Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las grabaciones musicales en CD.
Fórmula binomial
donde b(x) es la probabilidad de X aciertos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER ENSAYO es p. Y, por supuesto, q=(1-p) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo.
Ahora podemos ver por qué la fórmula combinatoria se llama también coeficiente binomial, ya que vuelve a aparecer aquí en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Lanzar una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento no depende de lo que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. (En este momento hay que señalar que utilizar p para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de la población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto se utiliza θ (pronunciado theta) en lugar de p y así es como debe ser.
Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación típica que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial vienen dadas por las fórmulas:
Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. La distribución binomial se considera, pues, de la familia de las distribuciones de probabilidad de un parámetro. En resumen, sabemos todo lo que hay que saber sobre la binomial una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo.
En la teoría de la probabilidad, en determinadas circunstancias, una distribución de probabilidad puede utilizarse para aproximar otra. Decimos que una es la distribución límite de la otra. Si hay que extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, podemos utilizar la binomial, aunque no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo se viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos utilizar la binomial para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si extraemos menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula de la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al extraer un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de un sorteo a otro de forma significativa. Imagine que saca una carta no de una baraja de 52 cartas, sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de sacar un as, por ejemplo, no cambia la probabilidad condicional de lo que ocurre en una segunda extracción de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 que hay ahora para sacar. Esta capacidad de utilizar una distribución de probabilidad para estimar otras será muy valiosa para nosotros más adelante.
Hay tres características de un experimento binomial
- Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos.
- La variable aleatoria, , número de aciertos, es discreta.
- Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, y q la probabilidad de fracaso en un ensayo cualquiera. p + q = 1.
- Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Piense en esto como una extracción CON reemplazo. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto (p = 0,6) y su probabilidad de fallo (q = 0,4) siguen siendo las mismas.
Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes.
La media, μ, y la varianza, σ2, de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ2 = npq. La desviación típica, σ, es entonces σ = .
Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli.
Ejemplo 4.2
Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P(x = 15).
Inténtelo 4.2
Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Calcule la P(X=12) utilizando la pdf binomial.
Ejemplo 4.3
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Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática.
Solución
P(x > 10)
Ejemplo 4.4
Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar.
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a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo.
Solución
a. fracaso
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b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X?
Solución
b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo
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c. ¿Qué valores toma x?
Solución
c. 0, 1, 2, …, 50
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d. ¿Qué es un “fallo” en palabras?
Solución
d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo.
La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50
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e. Si p + q = 1, ¿qué es q?
Solución
e. q = 0,30
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f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P(x ____ 40)?
Solución
f. mayor o igual que (≥)
La pregunta de probabilidad es P(x ≥ 40).
Inténtelo 4.4
El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial.
Inténtelo 4.4
Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos.
- ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?
- Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
- Calcule la probabilidad de que DeAndre anote con 60 de estos tiros.
- Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros.