William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

9.1 Pęd

18.

Słoń kontra myśliwy

Rysunek przedstawia słonia po lewej stronie i myśliwego po prawej stronie rysunku. Oznaczono układ współrzędnych xy, z dodatnią półosią x skierowaną poziomo w prawo i dodatnią półosią y skierowaną pionowo w górę. Słoń opisany jest danymi: m S = 2000 kg i v s = 7,5 m/s. Wektor prędkości słonia skierowany jest w prawo. Myśliwy opisany jest danymi: m m = 90 kg i v m = 7,4 m/s. Wektor prędkości myśliwego skierowany jest również w prawo. Pomiędzy myśliwym i słoniem narysowano poruszającą się w lewo lotkę ze środkiem usypiającym, której masa m l wynosi 0,04 kg, a prędkość v l = 600 m/s.

Oblicz pęd słonia o masie 2 ton pędzącego w kierunku myśliwego z prędkością $v_{s} = 7,5 m / s$ .
Oblicz stosunek pędu słonia do pędu lotki ze środkiem usypiającym, jeżeli masa tejże lotki wynosi $m_{p} = 0,04 k g$ , a prędkość $v_{p} = 600 m / s$ .
Jaki jest pęd myśliwego o masie 90 kg biegnącego z prędkością $7,4 m / s$ ?

19.

Łyżwiarka o masie 40 kg porusza się bez tarcia z prędkością 5 m/s względem ziemi, trzymając w rękach pudełko o masie 5 kg.

Wyznacz pęd pudełka względem ziemi.
Wyznacz pęd pudełka względem ziemi, gdy łyżwiarka położy je w czasie jazdy na gładkim lodzie.

20.

Samochód o masie 2000 kg jedzie na wschód ze stałą prędkością 10 m/s. Jaki jest pęd samochodu?

21.

Masa Ziemi wynosi $5,97 \cdot 10^{24} k g$ , a średni promień orbity wokół Słońca jest równy $1,5 \cdot 10^{11} m$ . Oblicz średni pęd Ziemi.

Ilustracja orbity Ziemi wokół Słońca. Masa Ziemi dana jest jako 5,97 razy 10 do 24 kilograma, a promień orbity oznaczono jako R Z i wynosi 1,5 razy 10 do 11 metra.

22.

Ilość opadów podczas ulewnego deszczu w ciągu 1 godziny na powierzchnię $10 k m^{2}$ wynosiła 1 cm. Jaki pęd można przypisać masie deszczu, który spadł w ciągu jednej sekundy tej ulewy? Przyjmij wartość końcową prędkości kropli deszczu jako 10 m/s.

23.

Jaka jest średnia wartość pędu lawiny niosącej warstwę śniegu o grubości 40 cm z powierzchni $100 m \times 500 m$ , na odległość równą 1 km, w czasie 5,5 s? Przyjmij gęstość masy śniegowej równą $350 k g / m^{3}$ .

24.

Jaka jest średnia wartość pędu sprintera o masie 70 kg, który przebiegł dystans 100 m w czasie 9,65 s?

9.2 Popęd siły i zderzenia

25.

Człowiek o masie 75 kg jadący samochodem z prędkością 20 m/s wjeżdża w przyczółek mostu (rysunek).

Rysunek przedstawia samochód tuż przed wjazdem na most. Prędkość samochodu oznaczono strzałką skierowaną w prawo i opisaną jako v0 = 20 m/s z wersorem „i” z daszkiem.

Oblicz średnią siłę działającą na człowieka, kiedy uderza on w deskę rozdzielczą, która ulega wgnieceniu na głębokość 1 cm.
Oblicz średnią siłę działającą na człowieka, kiedy uderza w poduszkę powietrzną, która ulega wgnieceniu na głębokość 15 cm.

26.

