4.1 Fundamentos de las ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función $y = f (x)$ y una o varias de sus derivadas. Una solución es una función $y = f (x)$ que satisface la ecuación diferencial cuando $f$ y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.
El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación.
Una ecuación diferencial acoplada a un valor inicial se denomina problema de valor inicial. Para resolver un problema de valor inicial, primero hay que hallar la solución general de la ecuación diferencial y luego determinar el valor de la constante. Los problemas de valor inicial tienen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería.

4.2 Campos de direcciones y métodos numéricos

Un campo de direcciones es un objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden.
El método de Euler es una técnica numérica que puede utilizarse para aproximar soluciones a una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma $y' = f (x) g (y) .$
El método de separación de variables se utiliza para hallar la solución general de una ecuación diferencial separable.

Cuando se estudian las funciones de la población, diferentes supuestos (como el crecimiento exponencial, el crecimiento logístico o el umbral de población) conducen a diferentes tasas de crecimiento.
La ecuación diferencial logística incorpora el concepto de capacidad de carga. Este valor es un valor límite de la población para un ambiente determinado.
La ecuación diferencial logística puede resolverse para cualquier tasa de crecimiento positiva, población inicial y capacidad de carga.

Cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma $y' + p (x) y = q (x) .$
Podemos utilizar una estrategia de resolución de problemas en cinco pasos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede o no incluir un valor inicial.
Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden incluyen determinar el movimiento de un objeto que se eleva o cae con resistencia del aire y calcular la corriente en un circuito eléctrico.