Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson.

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.

La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida.
Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos.
La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Ejemplo 4.12

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Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad.

Solución

P(x < 5)

Ejemplo 4.13

Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión?

Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión.

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a. ¿Cuál es el intervalo de interés?

Solución

a. una emisión medida en minutos

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b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión?

Solución

b. 2

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c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X?

Solución

c. Sea X = el número de veces que el reportero de noticias dice “ah" durante una emisión.
x = 0, 1, 2, 3, ...

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d. La pregunta de probabilidad es P(______).

Solución

d. P(x > 2)

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)

Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo.

La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

P (x) = \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!}

donde P(X) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo.

Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial.

En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos.

Ejemplo 4.14

El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos?

Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o $\frac{1}{4}$ hora)

x = 0, 1, 2, 3, ...

Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe

$(\frac{1}{8})$ (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema.

X ~ P(0,75)

Calcule P(x > 1). P(x > 1) = 0,1734

La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734.

El gráfico de X ~ P(0,75) es:

Este gráfico muestra una distribución de probabilidad de Poisson. Tiene 5 barras que disminuyen en altura de izquierda a derecha. El eje X muestra los valores en incrementos de 1 a partir de 0, que representan el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos. El eje y va de 0 a 0,5 en incrementos de 0,1.

Figura 4.3

El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de llamadas durante 15 minutos.

Ejemplo 4.15

Según una encuesta, un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos al día. Sea X = el número de correos electrónicos que recibe un profesor al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(7). La media es de 7 correos electrónicos.

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¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos al día?
¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos al día?
¿Cuál es la desviación típica?

Solución

$P (x = 2) = \frac{μ^{x} e^{–μ}}{x!} = \frac{7^{2} e^{-7}}{2!} = 0,022$
$P (x \leq 2) = \frac{7^{0} e^{-7}}{0!} + \frac{7^{1} e^{-7}}{1!} + \frac{7^{2} e^{-7}}{2!} = 0,029$
Desviación típica = $σ = \sqrt{μ} = \sqrt{7} \approx 2,65$

Ejemplo 4.16

Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día.

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¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora?
¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?

Solución

Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es $\frac{41,5}{24}$ ≈ 1,7292.
$P (x = 2) = \frac{μ^{x} e^{–μ}}{x!} = \frac{{1,729}^{2} e^{-1,729}}{2!} = 0,265$
$P (x > 2) = 1 - P (x \leq 2) = 1 - [\frac{7^{0} e^{-7}}{0!} + \frac{7^{1} e^{-7}}{1!} + \frac{7^{2} e^{-7}}{2!}] = 0,250$

Ejemplo 4.17

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El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Solución

Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja.

Mediante la distribución binomial:

$P (x = 10) = \frac{200!}{10! (200 - 10)!} \times {0,0102}^{10} \times {0,9898}^{190} = 0,000039$

Mediante la distribución de Poisson:

Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04
$P (x = 10) = \frac{μ^{x} e^{–μ}}{x!} = \frac{{2,04}^{10} e^{-2,04}}{10!} = 0,000045$

Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0.

Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np, la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq, la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial.

A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal.

Ejemplo 4.18

Una encuesta realizada a 500 estudiantes de último curso de la Price Business School arroja los siguientes datos. El 75 % empieza a trabajar directamente después de graduarse. El 15 % continúa para hacer su Maestría en Administración de Empresas (Master of Business Administration, MBA). El 9 % se queda para obtener un título en una asignatura secundaria en otro programa. El 1 % continúa en una Maestría en Finanzas.

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¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 estudiantes de último año vayan a la escuela de posgrado para hacer una Maestría en Finanzas?

Solución

Esto es claramente un problema de distribución de probabilidad binomial. Las opciones son binarias cuando definimos los resultados como "Escuela de Postgrado en Finanzas" frente a "todas las demás opciones". La variable aleatoria es discreta y los eventos son, podríamos suponer, independientes. Resolviendo como un problema binomial, tenemos:

Solución binomial

n \cdot p = 500 \cdot 0,01 = 5 = µ

P (0) = \frac{500!}{0! (500 - 0)!} {0,01}^{0} (1 - 0,01)^{500^{-^{0}}} = 0,00657

4.4

P (1) = \frac{500!}{1! (500 - 1)!} {0,01}^{1} (1 - 0,01)^{500^{-^{1}}} = 0,03318

4.5

P (2) = \frac{500!}{2! (500 - 2)!} {0,01}^{2} (1 - 0,01)^{500^{-^{2}}} = 0,08363

4.6

Sumando los 3 = 0,12339

1 - 0,12339 = 0,87661

Aproximación de Poisson

n \cdot p = 500 \cdot 0,01 = 5 = μ

n \cdot p \cdot (1 - p) = 500 \cdot 0,01 \cdot (0,99) \approx 5 = σ^{2} = μ

4.7

P (X) = \frac{e^{−np} (n p)^{x}}{x!} = {P (0) = \frac{e^{−5} \cdot 5^{0}}{0!}} + {P (1) = \frac{e^{−5} \cdot 5^{1}}{1!}} + {P (2) = \frac{e^{−5} \cdot 5^{2}}{2!}}

4.8

0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1247

4.9

1 - 0,1247 = 0,8753

4.10

Una aproximación de 1 milésima es sin duda una aproximación aceptable.

4.4 Distribución de Poisson

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

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Solución

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Solución

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Solución

Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

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Solución