William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać wykorzystanie zasady zachowania pędu, gdy masa i prędkość zmieniają się w czasie;
obliczać prędkość rakiety w przestrzeni kosmicznej przy danych parametrach początkowych;
obliczać prędkość rakiety w warunkach grawitacji ziemskiej przy danych parametrach początkowych.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, w którym masa poruszającego się ciała ulega zmianie. Przeanalizujmy ruch rakiety, której prędkość oraz pęd zmieniają się wskutek wyrzucenia spalin, powodując przyspieszenie rakiety w kierunku przeciwnym do prędkości wyrzucanych gazów (zobacz Ilustrację 9.32). Rakieta w przestrzeni kosmicznej, zaopatrzona w zapas paliwa, ma masę $m_{0}$ (jest to masa własna rakiety wraz z masą paliwa). Rakieta przyspiesza na zasadzie zjawiska odrzutu, dzięki reakcjom spalania paliwa oraz wyrzucaniu spalin za siebie. Na pewnym etapie jej prędkość wynosi $\vec{v}$ , a masa $m$ i jest to masa własna rakiety oraz części niezużytego jeszcze paliwa. Zauważmy, że operujemy tu pojęciem masy chwilowej $m (t)$ i prędkości chwilowej $\vec{v} (t)$ . Obliczymy teraz, jak zmieni się prędkość rakiety na skutek zużycia całego paliwa, jeżeli szybkość spalania w silnikach rakiety oraz szybkość wyrzutu spalin będą na stałym poziomie.

Fotografia startującego promu kosmicznego.

Ilustracja 9.32 Prom kosmiczny wykorzystuje zarówno paliwo stałe, jak i ciekłe i wyposażony jest w sporą liczbę elementów wielokrotnego użytku. Ogromne zbiorniki na paliwo ciekłe przeznaczone są wprawdzie na straty, ale dodatkowe zbiorniki na paliwo stałe odzyskuje się i powtórnie napełnia po każdym locie. Również sam statek po powrocie na Ziemię wykorzystywany jest do kolejnych lotów. Umożliwiają to m.in. pokrywy ceramiczne chroniące go przed przegrzaniem podczas powtórnego wejścia w atmosferę. Można zatem wielokrotnie powtarzać misje wahadłowca. (Źródło: NASA)

Analiza fizyczna ruchu

Omówimy teraz, co dzieje się podczas ruchu rakiety w przestrzeni kosmicznej oraz omówimy fizyczną naturę tego procesu:

Podczas pracy silnika produkowane są gazy, które posiadają zarówno masę jak i prędkość, a więc również pęd. Z zasady zachowania pędu wynika, że rakieta odrzucająca spaliny dozna takiej samej zmiany pędu, ale z przeciwnym znakiem. Załóżmy, że gazy wyrzucane są ze stałą szybkością, co oznacza, że przyrost pędu rakiety będzie również stały. Odwołując się do Równania 9.15, stwierdzimy, że oznacza to obecność stałej siły działającej na rakietę i nadającej jej przyspieszenie.
W miarę upływu czasu masa rakiety (obejmująca także masę paliwa) maleje w sposób ciągły. Jeśli siła napędu rakiety się nie zmienia, przyspieszenie rakiety będzie rosnąć.
Zatem całkowita zmiana prędkości rakiety zależy w sposób nieliniowy od ilości zużytego paliwa.

Mamy więc do czynienia ze zmianami zarówno masy jak i prędkości rakiety, a także masy wyrzucanych gazów. Jeśli jako układ zdefiniujemy „rakietę plus paliwo”, to będzie to układ zamknięty (ponieważ rozważamy rakietę w przestrzeni kosmicznej, na układ nie działają siły zewnętrzne). W efekcie pęd układu będzie zachowany i możemy skorzystać z zasady zachowania pędu (Ilustracja 9.33).

Na rysunku pokazano układ współrzędnych xy i rakietę poruszającą się poziomo z prędkością v w kierunku +x. Masa rakiety z paliwem wynosi m. Rakieta wyrzuca za sobą gazy o masie dm z indeksem g, poruszające się w lewo z prędkością u. Rakietę oraz gazy otoczono elipsą, nad którą napisano układ

Ilustracja 9.33 Rakieta przyspiesza (w prawo) wyrzucając gazy z dyszy (w lewo). Zasada zachowania pędu pozwala na wyznaczenie prędkości rakiety po odrzucie. Masa

m

jest chwilową wartością sumy masy własnej rakiety i znajdującego się w niej paliwa. (Źródło: zmodyfikowany przez NASA/Bill Ingalls)

Ze względu na zależność masy i prędkości od czasu, należy operować wielkościami chwilowymi dla konkretnego momentu na osi czasu. Definiujemy więc prędkość chwilową $\vec{v} = v \hat{i}$ (w kierunku $+ x$ ) mierzoną względem Ziemi. Pęd początkowy układu wyrażamy jako:

{\vec{p}}_{przed} = m v \hat{i} .

Silniki rakietowe spalają paliwo ze stałą szybkością i wyrzucają gazy w kierunku $- x$ . W infinitezymalnym przedziale czasu $d t$ masa wyrzuconego gazu wynosi $d m_{g}$ , a ich prędkość $\vec{u} = - u \hat{i}$ . Zwróćmy uwagę, że o ile prędkość rakiety $v \hat{i}$ mierzona jest względem Ziemi, prędkość wyrzucanych gazów mierzona jest względem poruszającej się rakiety. Przekształcając ją w odniesieniu do układu związanego z Ziemią, uzyskamy $(v - u) \hat{i}$ .

W następstwie wyrzucenia spalonych gazów masa rakiety zmalała o $d m_{g}$ , a jej prędkość wzrosła o $d v \hat{i}$ . Uwzględniając zmianę masy rakiety oraz wyrzuconych gazów, końcowy pęd układu obliczymy jako:

{\vec{p}}_{po} = {\vec{p}}_{r} + {\vec{p}}_{g} = (m - d m_{g}) (v + d v) \hat{i} + d m_{g} (v - u) \hat{i} .

Ponieważ wszystkie wektory skierowane są wzdłuż osi $x$ , możemy zrezygnować z notacji wektorowej. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy:

\begin{align} p_{\text{przed}} &= p_{\text{po}} \text{,} \\ mv &= (m-\d m_{\text{g}})(v + \d v) + \d m_{\text{g}} (v-u) \text{,} \\ mv &= mv + m\d v - \d m_{\text{g}} v - \d m_{\text{g}} \d v + \d m_{\text{g}} v- \d m_{\text{g}} u \text{,} \\ m \d v &= \d m_{\text{g}} \d v + \d m_{\text{g}} u \text{.} \end{align}

Ponieważ $d m_{g}$ i $d v$ są bardzo małe, ich iloczyn jest tym bardziej znikomy w porównaniu z pozostałymi wyrazami w równaniu. Pomijając go, otrzymamy:

m d v = d m_{g} u .

Zauważmy, że $d m_{g}$ reprezentuje masę wyrzuconych gazów, ale liczbowo jest ona równa ubytkowi masy rakiety:

d m_{g} = - d m .

Po zastąpieniu $d m_{g}$ w powyższym równaniu, uzyskamy:

m d v = - d m u,

czyli:

d v = - \frac{d m}{m} u .

Całkujemy obustronnie od masy $m_{0}$ do masy $m$ rakiety:

\begin{aligned} \int_{v_{0}}^{v} d v & = - u \int_{m_{0}}^{m} \frac{d m}{m}, \\ v - v_{0} & = u \ln \frac{m_{0}}{m} . \end{aligned}

Odpowiedź na pytanie: „jak zmieni się prędkość rakiety?” brzmi więc następująco:

Δ v = u \ln \frac{m_{0}}{m} .

9.42

To równanie znane jest pod nazwą równania ruchu rakiety (ang. rocket equation) lub wzoru Ciołkowskiego dla ruchu rakiety w próżni i przy braku grawitacji. Wzór ten, wyprowadzony przez rosyjskiego fizyka Konstantina Ciołkowskiego w roku 1897 wykazuje nieliniowy charakter zmian prędkości rakiety, której masa z paliwem wynosi $m_{0}$ , a masa bez paliwa równa jest $m$ .

