Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • rozpoznawać rodzaj zderzenia;
  • prawidłowo oceniać, czy zderzenie jest sprężyste, czy nie;
  • korzystać ze znajomości energii kinetycznej i pędu do analizy zderzenia.

Chociaż pęd jest wielkością zachowaną we wszystkich przypadkach wzajemnego oddziaływania ciał, nie wszystkie oddziaływania (na przykład zderzenia lub eksplozje) są jednakowe. W fizyce mówimy o następujących przypadkach:

  • Pojedynczy obiekt może eksplodować, rozpadając się na więcej elementów (w skrócie: jeden na wiele).
  • Wiele obiektów (przynajmniej dwa) mogą zderzyć się i połączyć na skutek tego zderzenia (w skrócie: wiele na jeden).
  • Wiele obiektów zderzając się odbija się od siebie, co w efekcie daje również wiele ciał w ruchu (w skrócie: wiele na wiele). Po odbiciu prędkości ciał mogą być takie same jak przed nim, ale mogą też ulec zmianie.

Użyteczne będzie więc dokonanie charakterystyki tych oddziaływań w kontekście liczby elementów przed i po zdarzeniu.

Jeden na wiele

Pierwsza sytuacja to rozpad pojedynczego obiektu (lub obiektu traktowanego jako całość) na dwa lub więcej fragmentów. Przykładem może być petarda, układ łuk-strzała lub rakieta. Im więcej elementów powstaje po rozpadzie, tym trudniejsza staje się analiza, niemniej całkowity pęd układu przed i po rozpadzie pozostaje niezmieniony. Układ będzie miał jednak, niekiedy znaczną, łączną energię kinetyczną, mimo że wcześniej jej nie posiadał. Widzimy więc, że chociaż pęd układu jest zawsze zachowany, jego energia kinetyczna – już nie. W takim przypadku, gdy ciało rozpada się na więcej fragmentów i energia kinetyczna układu wzrasta – mówimy o eksplozji (ang. explosion).

Zastanówmy się teraz nad źródłem dodatkowej porcji energii. Czy jej powstanie oznacza, że zasada zachowania energii przestaje nagle obowiązywać? Oczywiście zasada zachowania energii całkowitej musi być i jest spełniona. W przypadku eksplozji lub wystrzału energia udzielona fragmentom układu pochodzi z energii chemicznej cząsteczek biorących udział w egzoenergetycznych reakcjach chemicznych. Reakcje te, wytwarzając wysoką temperaturę i ciśnienie – są bezpośrednią przyczyną rozerwania się układu i nadania jego fragmentom energii kinetycznych. W przypadku układu łuk-strzała źródłem energii jest energia potencjalna sprężystości naciągniętej cięciwy.

Zauważmy, że jeżeli ciało znajduje się początkowo w spoczynku, pęd i energia kinetyczna równe są zeru. Po eksplozji sumaryczny pęd musi być nadal równy zeru, ponieważ na mocy zasady zachowania pędu nie może się on zmienić.

Wiele na jeden

Druga możliwość jest odwrotnością pierwszej: dwa lub więcej ciał zderza się i łączy ze sobą, tworząc jeden obiekt. Masa tego obiektu jest sumą mas ciał zderzających się, a prędkość ruchu takiego „produktu” jest określona zasadą zachowania pędu. W tym przypadku również okazuje się, że pęd układu przed i po zderzeniu nie ulega zmianie, natomiast jego energia kinetyczna tym razem maleje. Tego typu zderzenie nazywamy niesprężystym (ang. inelastic collision).

W skrajnym przypadku ciała po zderzeniu tworzą bryłę, której prędkość wynosi zero. Oznacza to, że prędkości wszystkich elementów układu i jego energia kinetyczna zmalały do zera. Zauważmy, że w takim przypadku mamy do czynienia z największą możliwą zmianą energii w układzie. Takie zderzenie nazywamy idealnie niesprężystym (ang. perfectly inelastic collision).

Wiele na wiele

Przypadek, w którym ciała zderzają się i odbijają się od siebie, a następnie oddalają z taką samą prędkością względną jest zderzeniem sprężystym (ang. elastic collision). Wówczas zmiana energii kinetycznej układu jest równa zeru, zatem jego energia kinetyczna jest zachowana.

W każdym rodzaju oddziaływania, w przypadku układu zamkniętego, jego pęd jest zachowany ( p przed = p po p przed = p po ), natomiast energia kinetyczna – już niekoniecznie:

  • Jeżeli 0 < E k po < E k przed 0< E k po < E k przed , zderzenie jest niesprężyste.
  • Jeżeli E k po = 0 E k po =0, zderzenie jest idealnie niesprężyste.
  • Jeżeli E k po = E k przed E k po = E k przed , zderzenie jest sprężyste.
  • Jeżeli E k po > E k przed E k po > E k przed , mamy do czynienia z eksplozją.

Należy pamiętać, że analizując zderzenia lub eksplozje, można opisywać je z użyciem pędu i energii kinetycznej.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: zderzenia

W układzie zamkniętym spełniona jest zawsze zasada zachowania pędu, a w szczególnych przypadkach zachowana bywa także energia mechaniczna. Typowe sytuacje wymagające opisu z użyciem energii i pędu są zwykle jedno- lub dwuwymiarowe i najczęściej zawierają dwie niewiadome. Wówczas dla ułatwienia należy:

  1. Zdefiniować układ zamknięty.
  2. Napisać równanie ilustrujące zasadę zachowania pędu.
  3. Jeśli zachowana jest też energia kinetyczna – wyrazić to odpowiednim równaniem; jeśli nie – podać równanie opisujące zmianę energii kinetycznej.
  4. Utworzone w ten sposób dwa równania stanowią ich układ z dwiema niewiadomymi, który rozwiązujemy standardowymi metodami.

Przykład 9.10

Powstawanie deuteronu

Proton o masie 1,67 10 27 k g 1,67 10 27 k g zderza się z neutronem o masie nieznacznie większej (tu z przyczyn praktycznych przyjmijmy, że takiej samej) i po ich złączeniu powstaje cząstka zwana deuteronem. Jaka jest prędkość deuteronu, jeżeli prędkość protonu wynosiła 7 10 6 m / s 7 10 6 m / s i skierowana była w prawo, a prędkość neutronu, równa 4 10 6 m / s 4 10 6 m / s – w lewo? W lewej części rysunku, z opisem „Przed zderzeniem” narysowano proton nadlatujący z lewej strony z prędkością „v proton = 7 razy 10 do potęgi szóstej m/s” i neutron nadlatujący ze strony prawej, z prędkością „v neutron = minus 4 razy 10 do potęgi szóstej m/s”. W prawej części rysunku pokazano obie cząstki złączone razem, opatrzone opisem „po zderzeniu” i z opisem prędkości „v deuteronu = znak zapytania”.

Strategia rozwiązania

Niech nasz układ tworzą obie cząstki: proton i neutron. Mamy do czynienia ze zderzeniem, spróbujmy określić, jakiego rodzaju. W efekcie oddziaływania z dwóch cząstek powstaje jedna, więc będzie to zderzenie niesprężyste. W tej sytuacji zachowany zostaje pęd, ale energia kinetyczna – nie. Użyjemy więc zasady zachowania pędu do wyznaczenia prędkości produktu tegoż zderzenia, natomiast zasadę zachowania energii możemy wykorzystać do obliczenia zmiany (straty) energii kinetycznej i stwierdzenia, ile dżuli energii przeszło w formę niemechaniczną – energię potrzebną do związania się protonu z neutronem, tzw. energię fuzji.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że masy cząstek są jednakowe i wynoszą M M. Indeksami p, n oraz d oznaczymy odpowiednio prędkości: protonu, neutronu i deuteronu. Zagadnienie jest jednowymiarowe, możemy więc w zapisie zasady zachowania pędu zrezygnować z oznaczeń wersorów, uwzględniając przeciwny zwrot wektora prędkości neutronu:
M v p M v n = 2 M v d . M v p M v n =2M v d .

Po podzieleniu przez M M i podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

v 3 = v p v n 2 i ^ = 1,5 10 6 m / s i ^ . v 3 = v p v n 2 i ^ =1,5 10 6 m / s i ^ .

Znaczenie

Opisana reakcja nosi nazwę reakcji fuzji (ang. fusion) i właśnie z myślą o takich zderzeniach uruchomiono Wielki Zderzacz Hadronów (LHC) w ośrodku badań reakcji jądrowych CERN pod Genewą. Przyspiesza on cząstki do bardzo dużych prędkości (i dużych pędów) w dwóch przeciwbieżnych strumieniach. W takim „czołowym” zderzeniu wiązek mają szansę narodzić się, w drodze fuzji, nowe cząstki wtórne (ang. daughter particles).

Przykład 9.11

Krążki hokejowe na lodzie

Poniższy przykład jest modyfikacją zadania z poprzedniego rozdziału. Dwa krążki hokejowe, tym razem o różnych masach (czerwony o masie 15 g, niebieski o masie 12 g), położono na płaskim, gładkim lodzie. Czerwony krążek pozostaje w spoczynku, a niebieskiemu nadano prędkość 2,5 m/s skierowaną w lewo (Rysunek 9.20), tak by uderzył on centralnie w krążek czerwony. Jeżeli zderzenie jest idealnie sprężyste, jakie będą prędkości krążków po zderzeniu?
Na rysunku pokazano dwa krążki hokejowe. Na górnym obrazku krążek czerwony ma prędkość 0, a krążek niebieski po prawej stronie porusza się w lewo w kierunku krążka czerwonego, z prędkością 2,5 m/s. Dolny obrazek pokazuje krążek z lewej strony, poruszający się w lewo z prędkością v1 prim, która jest niewiadomą, a także krążek po prawej stronie, poruszający się również w lewo z nieznaną prędkością oznaczoną jako v 2prim.
Rysunek 9.20 Zderzenie dwóch krążków hokejowych o różnych masach. Górny rysunek odpowiada sytuacji na chwilę przed zderzeniem, a dolny – tuż po zderzeniu. Wypadkowa sił zewnętrznych wynosi zero.

Strategia rozwiązania

Rozważamy zderzenie dwóch krążków o znanych masach i prędkościach początkowych, gdzie nieznane są prędkości obu krążków po zderzeniu. Zasada zachowania pędu wydaje się tu być dobrą strategią. Układ tworzą tutaj oba krążki. Gładkość lodu zapewnia brak tarcia, a siłę ciężkości równoważy siła reakcji podłoża – układ jest więc układem zamkniętym i spełniona jest w nim zasada zachowania pędu. Ponieważ mamy do czynienia ze zderzeniem idealnie sprężystym, energia kinetyczna w tym układzie także będzie zachowana. Otrzymujemy więc dwa równania z dwiema niewiadomymi.

Początkowy pęd układu i jego energia kinetyczna jest początkowym pędem i energią kinetyczną tylko niebieskiego krążka. W zderzeniu sprężystym część pędu i energii zostaje przeniesiona na krążek czerwony.

Rozwiązanie

Zdefiniujmy kierunek osi + x + x jako poziomy w lewo. Zasada zachowania pędu przedstawia się wówczas następująco:
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 .

Równanie opisujące łączną energię kinetyczną układu przed i po zderzeniu przyjmuje postać:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 . 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 .

Chociaż wiemy, że prędkość początkowa krążka pierwszego jest równa zeru, dla ogólności rozważań zachowajmy jeszcze obecność tego członu w obu równaniach.

W obu równaniach pogrupujmy wyrazy zawierające masę m 1 m 1 po lewej stronie, a z masą m 2 m 2 - po stronie prawej:

m 1 ( v 1 v 1 ) = m 2 ( v 2 v 2 ) , m 1 ( v 1 2 v 1 2 ) = m 2 ( v 2 2 v 2 2 ) . m 1 ( v 1 v 1 ) = m 2 ( v 2 v 2 ) , m 1 ( v 1 2 v 1 2 ) = m 2 ( v 2 2 v 2 2 ) .

Jeżeli równanie drugie podzielimy przez pierwsze, to (po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów) uzyskamy:

v 1 + v 1 = v 2 + v 2 . v 1 + v 1 = v 2 + v 2 .

Z powyższego równania wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy ją do równania pierwszego, opisującego zasadę zachowania pędu. Ostatecznie nowe prędkości krążków po zderzeniu to:

v 1 = 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 + m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 , v 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 + m 2 m 1 m 1 + m 2 v 2 . v 1 = 2 m 2 m 1 + m 2 v 2 + m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 , v 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 + m 2 m 1 m 1 + m 2 v 2 .

Podstawiając nasze dane, otrzymamy:

v1=2,22ms,v2=0,28ms.v1=2,22ms,v2=0,28ms. \begin{align} v_1' &= \SI{2,22}{\metre\per\second} \text{,} \\ v_2' &= - \SI{0,28}{\metre\per\second} \text{.} \end{align}

Znaczenie

Pamiętajmy, że oś x x układu współrzędnych zwrócona jest w lewo, więc prędkość krążka czerwonego v 1 v 1 , jako dodatnia – zwrócona jest także w lewo. Krążek niebieski, po odbiciu od cięższego krążka czerwonego – porusza się w prawo, o czym świadczy znak minus przed jego prędkością v 2 v 2 .

Sprawdź, czy rozumiesz 9.7

Przyglądając się równaniom opisującym zasadę zachowania pędu i energii kinetycznej, widzimy, że możliwe jest jeszcze jedno rozwiązanie, w którym v 1 = v 1 v 1 = v 1 i v 2 = v 2 v 2 = v 2 (oba równania się wówczas zerują). Podaj interpretację fizyczną tych wyników.

Przykład 9.12

Thor kontra Iron Man

W wyprodukowanym w roku 2012 filmie science-fiction The Avengers widzimy scenę walki Iron Mana z Thorem. Na początku Thor rzuca w Iron Mana swoim młotem tak, że siła zderzenia wyrzuca Iron Mana w powietrze i ciska o drzewo. W momencie uderzenia Iron Man stoi nieruchomo w odległości ok. 10 metrów od Thora, a czas lotu młota trwa około 1 s. Drzewo znajduje się w odległości ok. 2 m za Iron Manem i do uderzenia o nie dojdzie po ok. 0,75 s. Przyglądając się uważniej tejże scenie, zauważymy, że tor ruchu lecącego młota oraz Iron Mana wraz z młotem jest w przybliżeniu linią poziomą (jest to w rzeczywistości bardzo „spłaszczona” parabola). Przyjmij, że masa Iron Mana wynosi 200 kg.
  1. Oszacuj masę młota Thora.
  2. Oszacuj stratę energii kinetycznej podczas tego zderzenia.

Strategia rozwiązania

Po uderzeniu młot i Iron Man poruszają się razem – jest to więc zderzenie niesprężyste. Zatem, wybierając odpowiednio układ zamknięty, powinniśmy uzyskać spełnienie zasady zachowania pędu (ale nie energii kinetycznej). Zanim zastosujemy tę zasadę, obliczmy prędkości rzuconego młota i układu „młot plus Iron Man” z danych kinematycznych (droga i czas). Zagadnienie jest jednowymiarowe, więc wygodnie jest operować równaniami w postaci skalarnej.

Rozwiązanie

  1. Postulujemy zastosowanie zasady zachowania pędu. Układ „młot plus Iron Man” w rozpatrywanym przedziale czasu, tj. od momentu zderzenia do chwili stratowania drzewa – spełnia wymogi dla układu zamkniętego. Przyjmijmy teraz następujące oznaczenia:
    • M m M m – masa młota,
    • M I M I – masa Iron Mana,
    • v m v m – prędkość młota tuż przed uderzeniem w Iron Mana,
    • v v – prędkość układu „młot plus Iron Man” tuż po zderzeniu.

    Prędkość początkowa Iron Mana wynosi zero. Zapisujemy zasadę zachowania pędu:
    M m v m = ( M m + M I ) v , M m v m = ( M m + M I ) v,

    a następnie wyznaczamy masę młota:
    M m v m = M m v + M I v , M m ( v m v ) = M I v , M m = M I v v m v = 200 k g 2 m 0,75 s 10 m / s 2 m 0,75 s = 73 k g . M m v m = M m v + M I v , M m ( v m v ) = M I v , M m = M I v v m v = 200 k g 2 m 0,75 s 10 m / s 2 m 0,75 s = 73 k g .

