William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać fizyczne znaczenie popędu siły (impulsu siły);
opisywać funkcję popędu siły;
wskazywać związek między popędem siły a zderzeniami;
stosować regułę o pędzie i popędzie do rozwiązywania zadań.

W poprzedniej sekcji zdefiniowaliśmy pęd obiektu, będący iloczynem jego masy i prędkości. Tym samym, jeżeli na skutek działania siły następuje zmiana prędkości ciała – zmienia się także jego pęd. To wskazuje na relację między pędem i siłą. Celem tego podrozdziału jest zbadanie i opisanie tejże relacji.

Załóżmy, że do pewnego ciała przez pewien czas przyłożono siłę. Oczywiście im większa siła, tym większej zmiany pędu ciała się spodziewamy. Podobnie im dłuższy czas działania siły, tym większa będzie zmiana pędu, jak pokazuje Ilustracja 9.5. Zatem wartość zmiany pędu będzie proporcjonalna zarówno do wartości działającej siły, jak i do czasu jej działania.

Na rysunku przedstawiono dwie sytuacje, w których na piłkę futbolową działa siła F, skierowana w prawo. Górny rysunek pokazuje, że czas działania siły wynosi t z indeksem 0, natomiast dolny, 2 razy t z indeksem 0. W pierwszej sytuacji, wektor zmiany pędu piłki, oznaczony czerwoną strzałką skierowaną także poziomo w prawo, jest krótszy i wynosi delta p, natomiast w drugiej jest dwa razy dłuższy i wynosi 2 delta p.

Ilustracja 9.5 Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do czasu działania siły. Na dolnym rysunku ta sama siła działa przez czas dwukrotnie dłuższy niż na górnym, powodując dwukrotnie większą zmianę pędu.

Zgodnie z regułami matematyki, jeżeli dana wielkość jest jednocześnie proporcjonalna do dwóch lub więcej wielkości, to jest proporcjonalna do ich iloczynu. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy popędem siły lub impulsem (ang. impulse), bądź też impulsem siły i oznaczamy symbolem $\vec{J}$ .

Popęd siły (impuls siły)

Niech $\vec{F}$ oznacza siłę działającą na ciało przez krótki (różniczkowy) przedział czasu $d t$ (Ilustracja 9.6). Popęd siły, wywieranej na ciało zdefiniowany jest jako

d \vec{J} = \vec{F} d t .

9.2

Na rysunku przedstawiono rakietę tenisową w momencie uderzania piłki. Do piłki dorysowano dwa wektory skierowane w prawo. Jeden z nich oznaczono jako Fdt, a drugi jako dJ.

Ilustracja 9.6 Siła wywierana na piłeczkę tenisową przez rakietę w przedziale czasu

d t

wytwarza popęd siły o kierunku i zwrocie identycznym z kierunkiem i zwrotem wektora tejże siły.

Całkowity popęd siły w przedziale czasu od chwili początkowej $t_{0}$ do końcowej $t_{1}$ wynosi

\vec{J} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d \vec{J} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{F} d t .

9.3

Z Równania 9.2 i Równania 9.3 wynika, że siła działająca przez infinitezymalnie krótki przedział czasu $d t$ , wywiera infinitezymalny popęd $d \vec{J}$ . Całkowity popęd siły zdefiniowany jest jako suma (ściślej: całka) owych infinitezymalnych wielkości.

Do obliczenia popędu siły na podstawie Równania 9.3, konieczna jest znajomość tejże siły w funkcji czasu $F (t)$ , co często nie jest możliwe. Możliwe jest jednak wyznaczenie poszukiwanej wielkości na podstawie wartości średniej funkcji dla danego przedziału zmiennej niezależnej. Przypomnijmy w tym miejscu, że wartość średnią $f_{śr}$ funkcji $f (x)$ w przedziale zmiennej niezależnej $Δ x = x_{1} - x_{0}$ obliczamy jako

f_{śr} = \frac{1}{Δ x} \int_{x_{0}}^{x_{1}} f (x) d x .

W przypadku siły $F$ , będącej funkcją czasu, otrzymujemy:

{\vec{F}}_{śr} = \frac{1}{Δ t} \int_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{F} (t) d t .

9.4

A zatem, na podstawie Równania 9.3, mamy

\vec{J} = {\vec{F}}_{śr} Δ t .

9.5

Widać więc, że można obliczyć popęd siły nawet nie znając dokładnej postaci zależności siły od czasu, jeżeli znana jest jej wartość średnia w analizowanym przedziale. Odwracając tok myślenia, możemy stwierdzić, że jeżeli z pomiarów lub obliczeń znany jest popęd siły, możliwe jest wyznaczenie wartości średniej siły działającej na ciało w danym przedziale czasu.

Chcąc wyznaczyć popęd siły, możemy skorzystać z Równania 9.3, stosując podstawienie $\vec{F} (t) = m \vec{a} (t)$

\vec{J} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{F} (t) d t = m \int_{t_{0}}^{t_{1}} \vec{a} (t) d t = m [\vec{v} (t_{1}) - \vec{v} (t_{0})] .

W przypadku siły niezależnej od czasu, jej wartość średnia i chwilowa są jednakowe: ${\vec{F}}_{śr} = \vec{F} = m \vec{a}$ , co pozwala na uproszczenie powyższego równania do postaci

\vec{J} = m \vec{a} Δ t = m [\vec{v} (t_{1}) - \vec{v} (t_{0})],

zatem

\vec{J} = m Δ \vec{v} .

9.6

Warto zauważyć, że całkowa postać Równania 9.3 jest słuszna także w przypadku siły niezależnej od czasu – wówczas jej symbol można wynieść przed całkę, co jest tożsame z obliczeniem siły średniej. Z łatwością przechodzimy więc do zapisu w postaci Równania 9.6.

Przykład 9.1

Krater meteorytowy w Arizonie (Krater Barringera)

Około 50 tys. lat temu w północnej Arizonie (USA) ogromny, liczący ok. 50 m średnicy meteoryt uderzył w powierzchnię Ziemi z prędkością ok.

1,28 \cdot 10^{4} m/s

. W następstwie zderzenia powstał istniejący do dziś krater o średnicy ok. 1200 m, głębokości 170 m, z obrzeżem wypiętrzonym na wysokość 45 m ponad otaczającą go pustynię (Ilustracja 9.7). Typowa gęstość meteorytów, zawierających głównie żelazo i nikiel, wynosi

7 970 k g {/m}^{3}

. Korzystając ze wzoru na popęd siły, wyznacz siłę średnią oraz maksymalną siłę, jaką meteoryt działał na powierzchnię Ziemi podczas zderzenia.

Zdjęcie lotnicze krateru Barringera. Nad brzegiem krateru widoczna grupa zabudowań, o rozmiarach małych w porównaniu do średnicy krateru.

Ilustracja 9.7 Krater Barringera (ang. Barringer Crater) we Flagstaff w Arizonie. Jest to najlepiej zbadany i jeden z najlepiej zachowanych kraterów uderzeniowych na Ziemi, zidentyfikowany w roku 1903 przez amerykańskiego geologa i przemysłowca Daniela Barringera jako krater meteorytowy. (Źródło: „Shane.torgerson”/Wikimedia Commons).

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie zadania stanie się łatwiejsze, jeżeli – odwracając problem – obliczymy siłę, z jaką Ziemia oddziaływała na meteoryt, zatrzymując go. Siła ta, na mocy III zasady dynamiki Newtona, będzie co do wartości równa sile, z którą meteoryt uderzył w Ziemię, natomiast w ujęciu wektorowym – będzie zwrócona przeciwnie i przyłożona do środka masy meteorytu.

Korzystając z danych w treści zadania i zakładając dla ułatwienia kulisty kształt meteorytu oraz czas jego zderzenia z Ziemią wynoszący maksymalnie 2 s – możemy zastosować Równanie 9.6 i wyznaczyć najpierw popęd siły. Następnie skorzystamy z relacji pomiędzy siłą i popędem siły (Równanie 9.5) i określimy średnią wartości siły podczas zderzenia. W kolejnym kroku wybierzemy funkcję reprezentującą zależność siły od czasu, z Równania 9.4 wyznaczymy wartość średnią tejże siły i przekształcimy do postaci wyrażenia na siłę średnią. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie opisywać będzie wartości siły maksymalnej.

