7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej

Omówiliśmy sposoby obliczania pracy wykonanej przez siły działające na cząstkę, ale jak praca przekłada się na ruch cząstki? Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona suma wszystkich sił działających na ciało określa jego pęd (jego ruch). W związku z tym powinniśmy wziąć pod uwagę wszystkie siły działające na ciało czy też po prostu wprowadzić pojęcie pracy wypadkowej (ang. net work), a następnie ocenić, jak będzie ona wpływać na ruch ciała.

Rozważmy pracę wypadkową będącą wynikiem działania siły wypadkowej, powodującą nieskończenie małe przemieszczenie cząstki: $\mathrm{d}{W}_{\text{wyp}}={\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że: ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=m\left(\mathrm{d}\overrightarrow{v}\text{/}\mathrm{d}t\right)$, więc $\mathrm{d}{W}_{\text{wyp}}=m\left(\mathrm{d}\overrightarrow{v}\text{/}\mathrm{d}t\right)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$. W celu dokonania opisu matematycznego musimy wyrazić pracę poprzez odpowiednią różniczkę (np. $\mathrm{d}t$) w następujący sposób:

W powyższym równaniu za prędkość podstawiliśmy pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie, zapisując w ten sposób iloczyn skalarny w bardziej czytelny sposób (Równanie 2.30). W celu ułatwienia obliczeń, zamiast wykonywać całkowanie wielkości wektorowych, zapiszmy wartość iloczynu skalarnego za pomocą składowych oraz wykonajmy całkowanie od $A$ do $B$ (punkty na trajektorii cząstki). Wynik tej całki wyznacza nam wartość pracy wypadkowej:

W trzecim kroku wykorzystaliśmy fakt, że suma kwadratów składowych wektora odpowiada kwadratowi długości wektora. Na koniec wykorzystaliśmy definicję energii kinetycznej. Równanie to opisuje w sposób matematyczny zasadę równoważności pracy i energii (ang. work–energy theorem) (Ilustracja 7.11), która jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii.

Ilustracja 7.11 Konie ciągną obciążenie podczas zawodów w ramach festynu. Praca wykonywana przez konie jest wykorzystywana do zmiany energii kinetycznej ciągniętego obiektu. (Źródło: “Jassen”/ Flickr)

Zgodnie z zasadą zachowania energii, kiedy dane ciało zwalnia, zmniejsza się jego energia kinetyczna, co odpowiada ujemnej wartości pracy, która została wykonana przez siły działające na to ciało. Kiedy ciało przyspiesza, praca ma wartość dodatnią. Kiedy wyznaczamy wartość pracy wypadkowej, musimy uwzględnić wszystkie siły działające na ciało, a nie brać pod uwagę tych, które nie działają na ciało. W przeciwnym wypadku dostaniemy błędny wynik.

Dzięki zastosowaniu prawa o równoważności pracy i energii (oraz ogólnej formy zasady zachowania energii) jesteśmy w stanie rozwiązywać zadania/problemy w dużo prostszy sposób niż za pomocą rozwiązywania równań opartych na drugiej zasadzie dynamiki Newtona. Na przykład w rozdziale Zasady dynamiki Newtona wyznaczyliśmy prędkość ciała ślizgającego się bez tarcia przy użyciu drugiej zasady dynamiki Newtona (poprzez wykorzystanie przyspieszenia ciała w postaci $g$).

gdzie $s$ jest przemieszczeniem.

Możemy to samo zagadnienie rozwiązać przy pomocy zasady zachowania energii. Jako że tylko dwie siły działają na ciało – siła grawitacji oraz siła sprężystości podłoża (która nie wykonuje żadnej pracy), cała praca jest wykonywana przez siłę grawitacji. Zatem:

gdzie $y$ ma wartość dodatnią w przyjętym układzie odniesienia. Praca, zgodnie z zasadą zachowania energii, będzie równa energii kinetycznej nabytej przez ciało:

Z zależności trygonometrycznych mamy: $(y_{\text{końc}}-y_{\text{pocz}})=(s_{\text{końc}}-s_{\text{pocz}})\text{sin}\theta$. Zatem widać, że wyznaczona obydwoma sposobami prędkość jest taka sama.

Co zyskujemy dzięki wykorzystaniu zasady zachowania energii przy rozwiązywaniu zadań? Dla ruchu bez tarcia na płaszczyźnie może niewiele, ale w przypadku kiedy tor ruchu jest krzywą, bądź kiedy działa tarcie, zastosowanie zasady zachowania energii w rozwiązywaniu zadań znacznie upraszcza rachunki. Często zastosowanie równań wynikających z drugiej zasady Newtona może prowadzić do obliczeń matematycznie bardzo skomplikowanych.

