Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • opisywać wykorzystanie zasady zachowania pędu, gdy masa i prędkość zmieniają się w czasie;
  • obliczać prędkość rakiety w przestrzeni kosmicznej przy danych parametrach początkowych;
  • obliczać prędkość rakiety w warunkach grawitacji ziemskiej przy danych parametrach początkowych.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, w którym masa poruszającego się ciała ulega zmianie. Przeanalizujmy ruch rakiety, której prędkość oraz pęd zmieniają się wskutek wyrzucenia spalin, powodując przyspieszenie rakiety w kierunku przeciwnym do prędkości wyrzucanych gazów (zobacz Rysunek 9.32). Rakieta w przestrzeni kosmicznej, zaopatrzona w zapas paliwa, ma masę m 0 m 0 (jest to masa własna rakiety wraz z masą paliwa). Rakieta przyspiesza na zasadzie zjawiska odrzutu, dzięki reakcjom spalania paliwa oraz wyrzucaniu spalin za siebie. Na pewnym etapie jej prędkość wynosi v v , a masa m m i jest to masa własna rakiety oraz części niezużytego jeszcze paliwa. Zauważmy, że operujemy tu pojęciem masy chwilowej m ( t ) m(t) i prędkości chwilowej v ( t ) v (t). Obliczymy teraz, jak zmieni się prędkość rakiety na skutek zużycia całego paliwa, jeżeli szybkość spalania w silnikach rakiety oraz szybkość wyrzutu spalin będą na stałym poziomie.

Fotografia startującego promu kosmicznego.
Rysunek 9.32 Prom kosmiczny wykorzystuje zarówno paliwo stałe, jak i ciekłe i wyposażony jest w sporą liczbę elementów wielokrotnego użytku. Ogromne zbiorniki na paliwo ciekłe przeznaczone są wprawdzie na straty, ale dodatkowe zbiorniki na paliwo stałe odzyskuje się i powtórnie napełnia po każdym locie. Również sam statek po powrocie na Ziemię wykorzystywany jest do kolejnych lotów. Umożliwiają to m.in. pokrywy ceramiczne chroniące go przed przegrzaniem podczas powtórnego wejścia w atmosferę. Można zatem wielokrotnie powtarzać misje wahadłowca. (Źródło: NASA)

Analiza fizyczna ruchu

Omówimy teraz, co dzieje się podczas ruchu rakiety w przestrzeni kosmicznej oraz omówimy fizyczną naturę tego procesu:

  • Podczas pracy silnika produkowane są gazy, które posiadają zarówno masę jak i prędkość, a więc również pęd. Z zasady zachowania pędu wynika, że rakieta odrzucająca spaliny dozna takiej samej zmiany pędu, ale z przeciwnym znakiem. Załóżmy, że gazy wyrzucane są ze stałą szybkością, co oznacza, że przyrost pędu rakiety będzie również stały. Odwołując się do Równania 9.15, stwierdzimy, że oznacza to obecność stałej siły działającej na rakietę i nadającej jej przyspieszenie.
  • W miarę upływu czasu masa rakiety (obejmująca także masę paliwa) maleje w sposób ciągły. Jeśli siła napędu rakiety się nie zmienia, przyspieszenie rakiety będzie rosnąć.
  • Zatem całkowita zmiana prędkości rakiety zależy w sposób nieliniowy od ilości zużytego paliwa.

Mamy więc do czynienia ze zmianami zarówno masy jak i prędkości rakiety, a także masy wyrzucanych gazów. Jeśli jako układ zdefiniujemy „rakietę plus paliwo”, to będzie to układ zamknięty (ponieważ rozważamy rakietę w przestrzeni kosmicznej, na układ nie działają siły zewnętrzne). W efekcie pęd układu będzie zachowany i możemy skorzystać z zasady zachowania pędu (Rysunek 9.33).

