William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać siły zachowawcze na kilka sposobów;
podawać warunki, które muszą być spełnione przez siły zachowawcze;
wiązać siły zachowawcze oddziałujące między cząsteczkami z ich energią potencjalną;
obliczać składowe siły zachowawczej w różnych przypadkach.

Do tej pory w rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii każdorazowa konwersja energii kinetycznej i potencjalnej spełniała zasadę zachowania energii. Prawo działało niezależnie od drogi przebytej przez ciało, tzn. mogliśmy analizować ciało w dowolnych dwóch punktach ruchu i suma jego energii potencjalnej i kinetycznej w obu punktach była sobie równa. Jest to cecha charakterystyczna sił zachowawczych (ang. conservative force). W zagadnieniach analizowanych w poprzedniej sekcji mieliśmy do czynienia właśnie z takimi siłami, przykładami których są siły grawitacji i sprężystości. W analizie ruchu piłki na Ilustracji 8.2 całkowita energia mechaniczna nigdy się nie zmieniała, zarówno wtedy, gdy ciało zwiększało swoją energię potencjalną podczas wznoszenia, jak i odwrotnie, gdy zmniejszało ją podczas lotu opadającego. Siły niezachowawcze (ang. non-conservative force) mają inne właściwości. Są to siły rozpraszające (dyssypatywne), których przykładami są tarcie oraz opory powietrza. Oddziaływania takiego rodzaju prowadzą do rozproszenia energii, czyli nieodwracalnej przemiany energii, której potem nie można odzyskać. Praca sił niezachowawczych jest zależna od przebytej drogi.

Siła zachowawcza

Praca wykonana przez siłę zachowawczą nie zależy od drogi. Innymi słowy praca siły zachowawczej jest taka sama dla każdej drogi biegnącej pomiędzy dwoma położeniami:

W_{A B_{droga 1}} = \int_{A B_{droga 1}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} = W_{A B_{droga 2}} = \int_{A B_{droga 2}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} .

8.8

Natomiast praca siły niezachowawczej zależy od drogi przebytej przez ciało.

Można zatem powiedzieć, że praca wykonana przez siły zachowawcze na drodze zamkniętej (pętli) jest równa zero:

W_{droga zamk.} = \oint {\vec{E}}_{zach} \cdot d \vec{r} = 0.

8.9

W Równaniu 8.9 korzystamy z notacji, w której okrąg w znaku całki oznacza całkowanie po krzywej zamkniętej – jest to sposób zapisu często spotykany w podręcznikach z zakresu fizyki i techniki. Równanie 8.8 oraz Równanie 8.9 są równoważne, ponieważ każda droga zamknięta jest sumą dwóch dróg: przebytą z punktu $A$ do $B$ oraz w drugą stronę od $B$ do $A$ . Praca obliczona wzdłuż drogi od $B$ do $A$ to ujemna wartość pracy obliczonej wzdłuż drogi od $A$ do $B$ , gdzie $A$ i $B$ to dowolne dwa punkty leżące na konturze drogi zamkniętej:

\begin{aligned} 0 = \int {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} & = \int_{A B_{droga 1}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} + \int_{B A_{droga 2}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} \\ = \int_{A B_{droga 1}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} - \int_{A B_{droga 2}} {\vec{F}}_{zach} \cdot d \vec{r} = 0. \end{aligned}

Definicja siły zachowawczej zakłada, że wykonana przez nią praca po dowolnej drodze pomiędzy $A$ i $B$ jest taka sama, ale w celu obliczenia całki trzeba dokonać wyboru jakiejś konkretnej drogi. Jak w takim razie ustalić, czy siła jest zachowawcza, czy nie? Aby tego dokonać, musimy zauważyć, że praca jest niezależna od drogi, jeśli przyczynek (czyli bardzo mały przyrost danej wielkości) do pracy $\vec{F} \cdot d \vec{r}$ jest taki, że jego różniczka zupełna (ang. exact differential) jest równa różniczce zupełnej energii kinetycznej $d W_{wyp} = m \vec{v} \cdot d \vec{v} = d (m v^{2} / 2)$ . Podobna zależność obowiązuje dla równoważności pracy i energii, co zostało pokazane w podrozdziale Zasada zachowania energii mechanicznej. Istnieje aparat matematyczny, który pozwala sprawdzić, czy przyczynek do pracy wynikający z działania danej siły jest równy różniczce zupełnej energii kinetycznej, i tym samym wykazać, że siła jest zachowawcza. Zastosowanie tego aparatu wymaga jedynie różniczkowania, co jest względnie prostą operacją matematyczną. Przy rozpatrywaniu zagadnienia w dwóch wymiarach, warunki, które muszą być spełnione, aby równanie $\vec{F} \cdot d \vec{r} = F_{x} d x + F_{y} d y$ było różniczką zupełną energii kinetycznej, są następujące:

\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d F_{y}}{d x} .