Rozwiązanie

Oznaczmy kierunek pionowy ku górze jako kierunek osi

+ y

(kierunek ten we wzorach oznaczony będzie wersorem osi

+ \hat{j}

). Dla uproszczenia przyjmijmy, że meteoryt spadał na Ziemię dokładnie pionowo, na co wskazuje symetryczny kształt krateru uderzeniowego. W tej sytuacji prędkość początkowa meteorytu posiada wyłącznie składową pionową skierowaną w dół:

{\vec{v}}_{0} = - v_{0} \hat{j}

, zaś siła, jaką Ziemia wywiera na meteoryt, skierowana jest w górę:

\vec{F} (t) = + F (t) \hat{j}

. W chwili upadku sytuacja przedstawia się więc jak na rysunku poniżej: Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych xy. Obszar pod osią poziomą został zacieniowany i opatrzony nazwą Ziemia. W środku układu współrzędnych umieszczono meteor o kulistym kształcie. Wzdłuż osi +y narysowano wektor siły zależnej od czasu, F od t. Pionowo w dół, zgodnie z kierunkiem minus y, skierowano drugi wektor: p0 = m razy v0.

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych xy. Obszar pod osią poziomą został zacieniowany i opatrzony nazwą Ziemia. W środku układu współrzędnych umieszczono meteor o kulistym kształcie. Wzdłuż osi +y narysowano wektor siły zależnej od czasu, F od t. Pionowo w dół, zgodnie z kierunkiem minus y, skierowano drugi wektor: p0 = m razy v0.

Średnia wartość siły podczas zderzenia związana jest z popędem siły relacją:

{\vec{F}}_{śr} = \frac{\vec{J}}{Δ t} .

Z Równania 9.6 otrzymujemy zatem

{\vec{F}}_{śr} = \frac{m Δ \vec{v}}{Δ t} .

Masa meteorytu jest równa iloczynowi jego gęstości i objętości:

m = ρ V .

Zakładając kulisty kształt meteorytu, jego objętość wyrażamy wzorem:

V = \frac{4}{3} π R^{3} .

Możemy obliczyć wówczas, że

{\vec{F}}_{śr} = \frac{ρ V Δ \vec{v}}{Δ t} = ρ \frac{\frac{4}{3} π R^{3}}{Δ t} [\vec{v} (t_{1}) - \vec{v} (t_{0})] .

Z treści zadania wynika, że prędkość początkowa meteorytu wynosiła $- 1,28 \cdot 10^{4} m / s \cdot \hat{j}$ , a jego prędkość końcowa była równa zeru. Przyjmujemy dodatkowo, że czas zderzenia meteorytu z Ziemią wynosił $Δ t = t_{max} - t_{0} = 2 s$ . Zatem średnia siła, z jaką Ziemia działała na meteoryt podczas zderzenia, wynosi

{\vec{F}}_{śr} = 7 970 k g / m^{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} π \cdot {(25 m)}^{3}}{2 s} \cdot [0 m / s - (- 1,28 \cdot 10^{4} m / s \cdot \hat{j})] = 3,33 \cdot 10^{12} N \cdot \hat{j} .

i jest skierowana ku górze. Zauważmy, że tak samo skierowany jest wektor zmiany prędkości meteorytu $Δ \vec{v}$ .

W następnym kroku obliczamy siłę maksymalną. Popęd siły związany jest z funkcją siły zależnością:

\vec{J} = \int_{t_{0}}^{t_{max}} \vec{F} (t) d t .

Należy teraz przyjąć pewną postać funkcji, która będzie spełniała logiczne skądinąd założenia, że siła była maksymalna w chwili uderzenia meteorytu o Ziemię (w chwili $t_{0} = 0$ ), a następnie gwałtownie zmalała do zera w przedziale czasu równym 2 s. Funkcją, która spełnia powyższe warunki ma postać:

F (t) = F_{max} e^{\frac{- t^{2}}{2 τ^{2}}} .

(parametr $τ$ określa, jak szybko funkcja maleje do zera). Siłę średnią wyliczamy, korzystając ze wzoru:

F_{śr} = \frac{1}{Δ t} \int_{t_{0}}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{- t^{2}}{2 τ^{2}}} d t,

gdzie $Δ t = t_{max} - 0 s = 2 s$ . Ponadto przyjmijmy, że $τ = t_{max} / e$ (jest to częste podstawienie, jak przekonasz się w następnych rozdziałach). Po scałkowaniu powyższego wyrażenia otrzymujemy:

F_{śr} = 0,458 F_{max} = 3,33 \cdot 10^{12} N .

Siła maksymalna wynosi zatem

F_{max} = 7,27 \cdot 10^{12} N .