    Biorąc pod uwagę znaczną niepewność naszych oszacowań, wynikającą z oceny odległości i pomiaru czasu na podstawie kadru filmowego, bardziej miarodajne będzie podanie wyniku z dokładnością do dziesiątek kg, a więc M m = 70 k g M m =70 k g .
  2. Energia kinetyczna układu, podobnie jak i pęd, pochodzi w całości z ruchu rozpędzonego młota:
    E K przed = 1 2 M m v m 2 = 1 2 70 k g ( 10 m / s ) 2 = 3500 J . E K przed = 1 2 M m v m 2 = 1 2 70 k g ( 10 m / s ) 2 =3500 J .

    Po zderzeniu:
    E K po = 1 2 ( M m + M I ) v 2 = 1 2 ( 70 k g + 200 k g ) ( 2,67 m / s ) 2 = 960 J . E K po = 1 2 ( M m + M I ) v 2 = 1 2 ( 70 k g + 200 k g ) ( 2,67 m / s ) 2 =960 J .

    Zatem zmiana energii kinetycznej wynosi E K po E K przed = 960 J 3500 J = 2540 J E K po E K przed =960 J 3500 J =2540 J , co oznacza jej ubytek.

Znaczenie

Z innej sceny filmu wynika, że Thor jest w stanie siłą umysłu kontrolować swój młot i dodatkowo rozpędzić młot w fazie po zderzeniu – w tej sytuacji w układzie „młot plus Iron Man” pojawiłaby się siła zewnętrzna i przestałby to już być układ zamknięty. Mentalne zdolności Thorna nie są oczywiście przedmiotem zainteresowań niniejszego podręcznika.

Przykład 9.13

Analiza zderzenia samochodów

Ciężarówka o masie 3000 kg uderza w stojący na światłach samochód o masie 1200 kg. W efekcie zderzenia ciężarówka zatrzymuje się, a samochód osobowy porusza się do przodu i zatrzymuje po przebyciu 10 metrów. Zmierzony współczynnik tarcia między oponami a nawierzchnią drogi wynosi 0,62. Z jaką prędkością poruszała się ciężarówka przed zderzeniem?

Strategia rozwiązania

Z początku może się wydawać, że zbyt mało wiemy, aby rozwiązać ten problem. Choć znamy prędkość początkową samochodu osobowego, nie znamy prędkości ciężarówki (ją właśnie mamy wyznaczyć), a zatem i pędu układu. Podobnie, znamy prędkość końcową ciężarówki, ale nie znamy prędkości auta osobowego bezpośrednio po zderzeniu. Fakt, że samochód ostatecznie się zatrzymuje jest już efektem zadziałania sił zewnętrznych, czyli tarcia. Reguła pędu i popędu również nie wydaje się pomocna, ponieważ nie znamy czasu trwania zderzenia.

Przyjmijmy wstępnie, że w bardzo krótkim przedziale czasu odpowiadającym samemu zderzeniu, naszym układem zamkniętym będzie układ „ciężarówka plus auto”. Traktujemy wówczas zatrzymanie się ciężarówki jako błyskawiczne i prowadzące do natychmiastowego przekazania pędu samochodowi. Dopiero potem rozpocznie się ruch postępowy jednostajnie opóźniony samochodu (jest bardzo prawdopodobne, że przerażony kierowca uderzonego auta naciskał pedał hamulca aż do chwili zatrzymania, zatem samochód wytracił swoją prędkość za sprawą siły tarcia). Prędkość początkową tej fazy ruchu można wyznaczyć z zależności kinematycznych albo z twierdzenia o równoważności pracy i energii. Tu zastosujemy tę drugą metodę.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia:
  • M s M s i M c M c – odpowiednio masa samochodu i ciężarówki,
  • v c0 v c0 i v c1 v c1 – prędkość ciężarówki: początkowa (przed zderzeniem) i końcowa (po zderzeniu),
  • v s0 v s0 i v s1 v s1 – prędkość samochodu: początkowa (przed zderzeniem) i końcowa (bezpośrednio po zderzeniu),
  • E K1 E K1 i E K2 E K2 – energia kinetyczna samochodu bezpośrednio po zderzeniu i na końcu ruchu (po zatrzymaniu E K2 = 0 E K2 = 0 ),
  • L L – droga, jaką pokonał samochód zanim się zatrzymał.