Z podróżami w przestrzeń kosmiczną wiąże się wielkie ryzyko zderzenia z tzw. śmieciami kosmicznymi, czyli odpadkami dawnych obiektów wprowadzonych na orbitę. Szacuje się, że kilka tysięcy takich śmieci jest na tyle dużych, by mógł wykryć je radar, natomiast olbrzymią część stanowią bardzo małe obiekty, takich jak np. lecące z ogromną prędkością płatki farby. Jaką siłę wywiera taki płatek o masie 0,1 mg, gdy uderza w okno rakiety ze względną prędkością 4 km/s? Przyjmij, że zderzenie trwa 60 ns.

27.

Wycieczkowiec o masie $10^{7} k g$ uderza w molo z prędkością 0,750 m/s i zatrzymuje się po przebyciu drogi równej 6 m (rujnując statek, molo i stan portfela kapitana holownika, odpowiedzialnego za pilotowanie do portu). Korzystając z reguły pędu i popędu oblicz średnią siłę uderzenia w molo. (Wskazówka: oblicz najpierw czas potrzebny do zatrzymania statku przy założeniu stałej wartości siły hamującej).

Ilustracja przedstawia wycieczkowiec uderzający o molo. Statek porusza się z prędkością v0 = 0,75 m/s, skierowaną w prawo.

28.

Oblicz końcową prędkość zawodnika rugby ważącego 110 kg, który biegnąc z prędkością początkową równą 8,0 m/s, zderza się czołowo ze słupkiem bramki i doznaje działania siły hamującej o wartości $1,76 \cdot 10^{4} N$ w czasie 55 ms.

29.

Strumień wody o natężeniu 50 kg/s, wydostający się z prędkością 42 m/s ze skierowanego poziomo węża strażackiego, skierowano na pionową ścianę. Oblicz siłę wywieraną na ścianę, zakładając, że wskutek zderzenia składowa pozioma pędu zostaje zredukowana do zera.

30.

Młotek o masie 0,45 kg uderza w gwóźdź z prędkością 7 m/s, skierowaną poziomo. Młotek wytraca prędkość do zera, a gwóźdź zostaje wbity w deskę na głębokość 1 cm. Przyjmując, że przyspieszenie układu młotek-gwóźdź jest stałe:

Oblicz czas trwania zderzenia.
Oblicz średnią siłę działającą na gwóźdź.

31.

Jaki jest pęd (wyrażony jako funkcja czasu) ciała o masie 5 kg, poruszającego się z prędkością $\vec{v} (t) = (2 \cdot \hat{i} + 4 t \cdot \hat{j}) m / s$ ? Jaka siła wypadkowa działa na to ciało?

32.

Na rysunku przedstawiono zależność od czasu składowej poziomej siły działającej na piłkę golfową o masie 46 g.

Wykres ilustrujący zachowanie składowej Fx siły (na osi pionowej w niutonach) w funkcji czasu (na osi poziomej w milisekundach). Oś pozioma opisana jest w zakresie od 0 do 100, a oś pionowa od 0 do 30. Przebieg funkcji zaczyna się w punkcie 0,0 i rośnie liniowo do wartości 30N w czasie 50ms. Następnie pozostaje stały na poziomie 30 N do wartości czasu 100 ms, a przy 100 ms maleje pionowo do zera.

Wyznacz składową x popędu siły dla przedziałów czasu:
1. $⟨ 0 m s, 50 m s ⟩,$
2. $⟨ 50 m s, 100 m s ⟩ .$
Wyznacz składową x zmiany pędu piłki dla przedziałów czasu:
1. $⟨ 0 m s, 50 m s ⟩,$
2. $⟨ 50 m s, 100 m s ⟩ .$

33.

Krążek hokejowy o masie 150 g ślizga się bez tarcia po płaskim stole w kierunku $+ x$ z prędkością 10 m/s. Nagle, w ciągu 1,5 s, uderzono w niego siłą o wartości 5 N skierowaną prostopadle do kierunku ruchu (wzdłuż stołu - kierunek $+ y$ ). Znajdź składowe oraz zmianę pędu tuż po uderzeniu.

34.

Piłka o masie 250 g została rzucona z prędkością początkową 25 m/s pod kątem $30^{\circ}$ do poziomu. Pomijając opory ruchu, wyznacz pęd piłki po czasie równym 0,2 s. (Wskazówka: znajdź najpierw składowe pędu i przeanalizuj ich zachowanie w obecności siły ciężkości działającej na piłkę podczas lotu).

Rysunek przedstawia piłkę bejsbolową z zaznaczonym wektorem prędkości skierowanym ukośnie w górę, opisano kąt między wektorem a linią poziomą wynoszący 30 stopni. Nad wektorem prędkości napisano: v0 = 25 m/s.

9.3 Zasada zachowania pędu

35.

Łączenie wagonów kolejowych w skład pociągu polega na ich kontrolowanym zderzaniu na wspólnym torze. Dwa wagony, pierwszy o masie $1,5 \cdot 10^{5} k g$ i prędkości ${\vec{v}}_{1} = 0,3 m / s \cdot \hat{i}$ , oraz drugi o masie $1,1 \cdot 10^{5} k g$ i prędkości ${\vec{v}}_{2} = - 0,12 m / s \cdot \hat{i}$ – złączono ze sobą. Wyznacz prędkość wagonów po złączeniu.

Dwa wagony na jednym torze poruszają się z prędkościami, skierowanymi wzajemnie na siebie. Wagon po lewej stronie ma prędkość v1 = 0,3 m/s skierowaną w prawo, wagon z prawej strony rysunku ma prędkość v2= -0,12 m/s, skierowaną w lewo.

36.

Dwa jednakowe krążki hokejowe zderzają się sprężyście na lodowisku. Krążek pierwszy jest początkowo w spoczynku, a krążek drugi posiada prędkość początkową 6 m/s skierowaną w lewo. Po zderzeniu krążek niebieski zmienia kierunek ruchu i oddala się pod kątem $30^{\circ}$ względem pierwotnego kierunku ruchu. Jaka jest prędkość krążka pierwszego po zderzeniu?

37.

Poniższy rysunek przedstawia pocisk o masie 200 g lecący poziomo z prędkością 400 m/s i wbijający się w blok o masie 1,5 kg, pozostający początkowo w spoczynku na gładkim blacie.

Rysunek przedstawia postawiony na stole blok prostopadłościenny oraz nadlatujący w jego kierunku z lewej strony pocisk.

Po uderzeniu w blok pocisk utkwił w nim i wraz z blokiem przemieszczał się po blacie.

Jaka jest wartość i kierunek prędkości układu „blok plus pocisk” po zderzeniu?
Jaka jest wartość i kierunek wektora impulsu, który blok wywiera na pocisk?
Jaka jest wartość i kierunek wektora impulsu, jaki pocisk wywiera na blok?
Jeżeli na zmianę prędkości pocisku z 400 m/s do końcowej prędkości wspólnego ruchu potrzeba 3 ms – jaka jest średnia wartość siły wzajemnego oddziaływania pocisku i bloku?

38.

Dziecko o masie 20 kg, jadące w wagoniku o masie 4,0 kg z prędkością 3,3 m/s, upuszcza piłkę o masie 1,0 kg. Jaka będzie prędkość dziecka i wagonika po wyrzuceniu piłki?

39.

Maszyna do kładzenia nawierzchni drogowej o masie własnej 4 ton załadowana jest żwirem o masie 1000 kg i porusza się z prędkością 2,5 m/s wyrzucając ładunek z prędkością 0,5 m/s. Jaka będzie prędkość maszyny, gdy zrzuci ona nagle ładunek na naprawianą drogę?

40.

Wyjaśnij zjawisko odrzutu armaty po wystrzeleniu kuli armatniej.

41.

Para łyżwiarska jedzie w tym samym kierunku, przy czym łyżwiarka jedzie z przodu partnera z prędkością 5,5 m/s, a łyżwiarz za nią z prędkością 6,2 m/s. Gdy łyżwiarz dogania łyżwiarkę, podnosi ją, działając wyłącznie siłą skierowaną pionowo. Przyjmując, że jest on o połowę cięższy od partnerki (ważącej 50 kg), oblicz ich wspólną prędkość.

42.

Dwutonowy wagon towarowy przejeżdża z prędkością 4,4 m/s pod pasem transmisyjnym, wsypującym ziarno bezpośrednio do wagonu. Jaką maksymalną masę ładunku można załadować do wagonu, aby prędkość jego ruchu nie spadła poniżej 3 m/s?

9.4 Rodzaje zderzeń

43.

Kula do kręgli o masie 5,5 kg toczy się z prędkością 9 m/s i uderza w kręgiel o masie 0,85 kg. Kręgiel odskakuje pod pewnym kątem względem kierunku początkowego kuli z prędkością 15 m/s.

Oblicz wartość i kierunek prędkości kuli po zderzeniu.
Czy zderzenie było sprężyste?

44.

Ernest Rutherford (pierwszy Nowozelandczyk uhonorowany nagrodą Nobla w dziedzinie chemii) wykazał w swoim eksperymencie rozpraszania cząstek alfa (He-4) na folii złota (Au-197), że jądro atomowe jest obiektem o bardzo dużej gęstości i rozmiarach ok. 100 tysięcy razy mniejszych niż sam atom. Energia nadlatującej cząstki alfa wynosi $8,00 \cdot 10^{- 13} J$ , masy jądra helu i złota wynoszą odpowiednio $6,68 \cdot 10^{- 27} k g$ i $3,29 \cdot 10^{- 25} k g$ (zwróć uwagę, że ich stosunek jest jak 4 do 197).

a. Jeżeli jądro helu rozprasza się pod kątem $120^{\circ}$ w zderzeniu sprężystym z jądrem złota, oblicz wartość i kierunek końcowej prędkości jądra złota.

Cząstka alfa (jądro helu zwierające 2 protony i 2 neutrony) leci w prawo z prędkością v0 w kierunku jadra atomu złota. Tor ruchu cząstki po zderzeniu tworzy z kierunkiem początkowym kąt 120 stopni.

b. Jaka jest końcowa energia jądra helu?

45.

Hokeista o masie 90 kg uderza w krążek o masie 0,15 kg, nadając mu prędkość 45 m/s. Jeżeli hokeista i krążek znajdują się początkowo w spoczynku na idealnie gładkim lodzie, jak daleko przesunie się hokeista na skutek odrzutu, w czasie gdy krążek dolatuje do bramki znajdującej się w odległości 15 m od miejsca uderzenia?

46.

Petarda o masie 100 g, wystrzelona pionowo do góry, w najwyższym punkcie lotu rozdziela się na dwie części. Jaka jest prędkość (wartość i kierunek) drugiego fragmentu petardy, jeżeli jeden fragment o masie 72 g został odstrzelony poziomo w lewo z prędkością 20 m/s?

47.

W zderzeniu sprężystym samochodzik elektryczny w wesołym miasteczku uderza od tyłu w jadący w tym samym kierunku inny samochodzik. Masy obu autek wynoszą 400 kg, prędkość uderzonego samochodziku wynosi 5,6 m/s, a prędkość samochodziku uderzającego 6 m/s. Zakładając, że masy kierujących są dużo mniejsze niż masy pojazdów, oblicz ich prędkości po zderzeniu.

48.

Wykonaj obliczenia i odpowiedz na pytania z poprzedniego zadania, jeśli masa auta uderzonego jest o 30% większa niż uderzającego.

49.

Cząstka alfa (He-4) zderza się sprężyście ze spoczywającym jądrem uranu U-235. Jaki procent energii kinetycznej cząstki alfa zostanie przekazany jądru ciężkiemu? Zagadnienie traktujemy jako jednowymiarowe.

50.