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: analiza zjawiska odrzutu

W typowych zagadnieniach opisujących ruch rakiety najczęściej poszukiwaną wielkością jest zmiana prędkości rakiety, wynikająca z faktu spalenia paliwa lub też związanego z tym przyspieszenia.

Do wyznaczenia zmiany prędkości skorzystaj z Równania 9.42 Ciołkowskiego.
Do wyznaczenia przyspieszenia określ siłę (na podstawie reguły pędu i popędu), a następnie zmianę prędkości (z równania Ciołkowskiego).

Przykład 9.20

Siła ciągu silników statku kosmicznego

Statek kosmiczny porusza się w przestrzeni kosmicznej po torze prostym, kiedy pilot postanawia przyspieszyć. Włącza w tym celu silniki, które wytwarzają strumień gazów o stałej szybkości wypływu masy równej

2 \cdot 10^{2} k g / s

, przy ich prędkości względem rakiety

2,5 \cdot 10^{2} m / s

. Początkowa masa statku z paliwem wynosi

2 \cdot 10^{4} k g

, a czas pracy silników wynosił 30 s.

Jaka jest siła ciągu silników statku?
Wyznacz przyspieszenie statku w funkcji czasu.
Jaka była wartość przyspieszenia statku w chwilach $t = 0 s$ , $t = 15 s$ , $t = 30 s$ , $t = 35 s$ ?

Strategia rozwiązania

Na podstawie reguły pędu i popędu stwierdzamy, że siła ciągu silników będzie równa szybkości zmiany pędu statku.
Znając siłę ciągu z podpunktu (a), skorzystamy z II zasady dynamiki Newtona do wyznaczenia przyspieszenia. Kluczowy jest tu fakt, że mimo stałej prędkości wyrzutu gazów z dyszy i stałej siły ciągu przyspieszenie rośnie, ponieważ maleje masa statku. Z tego powodu spodziewamy się zależności przyspieszenia od czasu.
Odpowiedź wyliczoną w podpunkcie (b) wykorzystamy do wyznaczenia wartości liczbowych dla podanych momentów na osi czasu. Pamiętamy, że przyspieszenie powinno rosnąć, ponieważ zmniejsza się masa statku wskutek zużywania paliwa.

Rozwiązanie

Pęd wyrzucanych gazów

$p = m_{g} u .$

Prędkość wyrzucanych gazów $u = 2,5 \cdot 10^{2} m / s$ jest stała, zatem licząc pochodną po czasie otrzymamy siłę ciągu jako:

$F = \frac{d p}{d t} = u \frac{d m_{g}}{d t} .$

Zauważmy, że $d m_{g} / d t$ jest szybkością wypływu masy wyrzucanych gazów, która zgodnie z treścią zadania wynosi $2 \cdot 10^{2} k g / s$ . Po podstawieniu otrzymamy siłę ciągu silników:

$F = u \frac{d m_{g}}{d t} = 2,5 \cdot 10^{} m / s \cdot 2,0 \cdot 10^{2} k g / s = 5,0 \cdot 10^{4} N .$
Masa statku to suma jego masy własnej oraz paliwa, które w danej chwili ów statek posiada: $m = m_{r} + m_{g}$ . Z II zasady dynamiki Newtona

$a = \frac{F}{m} = \frac{F}{m_{r} + m_{g}} .$

Siła ciągu i masa własna pustej rakiety to wielkości stałe, natomiast masa paliwa jest funkcją zależną od czasu:

$m_{g} = m_{g} (t) = m_{g} (0) - \frac{d m_{g}}{d t} t,$

gdzie $m_{g} (0)$ oznacza masę paliwa w rakiecie w chwili początkowej.
Wobec tego:

$a = \frac{F}{M - \frac{d m_{g}}{d t} t},$

gdzie $M = m_{r} + m_{g} (0) = 2 \cdot 10^{4} k g$ jest masą rakiety wraz z paliwem w chwili $t = 0$ . Z powyższego wzoru wynika jawnie zależność przyspieszenia od czasu, która będzie funkcją rosnącą. Po podstawieniu danych z zadania:

$a = \frac{5,0 \cdot 10^{4} N}{2,0 \cdot 10^{4} k g - 2,0 \cdot 10^{2} k g / s \cdot t} .$
We wskazanych momentach:
gdy $t = 0 s$ (kiedy tylko pojawia się siła ciągu silników):

$a (0 s) = \frac{5,0 \cdot 10^{4} N}{2,0 \cdot 10^{4} k g - 2,0 \cdot 10^{2} k g / s \cdot 0 s} = 2,5 m / s^{2},$

gdy $t = 15 s$ , to $a (15 s) = 2,9 m / s^{2}$ ,
gdy $t = 30 s$ , to $a (30 s) = 3,6 m / s^{2}$ ,
ale gdy $t = 35 s$ , to $a (35 s) = 0 m / s^{2}$ , ponieważ $F = 0$ (silniki zostały wyłączone).
W trakcie pracy silników, jak się spodziewaliśmy, przyspieszenie rosło.

Znaczenie

Zauważmy, że przyspieszenie nie jest stałe, co powoduje, że każda wielkość dynamiczna lub kinematyczna powinna być liczona z użyciem całki lub (w prostszym przypadku) z zasady zachowania energii całkowitej.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.14

Jaka jest fizyczna różnica (lub zależność) między $d m / d t$ i $d m_{g} / d t$ w powyższym przykładzie?

Rakieta w polu grawitacyjnym Ziemi

Przeanalizujmy teraz zmiany prędkości rakiety podczas fazy startu w polu grawitacyjnym Ziemi. Przyjmijmy, że w omawianym na tym etapie przedziale wysokości przyspieszenie grawitacyjne traktujemy jako stałe i wynoszące $g$ .

Analiza przebiega podobnie jak w przypadku rakiety w przestrzeni kosmicznej, z tym że uwzględniamy obecność stałej siły skierowanej pionowo w dół $\vec{F} = - m g \hat{j}$ , działającej na nasz układ. Siła ta wytwarza impuls $d \vec{J} = \vec{F} d t = - m g d t \hat{j}$ , który jest równy zmianie pędu:

\begin{aligned} d \vec{p} & = d \vec{J}, \\ {\vec{p}}_{po} - {\vec{p}}_{przed} & = - m g d t \hat{j}, \\ [(m - d m_{g}) (v + d v) + d m_{g} (v - u) - m v] \hat{j} & = - m g d t \hat{j} . \end{aligned}

A zatem

m d v - d m_{g} u = - m g d t,

gdzie, podobnie jak poprzednio, pominęliśmy człon $d m_{g} d v$ oraz zrezygnowaliśmy z zapisu wektorowego. Możemy także zamienić $d m_{g}$ symbolem $- d m$ :

\begin{aligned} m d v + d m u & = - m g d t, \\ m d v & = - d m u - m g d t . \end{aligned}

Po podzieleniu przez $m$ otrzymujemy

d v = - \frac{d m}{m} u - g d t,

a po scałkowaniu:

Δ v = u \ln \frac{m_{0}}{m} - g Δ t,

9.43

przy czym $Δ t$ oznacza czas trwania procesu spalania paliwa. Nikogo chyba nie dziwi, że ze względu na przyciąganie ziemskie zmiana prędkości rakiety będzie teraz mniejsza. Przy braku grawitacji nie miało znaczenia, ile czasu trwało zużycie całego paliwa – maksymalna zmiana prędkości nie była od tego zależna. W obecności siły grawitacji jednak okazuje się to istotne. Czynnik $- g Δ t$ w Równaniu 9.43 mówi nam, że im dłużej będzie trwało spalanie całego paliwa, tym mniejszą zmianę prędkości uzyskamy. Z tego powodu przy starcie rakiety moment jej poderwania jest zawsze tak spektakularnym widowiskiem. Ważne jest bowiem spalenie dużej ilości paliwa (i wypuszczenie ogromnej ilości gazów) w jak najkrótszym czasie – tak aby uzyskać możliwie największe $Δ v$ .

9.7 Napęd rakietowy