Zasadę zachowania pędu dla układu „ciężarówka plus auto” zapisujemy jako:

M s v s0 + M c v c0 = M s v s1 + M c v c1 . M s v s0 + M c v c0 = M s v s1 + M c v c1 .

Ponieważ v s0 = 0 v s0 =0 i v c1 = 0 v c1 =0, otrzymujemy prędkość początkową ciężarówki równą:

v c0 = M s M c v s1 . v c0 = M s M c v s1 .

Aby wyznaczyć prędkość auta po zderzeniu, zastosujmy twierdzenie o równoważności pracy i energii, zgodnie z którym:

W = Δ E K = E K2 E K1 = 0 1 2 M s v s1 2 . W=Δ E K = E K2 E K1 =0 1 2 M s v s1 2 .

Z drugiej strony, praca siły tarcia wykonana na odcinku LL:

W = F t L = F t L cos θ . W= F t L = F t Lcosθ.

Kąt θ θ jest kątem między wektorem siły tarcia (działającym poziomo, przeciwnie do ruchu) i przemieszczenia (działającym poziomo, zgodnie z kierunkiem ruchu). Wynosi więc on 180 180 , zatem cos 180 = 1 cos 180 =1.

Siłę tarcia na poziomym torze możemy powiązać z siłą nacisku (tu: równą ciężarowi auta) i współczynnikiem tarcia kinetycznego μ k μ k zależnością:

F t = μ k M s g . F t = μ k M s g.

Zatem pracę siły tarcia możemy przyrównać do zmiany energii kinetycznej:

( μ k M s g ) L = 1 2 M s v s1 2 . ( μ k M s g ) L= 1 2 M s v s1 2 .

Prędkość auta bezpośrednio po zderzeniu wynosi więc:

v s1 = 2 μ k g L = 2 0,62 9,81 m / s 2 10 m = 11 m / s . v s1 = 2 μ k g L = 2 0,62 9,81 m / s 2 10 m =11 m / s .

Teraz możemy już wrócić do zasady zachowania pędu i wyznaczyć prędkość ruchu ciężarówki przed zderzeniem:

v c0 = 1 200 k g 3 000 k g 11,0 m / s = 4,4 m / s = 16 k m / h . v c0 = 1 200 k g 3 000 k g 11,0 m / s =4,4 m / s =16 k m / h .

Znaczenie

Powyższy przykład pokazuje typową analizę, jakiej dokonują policjanci po przybyciu na miejsce wypadku. Widać więc, że od znajomości pojęć pędu i energii kinetycznej oraz ich prawidłowego zastosowania zależą często prawne i finansowe konsekwencje rzeczywistych wypadków.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.8

Gdyby nie było tarcia (zderzenie nastąpiłoby na oblodzonej nawierzchni), współczynnik tarcia wynosiłby zero, a nasz wynik v s1 = 2 μ k g L = 0 v s1 = 2 μ k g L =0 byłby również zerowy, co jest oczywiście niepoprawne. Gdzie tkwi błąd?

Zderzenia i pęd w skali subatomowej

Zasada zachowania pędu okazuje się kluczowa w rozumieniu zjawisk w skali atomowej i subatomowej, ponieważ głównie dzięki eksperymentom zderzeniowym możemy się czegoś dowiedzieć o tych maleńkich cząstkach.

Na początku XX wieku obiektem ogromnego zainteresowania i tematem dyskusji naukowców był atom i jego budowa. Wiedziano już, że atomy zawierają dwa rodzaje cząstek naładowanych: obdarzone ładunkiem ujemnym elektrony i dodatnio naładowane protony (istnienie cząstek obojętnych elektrycznie, czyli neutronów podejrzewano, ale doświadczalnie potwierdzono je dopiero w roku 1932). Zasadnicze pytanie brzmiało: w jaki sposób owe dodatnie i ujemne ładunki są w atomie poukładane? Czy wypełniają równomiernie przestrzeń atomu (wyobrażenie takie zaproponował J.J. Thomson w swoim modelu „ciasta z rodzynkami”), czy umieszczone są w wierzchołkach wielokąta foremnego (model Gilberta Lewisa), a może przyjmują postać pierścieni ładunku ujemnego otaczających dodatnio naładowane jądro – na wzór pierścieni wokół Saturna (zgodnie z sugestią Hantaro Nagaoki)? A może istnieje jeszcze inna struktura?