Wyobraź sobie, że stoisz na bardzo śliskim podłożu i wyrzucasz przed siebie piłkę o masie 1 kg poziomo z prędkością 6,7 m/s. Jaka będzie twoja prędkość po wyrzuceniu piłki (przyjmij swoją masę rzeczywistą lub średnią masę studenta równą 65 kg)?

51.

Dziecko o masie 35 kg zjeżdża z górki na sankach, a następnie po płaskim torze, gdy na sanki wskakuje drugie dziecko o takiej samej masie. Jeżeli prędkość sanek z jednym dzieckiem wynosiła 3,5 m/s, jaka jest prędkość sanek z dwójką dzieci?

52.

Chłopiec zjeżdża na sankach ze wzniesienia, a następnie wjeżdża na zmrożoną taflę jeziora. Na środku jeziora znajduje się zaspa śniegu o masie 1 tony, którą pędzący na sankach chłopiec przebija i porusza się dalej. Wiedząc, że prędkość chłopca przed zderzeniem wynosiła 10 m/s, jego masa jest równa 40 kg, a masa sanek 2,5 kg, oblicz prędkość chłopca z sankami oraz zaspy po zderzeniu.

9.5 Zderzenia w wielu wymiarach

53.

Jastrząb o masie 1,80 kg nurkuje w powietrzu pod kątem $35^{\circ}$ do poziomu w kierunku lecącego poziomo gołębia o masie 0,65 kg i chwyta go w locie. Jaka będzie wartość i kierunek ich wspólnej prędkości, jeżeli prędkość gołębia wynosiła 7 m/s, a prędkość jastrzębia 28 m/s? Źródło: “jastrząb”: zmodyfikowano przez: “USFWS Mountain-Prairie”/Flickr; Źródło:“gołąb”: zmodyfikowano przez: Jacob Spinks.

Na rysunku pokazano jastrzębia lecącego w kierunku gołębia. Prędkość lotu jastrzębia w prawo i w dół, tworzy kąt 350 z poziomem i opisana jest jako: wektor v1 i = 28m/s v1 i z daszkiem. Gołąb porusza się w prawo z prędkością: wektor v2 i = 7m/s i z daszkiem.

54.

Kula bilardowa oznaczona numerem 1, poruszająca się w kierunku poziomym uderza w kulę o takiej samej masie, oznaczoną numerem 2, pozostającą w stanie spoczynku. Prędkość kuli 1 przed zderzeniem wynosi 3,00 m/s, a po zderzeniu 0,50 m/s i skierowana jest pod kątem 50° względem pierwotnego kierunku ruchu. Przyjmując, że każda z kul ma masę równą 300 g, ustal jaka będzie prędkość kuli 2 po zderzeniu.

55.

Pocisk o masie 2 kg wystrzelono w powietrze pod kątem $40^{\circ}$ do poziomu z prędkością 50 m/s. W najwyższym punkcie lotu pocisk rozrywa się na trzy części o masach 1 kg, 0,7 kg i 0,3 kg. Odłamek o masie 1 kg bezpośrednio po rozpadzie spada pionowo w dół z prędkością 10 m/s, fragment o masie 0,7 kg kontynuuje lot poziomy, natomiast fragment o masie 0,3 kg odskakuje w górę.

Wystrzelony pocisk posiada prędkość v0 = 50 m/s skierowaną pod kątem 400 do poziomu. W najwyższym punkcie lotu pocisk skierowany jest w prawo i jego prędkość wynosi v0x „i” z daszkiem. Na skutek wybuchu pocisk rozpada się na 3 fragmenty. Fragment M1 = 1kg ma prędkość minus 10m/s „j” z daszkiem, skierowaną pionowo w dół. Fragment M2 = 0,7kg ma prędkość v2 „i” z daszkiem, skierowaną poziomo w prawo. Fragment M3 = 0,3kg posiada prędkość v3 „j” z daszkiem skierowaną pionowo w górę.

