Repaso del capítulo

Las características de una distribución de probabilidad o función de densidad (PDF) son las siguientes:

1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive (inclusive significa incluir el cero y el uno).
2. La suma de las probabilidades es uno.

La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n objetos únicos para ayudarnos a calcular las probabilidades. La fórmula combinatoria es $\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right) ={}_n{C}_x=\frac{n!}{x!(n–x)!}$

Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:

1. Toma muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
4. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.

Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. $h\left(x\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}A\\ x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N–A\\ n–x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}$.

Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Hay un número fijo de ensayos, n.
2. Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo.
3. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np, y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = $\sqrt{npq}$.

La fórmula de la función de densidad de probabilidad binomial es

Hay tres características de un experimento geométrico:

1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo son iguales para cada ensayo.

En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G(p) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo.

La media de la distribución geométrica X ~ G(p) es μ = $1/p$ donde x = número de ensayos hasta el primer acierto de la fórmula $P(X=x)={(1–p)}^{x–1}p$ donde el número de pruebas es hasta el primer acierto incluido.

Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es:

El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es

La forma más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento.

Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,01) y el número de ensayos es "grande" (mayor o igual a 25). También se sugieren otras reglas generales por parte de diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que n aumenta y p se acerca a cero.

La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

donde P(X) es la probabilidad de éxitos, μ (pronunciado mi) es el número esperado de éxitos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de éxitos por unidad, normalmente por unidad de tiempo.