La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso, el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso, en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico.
- Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR.
- En teoría, el número de pruebas podría ser eterno.
- La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es = 0,0804
- X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto.
Ejemplo 4.5
Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P(x = 5).
Inténtelo 4.5
Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X?
Ejemplo 4.6
Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados?
Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P(x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”).
Inténtelo 4.6
Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente?
Ejemplo 4.7
Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas?
Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de éxito es aproximadamente la misma cada vez que pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante).
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a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí.
Solución
a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí
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b. ¿Qué valores toma X?
Solución
b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes)
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c. ¿Qué son p y q?
Solución
c. p = 0,55; q = 0,45
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d. La pregunta de probabilidad es P(_______).
Solución
d. P(x = 4)
Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica
X ~ G(p)
Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica”. El parámetro es p; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo.
La pdf geométrica nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de acierto requiera x número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de acierto p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que el ensayo xésimo (de x ensayos) sea el primer acierto es:
para x = 1, 2, 3, ....
El valor esperado de X, la media de esta distribución, es 1/p. Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta obtener el primer acierto incluido en el recuento el ensayo que resulta en acierto. La forma anterior de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer acierto. El número de ensayos incluye el que es un acierto: x = todos los ensayos, incluido el que es un acierto. Esto se puede ver en la composición de la fórmula. Si X = número de ensayos incluido el acierto, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso, (1-p), por el número de fracasos, es decir, X-1.
Por el contrario, la siguiente forma de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de fallos hasta el primer éxito:
para x = 0, 1, 2, 3, ....
En este caso el ensayo que es un éxito no se cuenta como un ensayo en la fórmula: x = número de fracasos. El valor esperado, la media, de esta distribución es . Esto nos indica cuántos fracasos debemos esperar antes de tener un acierto. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.
Ejemplo 4.8
Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso?
Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto.
X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02)
Calcule P(x = 7). Respuesta: P(x = 7) = (1 – 0,02)7-1 × 0,02 = 0,0177.
La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177.
El gráfico de X ~ G(0,02) es:
El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de componentes informáticos probados. Observe que las probabilidades disminuyen en un incremento común. Este incremento es la misma proporción entre cada número y se llama progresión geométrica y de ahí el nombre de esta función de densidad de probabilidad.
El número de componentes que se espera probar hasta encontrar el primer componente defectuoso es la media, .
La fórmula de la media de la variable aleatoria definida como el número de fallos hasta el primer acierto es μ = = = 50
Vea el Ejemplo 4.9 para un ejemplo en el que la variable aleatoria geométrica se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. El valor esperado de esta fórmula para la geométrica será diferente de esta versión de la distribución.
La fórmula de la varianza es σ2 = = = 2.450
La desviación típica es σ = = = 49,5
Ejemplo 4.9
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El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas. La variable aleatoria X, en este caso, incluye solo el número de ensayos que fueron un fracaso y no cuenta el ensayo que fue un acierto para hallar una persona que tuviera la enfermedad. La fórmula adecuada para esta variable aleatoria es la segunda presentada anteriormente. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G o X ~ G(0,0128).
- ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a 9 personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? Esto es preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que pregunte a 9 personas sin acierto y la décima persona sea un acierto?
- ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas?
- Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
Solución
- P(x = 9) = (1 – 0,0128)9 · 0,0128 = 0,0114
- P(x = 20) = (1 – 0,0128)19 · 0,0128 =0,01
-
- Media = μ =
- Desviación típica = σ = = ≈ 77,62
Inténtelo 4.9
La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en las Colonias Unidas de la Independencia era del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir.
- ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?
- ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir?
- ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres?
Ejemplo 4.10
Un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 0,320. Esta es la probabilidad general de que consiga un batazo imparable cada vez que esté al bate.
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¿Cuál es la probabilidad de que consiga su primer batazo imparable en el tercer chance al bate?
Solución
P (x=3) = (1-0,32)3-1 × 0,32 = 0,1480
En este caso, la secuencia es de fracaso, acierto, fracaso.
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¿Cuántos turnos de bateo espera que necesite el bateador antes de conseguir un batazo imparable?
Solución
Es simplemente el valor esperado de los aciertos y, por tanto, la media de la distribución.
Ejemplo 4.11
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Hay un 80 % de posibilidades de que un perro dálmata tenga 13 manchas negras. Vas a una exposición canina y cuentas las manchas de los dálmatas. ¿Cuál es la probabilidad de que revise las manchas de 3 perros antes de encontrar uno que tenga 13 manchas negras?
Solución
P(x=3) = (1 – 0,80)3 × 0,80 = 0,0064