Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

Distribución de probabilidad binomial: una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n, de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La media es μ = np y la desviación típica es σ = $\sqrt{n p q}$ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es
P(X = x) = $(\begin{array}{l} n \\ x \end{array})$ p^xq^{n − x}.

Distribución de probabilidad de Poisson

una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable

La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos.
Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento.

La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. La media es μ = np. La desviación típica es

σ = \sqrt{μ}

. La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r ensayos es

P (x) = \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!}

. La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es "grande" y p es "pequeño" (una regla general es que np debe ser mayor o igual a 25 y p debe ser menor o igual a 0,01).

Distribución geométrica: una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. La media es μ = $\frac{1}{p}$ y la desviación típica es σ = $\sqrt{\frac{1}{p} (\frac{1}{p} - 1)}$ . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P(X = x) = p(1 – p)^{x – 1} donde se quiere conocer la probabilidad para el número de ensayos hasta el primer acierto: el x-ésimo ensayo es el primer acierto
Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es $P (X = x) = p (1 - p)^{x}$
El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es $μ = \frac{1 - p}{p}$
La manera más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento.

Ensayos de Bernoulli

un experimento con las siguientes características:

Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo.
La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo).

Experimento binomial

un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes:

Hay un número fijo de ensayos, n.
Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo.
Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas.

Experimento geométrico

un experimento estadístico con las siguientes propiedades:

Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto.
En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo no cambian de un ensayo a otro.

Experimento hipergeométrico

un experimento estadístico con las siguientes propiedades:

Toma muestras de dos grupos.
Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.

Función de distribución de probabilidad (PDF): una descripción matemática de una variable aleatoria (RV) discreta, dada en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

Probabilidad hipergeométrica

una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por:

Un número fijo de ensayos.
La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro.

Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos.

Variable aleatoria (RV)

una característica de interés en una población que se estudia; la notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X, Y, Z,...; la notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x, y, z. Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3,.... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes.

El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}.
Podemos saber qué valor específico x toma la variable aleatoria X solo después de realizar el experimento.

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