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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson.

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.

  1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida.
  2. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos.
  3. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Ejemplo 4.12

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Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad.

Ejemplo 4.13

Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión?

Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión.

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a. ¿Cuál es el intervalo de interés?

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b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión?

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c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X?

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d. La pregunta de probabilidad es P(______).

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)

Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo.

La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

P(x)=μxeμx!P(x)=μxeμx!

donde P(X) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo.

Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial.

En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos.

Ejemplo 4.14

El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos?

Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 1 4 hora)

x = 0, 1, 2, 3, ...

Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe

( 1 8 ) ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema.

X ~ P(0,75)

Calcule P(x > 1). P(x > 1) = 0,1734

La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734.

El gráfico de X ~ P(0,75) es:

Este gráfico muestra una distribución de probabilidad de Poisson. Tiene 5 barras que disminuyen en altura de izquierda a derecha. El eje X muestra los valores en incrementos de 1 a partir de 0, que representan el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos. El eje y va de 0 a 0,5 en incrementos de 0,1.
Figura 4.3

El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de llamadas durante 15 minutos.

Ejemplo 4.15

Según una encuesta, un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos al día. Sea X = el número de correos electrónicos que recibe un profesor al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(7). La media es de 7 correos electrónicos.

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  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos al día?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos al día?
  3. ¿Cuál es la desviación típica?

Ejemplo 4.16

Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día.

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  1. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?

Ejemplo 4.17

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El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np, la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq, la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial.

A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal.

Ejemplo 4.18

Una encuesta realizada a 500 estudiantes de último curso de la Price Business School arroja los siguientes datos. El 75 % empieza a trabajar directamente después de graduarse. El 15 % continúa para hacer su Maestría en Administración de Empresas (Master of Business Administration, MBA). El 9 % se queda para obtener un título en una asignatura secundaria en otro programa. El 1 % continúa en una Maestría en Finanzas.

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¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 estudiantes de último año vayan a la escuela de posgrado para hacer una Maestría en Finanzas?

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