Pełen zapis funkcji siły hamującej ruch meteorytu ma więc postać:

\vec{F} (t) = 7,27 \cdot 10^{12} N \cdot e^{\frac{- t^{2}}{8 s^{2}}} \cdot \hat{j},

natomiast siła, którą meteoryt działał na Ziemię – na mocy III zasady dynamiki Newtona – jest wyrażona wzorem:

\vec{F} (t) = - 7,27 \cdot 10^{12} N \cdot e^{\frac{- t^{2}}{8 s^{2}}} \cdot \hat{j},

który stanowi odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu.

Znaczenie

Przebieg otrzymanej funkcji zawiera bardzo cenne informacje. Na Ilustracji 9.8 pokazano zależność funkcji

F

oraz siły średniej

F_{śr}

od czasu.

Ilustracja 9.8 Wykres zależności

F_{śr}

(linia czerwona) i

F

(linia niebieska) od czasu w przypadku zderzenia meteorytu z Ziemią. Pola powierzchni pod wykresami są jednakowe i liczbowo równe wartości popędu siły udzielonego Ziemi podczas zderzenia.

Zauważmy, że pola pod wykresami pokolorowano. Warto pamiętać, że pole pod wykresem danej funkcji jest równe wartości całki z tej funkcji, obliczonej w oznaczonych granicach. Dla wykresu stałej siły $F_{śr}$ , pole to jest prostokątem, którego wartość odpowiada iloczynowi $F_{ś r} Δ t$ i na mocy związku pomiędzy średnią siłą a popędem siły wynosi $J$ . W przypadku wykresu siły $F (t)$ , na mocy Równania 9.3, całka ta również wynosi $J$ . Zatem oba pola są równe i oba reprezentują wartość popędu siły udzielonego Ziemi przez meteoryt podczas dwusekundowego zderzenia. Średnia siła rzędu $10^{12} N$ wydaje się ogromna i rzeczywiście taka jest. Jednak w przypadku obiektu tak ciężkiego jak Ziemia – jest ona w zasadzie ledwo zauważalna. Istotnie, jeśli wyliczyć z II zasady dynamiki Newtona przyspieszenie Ziemi spowodowane działaniem tejże siły, otrzymamy wartość zupełnie niemierzalną:

\vec{a} = \frac{- {\vec{F}}_{śr}}{M_{z}} = \frac{- 3,33 \cdot 10^{12} N \cdot \hat{j}}{5,97 \cdot 10^{24} k g} = - 5,6 \cdot 10^{- 13} m / s^{2} \cdot \hat{j} .

Uderzenie meteorytu spowodowało jednak powstanie fali sejsmicznej, która zostałaby zarejestrowana przez współczesne detektory.

Przykład 9.2

Korzyści ze znajomości pojęcia popędu siły

Samochód jadący z prędkością 27 m/s uderza w budynek. Zderzenie to powoduje zatrzymanie samochodu w czasie 1 s. Kierowca o ciężarze 860 N chroniony jest przez system pasów bezpieczeństwa (ang. seatbelt) o zmiennym napięciu oraz poduszkę powietrzną (ang. airbag) (Ilustracja 9.9). W rezultacie kierowca zderza się z napiętym pasem i poduszką, a nie z budynkiem. Poduszka i pasy redukują jego prędkość tak, że zatrzymuje się on faktycznie po ok. 2,5 s.

Jaka średnia siła działa na kierowcę podczas zderzenia?
Bez pasów i poduszki czas zderzenia kierowcy z kierownicą wynosiłby ok. 0,2 s. Działania jakiej siły doświadczyłby wówczas kierowca?

Na rysunku przedstawiono widok samochodu przed i po zderzeniu ze ścianą. Przed zderzeniem prędkość auta skierowana jest w prawo i wynosi 27 m/s, po zderzeniu wynosi 0, natomiast pasażer doznaje działania siły minus F, skierowanej poziomo w lewo.

Ilustracja 9.9 Ruch samochodu i kierowcy chwilę przed i chwilę po zderzeniu ze ścianą. Kierowca poddany zostaje działaniu ogromnej siły hamującej, działającej przeciwnie do ruchu

- \vec{F}

, wywołanej napięciem pasów i zderzeniem z poduszką. Ostatecznie wytraca on swoją prędkość do zera (siła w kierunku „do przodu”, wynikająca z działania oparcia fotela, jest znacznie mniejsza niż wymienione i zostanie pominięta w dalszej części zadania).