Na rysunku pokazano układ współrzędnych xy i rakietę poruszającą się poziomo z prędkością v w kierunku +x. Masa rakiety z paliwem wynosi m. Rakieta wyrzuca za sobą gazy o masie dm z indeksem g, poruszające się w lewo z prędkością u. Rakietę oraz gazy otoczono elipsą, nad którą napisano układ
Rysunek 9.33 Rakieta przyspiesza (w prawo) wyrzucając gazy z dyszy (w lewo). Zasada zachowania pędu pozwala na wyznaczenie prędkości rakiety po odrzucie. Masa m m jest chwilową wartością sumy masy własnej rakiety i znajdującego się w niej paliwa. (Źródło: zmodyfikowany przez NASA/Bill Ingalls)

Ze względu na zależność masy i prędkości od czasu, należy operować wielkościami chwilowymi dla konkretnego momentu na osi czasu. Definiujemy więc prędkość chwilową v = v i ^ v =v i ^ (w kierunku + x +x) mierzoną względem Ziemi. Pęd początkowy układu wyrażamy jako:

p przed = m v i ^ . p przed =mv i ^ .

Silniki rakietowe spalają paliwo ze stałą szybkością i wyrzucają gazy w kierunku x x. W infinitezymalnym przedziale czasu d t d t masa wyrzuconego gazu wynosi d m g d m g , a ich prędkość u = u i ^ u =u i ^ . Zwróćmy uwagę, że o ile prędkość rakiety v i ^ v i ^ mierzona jest względem Ziemi, prędkość wyrzucanych gazów mierzona jest względem poruszającej się rakiety. Przekształcając ją w odniesieniu do układu związanego z Ziemią, uzyskamy ( v u ) i ^ (vu) i ^ .

W następstwie wyrzucenia spalonych gazów masa rakiety zmalała o d m g d m g , a jej prędkość wzrosła o d v i ^ d v i ^ . Uwzględniając zmianę masy rakiety oraz wyrzuconych gazów, końcowy pęd układu obliczymy jako:

p po = p r + p g = ( m d m g ) ( v + d v ) i ^ + d m g ( v u ) i ^ . p po = p r + p g = ( m d m g ) ( v + d v ) i ^ + d m g ( v u ) i ^ .

Ponieważ wszystkie wektory skierowane są wzdłuż osi x x, możemy zrezygnować z notacji wektorowej. Stosując zasadę zachowania pędu, otrzymujemy:

pprzed=ppo,mv=mdmgv+dv+dmgvu,mv=mv+mdvdmgvdmgdv+dmgvdmgu,mdv=dmgdv+dmgu.pprzed=ppo,mv=mdmgv+dv+dmgvu,mv=mv+mdvdmgvdmgdv+dmgvdmgu,mdv=dmgdv+dmgu. \begin{align} p_{\text{przed}} &= p_{\text{po}} \text{,} \\ mv &= (m-\d m_{\text{g}})(v + \d v) + \d m_{\text{g}} (v-u) \text{,} \\ mv &= mv + m\d v - \d m_{\text{g}} v - \d m_{\text{g}} \d v + \d m_{\text{g}} v- \d m_{\text{g}} u \text{,} \\ m \d v &= \d m_{\text{g}} \d v + \d m_{\text{g}} u \text{.} \end{align}

Ponieważ d m g d m g i d v d v są bardzo małe, ich iloczyn jest tym bardziej znikomy w porównaniu z pozostałymi wyrazami w równaniu. Pomijając go, otrzymamy:

m d v = d m g u . m d v= d m g u.

Zauważmy, że d m g d m g reprezentuje masę wyrzuconych gazów, ale liczbowo jest ona równa ubytkowi masy rakiety:

d m g = d m . d m g = d m.

Po zastąpieniu d m g d m g w powyższym równaniu, uzyskamy:

m d v = d m u , m d v= d mu,

czyli:

d v = d m m u . d v= d m m u.

Całkujemy obustronnie od masy m 0 m 0 do masy m m rakiety:

v 0 v d v = u m 0 m d m m , v v 0 = u ln m 0 m . v 0 v d v = u m 0 m d m m , v v 0 = u ln m 0 m .

Odpowiedź na pytanie: „jak zmieni się prędkość rakiety?” brzmi więc następująco:

Δ v = u ln m 0 m . Δv=uln m 0 m .
9.42

To równanie znane jest pod nazwą równania ruchu rakiety (ang. rocket equation) lub wzoru Ciołkowskiego dla ruchu rakiety w próżni i przy braku grawitacji. Wzór ten, wyprowadzony przez rosyjskiego fizyka Konstantina Ciołkowskiego w roku 1897 wykazuje nieliniowy charakter zmian prędkości rakiety, której masa z paliwem wynosi m 0 m 0 , a masa bez paliwa równa jest m m.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: analiza zjawiska odrzutu

W typowych zagadnieniach opisujących ruch rakiety najczęściej poszukiwaną wielkością jest zmiana prędkości rakiety, wynikająca z faktu spalenia paliwa lub też związanego z tym przyspieszenia.