Wyznacz prędkości odłamków o masach 0,3 kg i 0,7 kg bezpośrednio po rozpadzie.
Jak wysoko od miejsca rozpadu doleci najlżejszy odłamek?
Jak daleko od miejsca wystrzału doleci odłamek o masie 0,7 kg?

56.

Dwie asteroidy zderzają się i spajają na skutek zderzenia. Pierwsza miała masę 15 ton i prędkość 770 m/s, a druga – 20 ton i 1020 m/s. Kierunki ich prędkości tworzyły kąt 20°. Jaka będzie ich wspólna prędkość po zderzeniu względem prędkości początkowej pierwszej asteroidy?

57.

Rakieta kosmiczna o masie 200 kg leci z prędkością $121 m / s \cdot \hat{i} + 38,0 m / s \cdot \hat{j}$ . Nagle rozpada się na trzy elementy, z których pierwszy (78 kg) leci z prędkością $- 321 m / s \cdot \hat{i} + 228 m / s \cdot \hat{j}$ , a drugi (56 kg) z prędkością $16,0 m / s \cdot \hat{i} - 88,0 m / s \cdot \hat{j}$ . Oblicz prędkość trzeciego elementu.

58.

Proton lecący z prędkością $3 \cdot 10^{6} m / s$ rozprasza się sprężyście na spoczywającej cząstce alfa, tak że tor jego ruchu ulega odchyleniu o 85° względem pierwotnego biegu. Przyjmując, że masa cząstki alfa jest 4 razy większa od masy protonu, oblicz, jaki procent energii kinetycznej zachowa proton po zderzeniu.

59.

Trzy renifery o masie 70 kg każdy stoją na wielkiej krze unoszącej się na powierzchni spokojnego jeziora. Pod wpływem huku wystrzału rozbiegają się z prędkościami:
A: $15 m / s \cdot \hat{i} + 5 m / s \cdot \hat{j}$ ;
B: $- 12 m / s \cdot \hat{i} + 8 m / s \cdot \hat{j}$ ;
C: $1,2 m / s \cdot \hat{i} - 18 m / s \cdot \hat{j}$ .
Z jaką prędkością porusza się kra?

60.

Rodzina wybrała się na lodowisko. Tata (o masie 75 kg) jedzie z prędkością 8,2 m/s, dogania i chwyta mamę o masie 50 kg, jadącą początkowo z prędkością 3,3 m/s pod kątem $45^{\circ}$ względem prędkości taty. Następnie oboje chwytają stojącą spokojnie córkę o masie 30 kg i poruszają się razem. Jaka jest ich wspólna prędkość?

61.

Atom tlenu o masie 16 u porusza się z prędkością 733 m/s pod kątem $15^{\circ}$ względem osi $x$ i zderza się niesprężyście z cząsteczką tlenu o masie 32 u, poruszającą się z prędkością 528 m/s pod kątem $128^{\circ}$ do osi $x$ . Po ich złączeniu się powstaje cząsteczka ozonu. Jaka będzie jej prędkość?

62.

Dwa samochody dojeżdżają do oblodzonego skrzyżowania dwóch prostopadłych ulic. Samochód A jedzie na północ z prędkością 30 m/s, a samochód B na wschód. Na skrzyżowaniu dochodzi do ich zderzenia i złączenia, wskutek czego poruszają się one razem wzdłuż azymutu $28^{\circ}$ . Jaka była prędkość samochodu B?

9.6 Środek masy

63.

Trzy masy punktowe umieszczono w wierzchołkach trójkąta, jak pokazuje rysunek poniżej.

Układ trzech mas w wierzchołkach trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 4 cm i 3 cm. W wierzchołku kąta prostego umieszczono masę 150 g, na końcu boku 4 cm – masę 100 g, a na końcu odcinka 3 cm – masę 75 g.

Wyznacz położenie środka masy układu.

64.