8.10

Praca wykonana przez siłę opisaną w Przykładzie 7.4 jest zależna od drogi. Zatem siła

F_{x} = 5 \frac{N}{m} \cdot y oraz F_{y} = 10 \frac{N}{m} \cdot x .

Stąd:

\frac{d F_{x}}{d y} = 5 \frac{N}{m} \neq \frac{d F_{y}}{d x} = 10 \frac{N}{m},

co świadczy o tym, że mamy do czynienia z siłą niezachowawczą. Czy jesteśmy w stanie zaproponować, co należałoby zmienić, aby sprawić, by omawiana siła była siłą zachowawczą?

Zdjęcie przedstawia pracującą szlifierkę kątową.

Ilustracja 8.7 Siła wytworzona przez koło cierne jest niezachowawcza, ponieważ praca przez nią wykonana zależy od liczby wykonanych obrotów, a zatem jest zależna od drogi.

Przykład 8.5

Zachowawcza czy niezachowawcza?

Która z następujących sił działających w dwóch wymiarach jest zachowawcza, a która nie? Załóż, że

a

i

b

to stałe o odpowiednich jednostkach:

$a x y^{3} \cdot \hat{i} + a y x^{3} \cdot \hat{j},$
$a [(y^{2} / x) \cdot \hat{i} + 2 y \ln (x / b) \cdot \hat{j}],$
$\frac{a x \cdot \hat{i} + a y \cdot \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}$

Strategia rozwiązania

Zastosuj warunek opisany w Równaniu 8.10, czyli oblicz pochodne cząstkowe każdej z sił. Jeśli pochodna po

x

składowej

y

danej siły jest równa pochodnej po

y

składowej

x

, to siła jest zachowawcza. Dzieje się tak, ponieważ przy spełnieniu tego warunku niezależnie od drogi energia potencjalna tej siły przy danym przesunięciu zawsze zapewni taki sam wynik.

Rozwiązanie

$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x y^{3})}{d y} = 3 a x y^{2}$ i $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y x^{3})}{d x} = 3 a y x^{2}$ – ta siła nie jest zachowawcza.
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a y^{2} / x))}{d y} = \frac{2 a y}{x}$ i $\frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (2 a y \ln (x / b))}{d x} = \frac{2 a y}{x}$ – więc jest to siła zachowawcza.
$\frac{d F_{x}}{d y} = \frac{d (a x / (x^{2} + y^{2}))}{d y} = - \frac{a x (2 y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{d F_{y}}{d x} = \frac{d (a y / (x^{2} + y^{2}))}{d x}$ – tu także jest to siła zachowawcza.

Znaczenie

Warunki przedstawione w Równaniu 8.10 bazują na pochodnych funkcji po dwóch zmiennych. W trzech wymiarach można wprowadzić podobne warunki, ale wymagają one obliczenia większej liczby pochodnych.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.5

Dwuwymiarowa siła zachowawcza przyjmuje wartość zero na osi $x$ i $y$ oraz spełnia warunek $d F_{x} / d y = d F_{y} / d x = (4 N / m^{3}) x y$ . Jaka jest wartość siły w punkcie $x = y = 1 m?$

Zanim skończymy rozważania w tej sekcji, zauważmy, że siły niezachowawcze nie są związane z istnieniem żadnej energii potencjalnej, ponieważ przemiana energetyczna związana z ich działaniem dąży do bezpowrotnego rozproszenia (utraty) energii, która nie może zostać zamieniona z powrotem na pracę. Natomiast energia potencjalna jest zdefiniowana poprzez pracę sił zachowawczych. Równanie 8.1 zawiera pracę wyrażoną jako całkę z iloczynu skalarnego siły i przemieszczenia. W wyniku całkowania otrzymuje się pracę oraz różnicę energii potencjalnej. Przypomnijmy, że całkowanie jest działaniem przeciwnym do różniczkowania. Równie dobrze możemy obliczyć pochodną energii potencjalnej po przesunięciu, aby otrzymać siłę. Przyczynek do energii potencjalnej jest to iloczyn skalarny siły zachowawczej i przyczynku przemieszczenia.

d E_{p} = - \vec{F} \cdot d \vec{l} = - F_{l} d l .