Przykład 7.9

„Pętla śmierci”

Zabawkowy samochodzik porusza się bez tarcia po tzw. ”pętli śmierci” o promieniu $R$. Z jakiej wysokości (względem podstawy pętli) musi rozpocząć ruch samochodzik, aby przebyć całą pętlę, nie odrywając się od niej w żadnym jej punkcie?

Ilustracja 7.12 Ruch bez tarcia na tzw. „pętli śmierci”. Na jakiej wysokości musi rozpocząć się ruch, aby ciało nie oderwało się od toru?

Strategia rozwiązania

Na Ilustracji 7.12 oznaczono siły działające na ciało. Jedyną siłą wykonującą pracę w tym układzie jest siła grawitacji – wykonuje ona pracę dodatnią. Z zasady zachowania energii prędkość ciała w punkcie znajdującym się na wysokości 2R będzie zależna od początkowej wysokości:

$$mg\left(y_1-y_2\right)=\frac{1}{2}m{v}_2^2.$$

Zapisując siły działające na ciało w najwyższym punkcie pętli otrzymujemy zależność w postaci:

$$a_{\text{2R}}=\frac{F}{m}=\frac{N+mg}{m}=\frac{v_2^2}{R}.$$

Aby ciało nie oderwało się od toru, musi na nie działać siła o dodatniej wartości $N>0$. Podstawiając $v_2^2$ i $N$ do poprzednio opisanej zależności, otrzymamy rozwiązanie.

Rozwiązanie

Otrzymujemy zależność:

$$N=\frac{-mgR+m{v}_2^2}{R}=\frac{-mgR+2mg\left(y_1-2R\right)}{R}>0⟹y_1>\frac{5}{2}R.$$

Znaczenie

Źródłem siły dośrodkowej pojawiającej się w ruchu ciała w pętli jest siła grawitacji oraz siła reakcji podłoża (toru). Odpowiednia składowa siły grawitacji powoduje spowolnienie bądź przyspieszenie ruchu ciała. Kiedy dziecko bawi się samochodzikami na takim torze, ustala wysokość, z której należy wystartować samochodzik, metodą prób i błędów. My teraz możemy to wyznaczyć za pomocą zasady zachowania energii i to bez wykorzystywania rachunku różniczkowego.

W sytuacji, w której rodzaj ruchu ciała jest znany, ale jedna bądź więcej sił działających na ciało nie ma podanej wartości, możesz wykorzystać zasadę zachowania energii, aby je wyznaczyć. Praca zależy od siły oraz przesunięcia, więc na ich podstawie możemy znaleźć szukane wielkości.

Przykład 7.10

Wyznaczenie siły oporów ruchu

Pocisk kalibru 0,22 LR ma masę 2,60 g i prędkość wylotową 335 m/s. Może on przebić osiem sosnowych desek, których grubość wynosi 1,90 cm. Ile wynosi średnia siła oporów ruchu pocisku (patrz: Ilustracja 7.13)?

Ilustracja 7.13 Opory ruchu spowodowane oddziaływaniem z deską wpływają na energię kinetyczną pocisku.

Strategia rozwiązania

Możemy przyjąć, że opory ruchu działające na pocisk powodują zmianę jego energii kinetycznej odpowiadającej pracy siły oporów ruchu, tj. wartości iloczynu siły oporów ruchu pomnożonej przez odległość, na którą wbił się pocisk. Całkowita grubość układu ośmiu desek będzie równa $8\cdot \mathrm{1,90}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{15,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Rozwiązanie

Wykorzystując zasadę zachowania energii:

$$W_{\text{wyp}}=\text{−}{F}_{\text{śr}}\text{Δ}{s}_{\text{stop}}=\text{−}{E}_{\text{pocz}},$$

więc:

$$F_{\text{śr}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^2}{\mathrm{\Delta }{s}_{\text{stop}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \mathrm{2,6}\cdot {10}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\left(335\mathrm{m}\text{/}\mathrm{s}\right)}^2}{\mathrm{0,152}\mathrm{m}}=960\mathrm{N}.$$

Znaczenie

Moglibyśmy wykorzystać do rozwiązania tego zadania równania wynikające z zasad dynamiki Newtona, ale zastosowanie zasady zachowania energii jest w tym wypadku dużo prostsze. Opis fizyki zderzenia pocisku z drewnianym klockiem można znaleźć w anglojęzycznym artykule Asifa Shakura [“Bullet-Block Science Video Puzzle.” The Physics Teacher (January 2015) 53(1): 15–16]. Jeżeli pocisk jest wystrzelony bezpośrednio w środek klocka, wytraca całą energię kinetyczną i wbija się na większą głębokość niż w przypadku strzału w inne miejsce. Zgodne z zasadą zachowania energii im mniejsza strata energii kinetycznej pocisku, tym mniejsza głębokość, na którą się wbija. Więcej na ten temat dowiesz się z rozdziału Moment siły.