Dwie cząstki o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ , znajdujące się początkowo w odległości poziomej $D$ od siebie, upuszczono z wysokości $h$ w tym samym czasie. Wyznacz pionową współrzędną środka masy dwóch spadających cząstek, zanim jeszcze uderzą w ziemię. Załóż, że nie ma oporu powietrza.

65.

Dwie cząstki o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ , znajdujące się początkowo w odległości poziomej $D$ od siebie, upuszczono z wysokości $h$ w ziemskim polu grawitacyjnym: cząstkę 1 w chwili $t = 0$ , a cząstkę drugą w chwili $t = T$ . Wyznacz pionową współrzędną środka masy układu w chwili, gdy pierwsza cząstka dotknie powierzchni ziemi. Opory ruchu pomijamy.

66.

Dwie cząstki o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ poruszają się jednostajnie po okręgach o promieniach $R_{1}$ i $R_{2}$ , wokół środka układu współrzędnych $x$ , $y$ . Współrzędne środka masy oraz współrzędne pierwszej cząstki zmieniają się w czasie zgodnie z równaniami, w których długość podano w metrach, a czas w sekundach:
$x_{1} (t) = 4 \cos (2 t)$ , $y_{1} (t) = 4 \sin (2 t)$ ;
$x_{ŚM} (t) = 3 \cos (2 t)$ , $y_{ŚM} (t) = 3 \sin (2 t)$ .

Jaki jest promień okręgu pierwszej cząstki?
Jakie są współrzędne $x$ i $y$ cząstki drugiej oraz promień jej okręgu?

67.

Dwie cząstki o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ poruszają się jednostajnie po okręgach o promieniach $R_{1}$ i $R_{2}$ , wokół środka układu współrzędnych $x$ , $y$ . Współrzędne obu cząstek zmieniają się w czasie zgodnie z równaniami, w których długość podano w metrach, a czas w sekundach (współrzędna z dla obu cząstek wynosi zero): $x_1 \apply (t) = 4 \cos (2t)$ , $y_1 \apply (t) = 4 \sin (2t)$ oraz $x_2 \apply (t) = 2 \cos (3t - \pi /2)$ , $y_2 \apply (t) = 2 \sin (3t - \pi /2)$ .

Jakie są promienie okręgów obu cząstek?
Jakie są współrzędne $x$ i $y$ środka masy układu?
Ustal, czy środek masy porusza się po okręgu; jeśli tak, wyznacz jego trajektorię.

68.

Wyznacz środek masy pręta o długości 1 m powstałego przez złączenie 0,5 m pręta żelaznego (gęstość żelaza $8 g / c m^{3}$ ) i 0,5 m pręta z aluminium (gęstość aluminium $2,7 g / c m^{3}$ ).

69.

Wyznacz środek masy pręta o długości $L$ , którego gęstość zmienia się od jednego końca do drugiego zgodnie z zależnością: $ρ (x) = ρ_{0} + (ρ_{1} - ρ_{0}) {(x / L)}^{2}$ , gdzie $ρ_{0}$ i $ρ_{1}$ są stałymi.

70.

Wyznacz środek masy prostokątnej płyty o długości $a$ i szerokości $b$ , której gęstość rośnie liniowo wraz ze współrzędną $x$ (wzdłuż boku $a$ ), tzn. $ρ (x, y) = ρ_{0} x$ , gdzie $ρ_{0}$ jest stałą.

71.

Wyznacz środek masy prostokątnej płyty o długości $a$ i szerokości $b$ , wykonanej z materiału o zmiennej gęstości. Gęstość rośnie liniowo wraz ze współrzędną $x$ (wzdłuż boku $a$ ) i $y$ (wzdłuż boku $b$ ), tzn. $ρ (x, y) = ρ_{0} x y$ , gdzie $ρ_{0}$ jest stałą.

72.

Z sześcianu o boku $b$ odcięto narożnik o boku $a$ , jak pokazuje rysunek poniżej:

Z dużej kostki sześciennej o boku b wycięto lewy dolny narożnik w formie małej kostki sześciennej o boku a.