  1. Do wyznaczenia zmiany prędkości skorzystaj z Równania 9.42 Ciołkowskiego.
  2. Do wyznaczenia przyspieszenia określ siłę (na podstawie reguły pędu i popędu), a następnie zmianę prędkości (z równania Ciołkowskiego).

Przykład 9.20

Siła ciągu silników statku kosmicznego

Statek kosmiczny porusza się w przestrzeni kosmicznej po torze prostym, kiedy pilot postanawia przyspieszyć. Włącza w tym celu silniki, które wytwarzają strumień gazów o stałej szybkości wypływu masy równej 2 10 2 k g / s 2 10 2 k g / s , przy ich prędkości względem rakiety 2,5 10 2 m / s 2,5 10 2 m / s . Początkowa masa statku z paliwem wynosi 2 10 4 k g 2 10 4 k g , a czas pracy silników wynosił 30 s.
  1. Jaka jest siła ciągu silników statku?
  2. Wyznacz przyspieszenie statku w funkcji czasu.
  3. Jaka była wartość przyspieszenia statku w chwilach t = 0 s t=0 s , t = 15 s t=15 s , t = 30 s t=30 s , t = 35 s t=35 s ?

Strategia rozwiązania

  1. Na podstawie reguły pędu i popędu stwierdzamy, że siła ciągu silników będzie równa szybkości zmiany pędu statku.
  2. Znając siłę ciągu z podpunktu (a), skorzystamy z II zasady dynamiki Newtona do wyznaczenia przyspieszenia. Kluczowy jest tu fakt, że mimo stałej prędkości wyrzutu gazów z dyszy i stałej siły ciągu przyspieszenie rośnie, ponieważ maleje masa statku. Z tego powodu spodziewamy się zależności przyspieszenia od czasu.
  3. Odpowiedź wyliczoną w podpunkcie (b) wykorzystamy do wyznaczenia wartości liczbowych dla podanych momentów na osi czasu. Pamiętamy, że przyspieszenie powinno rosnąć, ponieważ zmniejsza się masa statku wskutek zużywania paliwa.

Rozwiązanie

  1. Pęd wyrzucanych gazów
    p = m g u . p = m g u .

    Prędkość wyrzucanych gazów u = 2,5 10 2 m / s u=2,5 10 2 m / s jest stała, zatem licząc pochodną po czasie otrzymamy siłę ciągu jako:
    F = d p d t = u d m g d t . F= d p d t =u d m g d t .

    Zauważmy, że d m g / d t d m g / d t jest szybkością wypływu masy wyrzucanych gazów, która zgodnie z treścią zadania wynosi 2 10 2 k g / s 2 10 2 k g / s . Po podstawieniu otrzymamy siłę ciągu silników:
    F = u d m g d t = 2,5 10 m / s 2,0 10 2 k g / s = 5,0 10 4 N . F=u d m g d t =2,5 10 m / s 2,0 10 2 k g / s =5,0 10 4 N .
  2. Masa statku to suma jego masy własnej oraz paliwa, które w danej chwili ów statek posiada: m = m r + m g m= m r + m g . Z II zasady dynamiki Newtona
    a = F m = F m r + m g . a= F m = F m r + m g .

    Siła ciągu i masa własna pustej rakiety to wielkości stałe, natomiast masa paliwa jest funkcją zależną od czasu:
    m g = m g ( t ) = m g ( 0 ) d m g d t t , m g = m g (t)= m g (0) d m g d t t,

    gdzie m g ( 0 ) m g (0) oznacza masę paliwa w rakiecie w chwili początkowej.
    Wobec tego:
    a = F M d m g d t t , a= F M d m g d t t ,

    gdzie M = m r + m g ( 0 ) = 2 10 4 k g M= m r + m g (0)=2 10 4 k g jest masą rakiety wraz z paliwem w chwili t = 0 t=0. Z powyższego wzoru wynika jawnie zależność przyspieszenia od czasu, która będzie funkcją rosnącą. Po podstawieniu danych z zadania:
    a = 5,0 10 4 N 2,0 10 4 k g 2,0 10 2 k g / s t . a= 5,0 10 4 N 2,0 10 4 k g 2,0 10 2 k g / s t .
  3. We wskazanych momentach:
    gdy t = 0 s t=0 s (kiedy tylko pojawia się siła ciągu silników):
    a ( 0 s ) = 5,0 10 4 N 2,0 10 4 k g 2,0 10 2 k g / s 0 s = 2,5 m / s 2 , a(0 s )= 5,0 10 4 N 2,0 10 4 k g 2,0 10 2 k g / s 0 s =2,5 m / s 2 ,

    gdy t = 15 s t=15 s , to a ( 15 s ) = 2,9 m / s 2 a(15 s )=2,9 m / s 2 ,
    gdy t = 30 s t=30 s , to a ( 30 s ) = 3,6 m / s 2 a(30 s )=3,6 m / s 2 ,
    ale gdy t = 35 s t=35 s , to a ( 35 s ) = 0 m / s 2 a(35 s )=0 m / s 2 , ponieważ F = 0 F=0 (silniki zostały wyłączone).
    W trakcie pracy silników, jak się spodziewaliśmy, przyspieszenie rosło.

Znaczenie

Zauważmy, że przyspieszenie nie jest stałe, co powoduje, że każda wielkość dynamiczna lub kinematyczna powinna być liczona z użyciem całki lub (w prostszym przypadku) z zasady zachowania energii całkowitej.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.14

Jaka jest fizyczna różnica (lub zależność) między d m / d t d m / d t i d m g / d t d m g / d t w powyższym przykładzie?

Rakieta w polu grawitacyjnym Ziemi

Przeanalizujmy teraz zmiany prędkości rakiety podczas fazy startu w polu grawitacyjnym Ziemi. Przyjmijmy, że w omawianym na tym etapie przedziale wysokości przyspieszenie grawitacyjne traktujemy jako stałe i wynoszące g g.

Analiza przebiega podobnie jak w przypadku rakiety w przestrzeni kosmicznej, z tym że uwzględniamy obecność stałej siły skierowanej pionowo w dół F = m g j ^ F =mg j ^ , działającej na nasz układ. Siła ta wytwarza impuls d J = F d t = m g d t j ^ d J = F d t=mg d t j ^ , który jest równy zmianie pędu:

d p = d J , p po p przed = m g d t j ^ , [ ( m d m g ) ( v + d v ) + d m g ( v u ) m v ] j ^ = m g d t j ^ . d p = d J , p po p przed = m g d t j ^ , [ ( m d m g ) ( v + d v ) + d m g ( v u ) m v ] j ^ = m g d t j ^ .

A zatem

m d v d m g u = m g d t , m d v d m g u=mg d t,

gdzie, podobnie jak poprzednio, pominęliśmy człon d m g d v d m g d v oraz zrezygnowaliśmy z zapisu wektorowego. Możemy także zamienić d m g d m g symbolem d m d m:

m d v + d m u = m g d t , m d v = d m u m g d t . m d v + d m u = m g d t , m d v = d m u m g d t .

Po podzieleniu przez m m otrzymujemy

d v = d m m u g d t , d v= d m m ug d t,

a po scałkowaniu:

Δ v = u ln m 0 m g Δ t , Δv=uln m 0 m gΔt,
9.43

przy czym Δ t Δ t oznacza czas trwania procesu spalania paliwa. Nikogo chyba nie dziwi, że ze względu na przyciąganie ziemskie zmiana prędkości rakiety będzie teraz mniejsza. Przy braku grawitacji nie miało znaczenia, ile czasu trwało zużycie całego paliwa – maksymalna zmiana prędkości nie była od tego zależna. W obecności siły grawitacji jednak okazuje się to istotne. Czynnik g Δ t gΔt w Równaniu 9.43 mówi nam, że im dłużej będzie trwało spalanie całego paliwa, tym mniejszą zmianę prędkości uzyskamy. Z tego powodu przy starcie rakiety moment jej poderwania jest zawsze tak spektakularnym widowiskiem. Ważne jest bowiem spalenie dużej ilości paliwa (i wypuszczenie ogromnej ilości gazów) w jak najkrótszym czasie – tak aby uzyskać możliwie największe Δ v Δ v .

Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.