Ernest Rutherford, fizyk nowozelandzki, wraz z Niemcem – Hansem Geigerem i Brytyjczykiem Ernestem Marsdenem przeprowadzili w roku 1909 przełomowy, jak się okazało, eksperyment. Polegał on na bombardowaniu bardzo cienkiej folii złota wiązką szybkich, a więc wysokoenergetycznych cząstek alfa (jąder atomu helu He-4). Cząstki te zderzały się z atomami złota, podczas zderzenia zmieniały kierunek lotu (czyli: ulegały rozproszeniu) i były rejestrowane pod różnymi kątami względem ich początkowego kierunku. Ich rozpraszanie analizowane było właśnie na podstawie zasady zachowania pędu i energii.

Gdyby ładunek w atomie był rozłożony jednorodnie w całej jego objętości (zgodnie z modelem Thomsona) wówczas cząstki alfa po zderzeniach byłyby rejestrowane w pewnym wąskim zakresie małych kątów. Model Nagaoki dawałby podobne rezultaty. Zgodnie z modelem wieloboku Lewisa rozproszenie cząstek zachodziłoby selektywnie, pod pewnymi charakterystycznymi kątami.

Tymczasem wyniki eksperymentu Rutherforda pokazały, że wprawdzie większość cząstek praktycznie wcale nie zmienia kierunku, ale są też i takie, które wręcz całkowicie zawracają i zostają rozproszone pod kątami bliskimi 180 180 (Rysunek 9.21). Ostatecznie, wykorzystując zasadę zachowania pędu i energii, Rutherford zaproponował model atomu, znacznie bliższy modelowi współczesnemu i dobrze wyjaśniający wyniki jego obserwacji.

Ilustracja modeli atomu Thomsona i Rutherforda oraz odpowiednich eksperymentów. W modelu Thomsona mamy elektrony pokazane jako małe kuleczki rozłożone równomiernie w dużej jednorodnej sferze. Cząstki alfa przechodzą przez taki atom praktycznie nierozproszone. Kilka trajektorii takich cząstek pokazano w postaci równoległych poziomych linii od lewej do prawej strony rysunku. Układ eksperymentalny składa się ze źródła skolimowanej wiązki cząstek alfa, która przechodzi przez szczelinę i pada na ekran otaczający folię złota, która była bombardowaną tarczą. Wiązka cząstek alfa przenika prze folię rozszerzając się nieznacznie i dociera do ekranu tworząc na nim plamkę. Zgodnie z tym modelem, oczekiwanym rezultatem była właśnie jedna plama naprzeciwko źródła cząstek alfa. Model Rutherforda posiada elektrony reprezentowane przez małe kuleczki wokół skoncentrowanego w środku małego jądra atomu. Narysowano kilka trajektorii cząstek alfa, zaczynających się z lewej strony rysunku i biegnących poziomo w kierunku środka atomu. Niektóre przebiegają niezaburzone, niektóre tylko nieznacznie odchylone od pierwotnego toru, a niektóre odchylone pod kątami większymi niż 900. Układ doświadczalny zawiera źródło wiązki przepuszczonej przez szczelinę padającej na folię złota, wokół której rozciągnięto ekran. Wiązka w większości przechodzi przez folię i pada na ekran na wprost źródła, ale jest też i sygnał w części ekranu, znajdującej się po tej samej stronie co wiązka padająca. Wynik eksperymentu pokazuje wiele plamek wzdłuż całej rozciągłości ekranu.
Rysunek 9.21 Modele atomu Thomsona i Rutherforda. Model Thomsona zakładał, że praktycznie wszystkie cząstki alfa zostaną rozproszone w bardzo małym kącie, bliskim 0 0 (rozproszenie do przodu). Rutherford i Geiger stwierdzili, że rozproszeniu uległo bardzo mało cząstek, ale za to pod znacznie większymi kątami. Wyniki eksperymentu Rutherforda były niespójne z modelem Thomsona. Rutherford opracował więc swój model atomu, wykorzystując zasadę zachowania pędu i energii – znany obecnie jako model jądrowy.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.