziej po lewej występuje dla wartości x pomiędzy -0.95 i 0.9 i oznaczono go jako minus R. Następne położenie występuje dla wartości x pomiędzy -0.4 i -0.35, a oznaczono go minus P. Pozostałe punkty przecięć występują dla takich samych wartości x, ale wziętych z plusem i oznaczono je odpowiednio P oraz R.
Rysunek 8.13 Wykres energii potencjalnej w ruchu jednowymiarowym, w którym energia jest funkcją położenia do czwartej oraz do drugiej potęgi.

Dozwolone wartości x x dla przykładu (a) możemy odnaleźć, jeśli wiemy, że energia kinetyczna nie przyjmuje wartości ujemnych, oraz znamy wartość energii całkowitej. Położenia równowagi w przykładzie (b) i ich stabilność wyznaczamy poprzez badanie własności funkcji energii potencjalnej w pobliżu ekstremów. Musimy przy tym określić zwrot sił działających w pobliżu ekstremum (pamiętajmy, że punkt równowagi jest stabilny, tylko jeśli funkcja posiada w nim lokalne minimum).

Wystarczy rzut oka na wykres, żeby jakościowo odpowiedzieć na pytania. To właśnie dlatego wykresy energii potencjalnej są tak przydatne. Zauważmy, że istnieją dwa zakresy, w których ruch jest dozwolony ( E > E p ) (E> E p ) oraz trzy punkty równowagi (nachylenie d E p / d x = 0 d E p / d x=0), z których jedno jest niestabilne ( d 2 E p / d x 2 < 0 ) ( d 2 E p / d x 2 <0), a dwa stabilne ( d 2 E p / d x 2 > 0 ) ( d 2 E p / d x 2 >0).

Rozwiązanie

  1. Aby znaleźć dozwolony zakres x x, stosujemy warunek:
    E k = E E p = 1 4 2 ( x 4 x 2 ) 0. E k =E E p = 1 4 2( x 4 x 2 )0.

    Jeśli równanie zapiszemy w taki sposób, aby otrzymać kwadrat różnicy, rachunek uprości się do rozwiązania nierówności 2 ( x 2 1 / 2 ) 2 1 / 4 2( x 2 1/2 ) 2 1/4, której rozwiązanie przyjmuje postać:
    1 2 1 8 x 2 1 2 + 1 8 . 1 2 1 8 x 2 1 2 + 1 8 .

    Stąd uzyskamy zakresy x p x x R x p x x R oraz x R x x p x R x x p , gdzie x p = 0,38 x p = 0,38 i x R = 0,92 x R = 0,92 (w metrach).
  2. W celu znalezienia położeń równowagi musimy rozwiązać równanie:
    d E p d x = 8 x 3 4 x = 0 d E p d x =8 x 3 4x=0

    i znajdujemy punkty x = 0 x = 0 oraz x = ± x Q x = ± x Q , gdzie x Q = 1 / 2 = 0,707 x Q = 1 / 2 = 0,707 (metry). Druga pochodna ma następującą postać:
    d 2 E p d x 2 = 24 x 2 4 d 2 E p d x 2 =24 x 2 4

    i osiąga wartość ujemną dla x = 0 x = 0 , co określa lokalne maksimum funkcji, czyli równowaga jest niestabilna. Natomiast w punktach x = ± x Q x = ± x Q druga pochodna przyjmuje wartość dodatnią, co oznacza, że jest to lokalne minimum, a więc mamy do czynienia z równowagą stabilną.

Znaczenie

Cząstka w omawianym przykładzie może oscylować w jednym z dwóch dozwolonych zakresów ruchu, ale nie ma wystarczającej energii, by opuścić studnię potencjału, w której początkowo się znalazła. Zasada zachowania energii mechanicznej w powiązaniu z zależnościami pomiędzy energią kinetyczną i prędkością oraz energią potencjalną i siłą umożliwiają nam pozyskanie bardzo wielu zarówno jakościowych, jak i ilościowych informacji na temat ruchu cząstki. Wystarczy nam do tego odpowiednio przygotowany wykres energii potencjalnej.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.10

Powtórz Przykład 8.10 przyjmując całkowitą energię mechaniczną ciała równą + 0,25 J + 0,25 J .

Przed zakończeniem tej sekcji poćwiczmy jeszcze trochę metodę odnajdywania zależności położenia od czasu na podstawie energii potencjalnej cząstki dla przypadku jednowymiarowego układu masy na sprężynie przedstawionego w poprzednich częściach działu.

Przykład 8.11

Drgania sinusoidalne

Znajdź x ( t ) x(t) poruszającej się cząstki o energii mechanicznej E > 0 E > 0 i energię potencjalnej danej poprzez E p ( x ) = k x 2 / 2 E p (x)=k x 2 /2. Załóż, że cząstka zaczyna ruch ze spoczynku w czasie t = 0 t = 0 .

Strategia rozwiązania

Podejmujemy takie same kroki jak w Przykładzie 8.9. Podstaw E p E p do Równania 8.14 i wyłącz stałe takie jak m m czy k k. Oblicz całkę funkcji i rozwiąż równanie ze względu na położenie, które jest teraz funkcją czasu.

Rozwiązanie

Podstawmy energię potencjalną do Równania 8.14 i oblicz całkę, korzystając z aplikacji znalezionej w Internecie:
t = x 0 x d x ( k / m ) ( 2 E / k x 2 ) = m k [ arcsin ( x 2 E / k ) arcsin ( x 0 2 E / k ) ] . t= x 0 x d x ( k / m ) ( 2 E / k x 2 ) = m k [ arcsin ( x 2 E / k ) arcsin ( x 0 2 E / k ) ] .

Z warunków brzegowych wynika, że dla t = 0 t = 0 energia kinetyczna jest równa zero, a potencjalna wynosi k x 0 2 / 2 = E k x 0 2 /2=E. Na podstawie tego równania widzimy, że x 0 / 2 E / k = ± 1 x 0 / 2 E / k =±1, czyli arcsin ( ± 1 ) = ± 90 arcsin(±1)=± 90 . Teraz możemy rozwiązać równanie ze względu na x x:

x ( t ) = 2 E k sin ( k m t ± 90 ) = ± 2 E k cos ( k m t ) . x(t)= 2 E k sin ( k m t ± 90 ) =± 2 E k cos ( k m t ) .

Znaczenie

We wcześniejszej części działu określiliśmy układ masa-sprężyna jako przykład oscylatora harmonicznego. Tutaj wykazaliśmy, że oscylator harmoniczny drga sinusoidalnie, a jego maksymalne wychylenie jest równe 2 E / k 2 E / k (takie krańcowe wychylenie nazywamy amplitudą drgań). Możemy również zauważyć, że ilość pełnych cykli drgań na jednostkę czasu wynosi ( 1 / 2 π ) k / m ( 1 / 2 π ) k / m (ten parametr nazywamy częstotliwością). Dalsze rozważania na temat ruchu drgającego przeprowadzimy w rozdziale Drgania.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.11

Znajdź x ( t ) x ( t ) układu masa-sprężyna przedstawionego w Przykładzie 8.11, zakładając, że ciało zaczyna ruch w x 0 = 0 x 0 = 0 dla t = 0 . t = 0 . Jaka jest prędkość początkowa ciała?

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.