Wyznacz współrzędne środka masy tej bryły (Podpowiedź: wyobraź sobie ubytek jako masę małego sześcianu, wziętą z ujemnym znakiem z dodatniej masy dużego sześcianu).

73.

Wyznacz środek masy stożka jednorodnego o promieniu podstawy $R$ , wysokości $h$ i masie $M$ . Niech początek układu współrzędnych znajduje się w środku podstawy, a oś $z$ jest osią symetrii stożka.

74.

Wyznacz środek masy cienkiego drutu o masie $m$ i długości $L$ zgiętego w kształt półokręgu. Niech układ współrzędnych będzie osadzony w środku półokręgu, a oś $y$ będzie osią symetrii ciała.

75.

Wyznacz środek masy płaskiej cienkiej, płyty w kształcie półokręgu o promieniu $R$ . Osadź układ współrzędnych w środku półokręgu, tak by płaszczyzna $x y$ pokrywała się z płaszczyzną płyty, a oś $y$ była jej osią symetrii.

76.

Wyznacz środek masy układu brył pokazanych na rysunku. Masa i promień kuli: $M$ , $R;$ masa, promień i wysokość walca: $m$ , $r$ , $h$ . Układ współrzędnych osadź w środku walca.

Na rysunku a kula spoczywa na pionowo stojącym walcu. Na rysunku b kula spoczywa na środku pobocznicy walca położonego poziomo.

9.7 Napęd rakietowy

77.

Kałamarnica o masie 5 kg, będąca początkowo w spoczynku, wyrzuca z siebie 0,25 kg wody z prędkością 10 m/s.

Jaka będzie prędkość odrzutu kałamarnicy, jeśli czas trwania wyrzutu wody wynosił 0,1 s a siła oporów ruchu wynosi 5 N?
Ile energii zużyła kałamarnica, aby pokonać siłę oporów ruchu?

78.

Rakieta startuje z powierzchni Ziemi i osiąga prędkość 100 m/s w czasie 10 s. Przyjmując, że prędkość wylotu gazów jest równa 1500 m/s, a masa spalonego paliwa wynosi 100 kg, oblicz początkową masę rakiety.

79.

Przeprowadź analizę jak w poprzednim zadaniu, przyjmując jednak, że rakieta startuje ze stacji kosmicznej, gdzie nie ma wpływu grawitacji (pomijając niewielką grawitację, której źródłem jest sama stacja).

80.

Ile paliwa potrzeba dla rakiety o masie własnej 1000 kg, aby wystartować z powierzchni Ziemi i osiągnąć prędkość 1000 m/s w ciągu 30 s? Prędkość wyrzutu gazów wynosi 1000 m/s.

81.

Jaka prędkość wyrzutu gazów jest potrzebna do przyspieszenia rakiety w przestrzeni kosmicznej z prędkości 800 m/s do 1000 m/s w czasie 5 s, jeżeli całkowita masa rakiety wynosi 1200 kg i zostało w niej tylko 50 kg paliwa?

82.

Nieracjonalne wyniki. Podobno kałamarnice są w stanie wyskoczyć z wody i pokonać w powietrzu poziomą odległość równą 30 m.

a. Zakładając, że można pominąć straty na oderwanie się od wody i opór powietrza, oblicz początkową prędkość kałamarnicy, jeśli wyskakuje ona z wody pod kątem 20°.

b. Kałamarnica uzyskuje napęd wyrzucając wodę z wnętrza swojego ciała. Jaki ułamek masy jej ciała powinna stanowić woda, aby uzyskać prędkość potrzebną do wyskoku w poprzednim podpunkcie? Woda wyrzucana jest z prędkością 12 m/s, pomijamy przyspieszenie ziemskie podczas odrzutu oraz siły tarcia.

c. Co jest niedorzecznego w otrzymanych wynikach?

d. Które założenie jest niesłuszne, albo które założenia są ze sobą niespójne?