W powyższym równaniu dokonaliśmy wyboru reprezentacji przemieszczenia w dowolnym kierunku poprzez $d \vec{l}$ , ponieważ nie chcieliśmy ograniczać się do żadnego wyróżnionego układu odniesienia. Następnie przekształciliśmy wzór tak, aby wyrazić iloczyn skalarny jako iloczyn składowej siły $F_{l}$ działającej w kierunku $l$ i minimalnego przyrostu przemieszczenia $d l$ . Obie wielkości są skalarami, więc możemy podzielić równanie obustronnie przez $d l$ , by otrzymać:

F_{l} = - \frac{d E_{p}}{d l} .

8.11

Na podstawie tego równania widzimy zależność pomiędzy siłą i energią potencjalną z nią związaną. Składowa siły zachowawczej w wyróżnionym kierunku jest równa ujemnej pochodnej energii potencjalnej po przemieszczeniu. W przypadku jednowymiarowym, np. wzdłuż osi $x$ , Równanie 8.11 przyjmuje postać $\vec{F} = F_{x} \cdot \hat{i} = - \frac{\partial E_{p}}{\partial x} \cdot \hat{i}$ .

W dwóch wymiarach:

\vec{F} = F_{x} \cdot \hat{i} + F_{y} \cdot \hat{j} = - \frac{\partial E_{p}}{\partial x} \cdot \hat{i} - \frac{\partial E_{p}}{\partial y} \cdot \hat{j} .

W omawianym równaniu zastosowano pochodne cząstkowe. Jeśli funkcja jest zależna od wielu zmiennych, aby znaleźć jej różniczkę zupełną należy obliczyć pochodne cząstkowe po każdej zmiennej. Obliczając pochodną cząstkową po danej zmiennej, pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. W przypadku trójwymiarowym do powyższego równania dodajemy trzeci, analogiczny człon dla składowej $z$ i w efekcie otrzymujemy równanie, w którym siła jest to ujemny gradient energii potencjalnej. Na razie nie będziemy analizować układów trójwymiarowych.

Przykład 8.6

Siła wynikająca z energii potencjalnej będącej funkcją przemieszczenia do potęgi czwartej

Energia potencjalna cząstki poruszającej się wzdłuż osi

x

dana jest wzorem:

E_{p} = \frac{1}{4} c x^{4},

gdzie $c = 8 {N/m}^{3} .$ Całkowita energia cząstki w położeniu $x = 0 m$ wynosi $2 J$ i nie podlega działaniu żadnej siły niezachowawczej. Znajdź:

położenia, w których energia kinetyczna wynosi zero oraz
wartości siły w tych położeniach.

Strategia rozwiązania

Stosunkowo łatwo jest znaleźć położenia, w których $E_{k} = 0 J$ , jeśli zauważymy, że zgodnie z zasadą zachowania energii całkowita energia mechaniczna w tej sytuacji składa się tylko i wyłącznie z energii potencjalnej.
Możemy użyć Równania 8.11, aby wyznaczyć siłę w położeniach wyznaczonych w poprzednim podpunkcie.

Rozwiązanie

Całkowita energia mechaniczna układu jest równa 2 J i w położeniu, w którym energia kinetyczna wynosi zero, jest równa energii potencjalnej

$2 J = \frac{1}{4} \cdot 8 \frac{N}{m^{3}} \cdot x_{f}^{4} .$

Rozwiązując równanie, znajdziemy $x_{f} = ± 1 m .$
Z Równania 8.11,

$F_{x} = - \frac{d E_{p}}{d x} = - c x^{3} .$

Stąd obliczając siłę w punktach $± 1 m$ , otrzymujemy

$\vec{F} = - 8 \frac{N}{m^{3}} \cdot (\pm 1 m)^{3} \cdot \hat{i} = \pm 8 N \cdot \hat{i} .$

W obu położeniach wartość siły wynosi 8 N i jest zwrócona w kierunku początku układu współrzędnych. Wynika to z tego, że potencjał ma charakter siły zawracającej.

Znaczenie

Obliczanie siły na podstawie energii potencjalnej jest matematycznie prostsze niż wyprowadzenie energii potencjalnej przy znanej sile, ponieważ różniczkowanie funkcji jest zazwyczaj prostsze niż całkowanie.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.6

Wyznacz siły działające na cząstkę w Przykładzie 8.6, przyjmując, że energia kinetyczna jest równa 1 J w $x = 0 .$

8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze

Zachowawcza czy niezachowawcza?

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Siła wynikająca z energii potencjalnej będącej funkcją przemieszczenia do potęgi czwartej

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie