Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

9.2 Popęd siły i zderzenia

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 19.2 Popęd siły i zderzenia
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • wyjaśniać fizyczne znaczenie popędu siły (impulsu siły);
  • opisywać funkcję popędu siły;
  • wskazywać związek między popędem siły a zderzeniami;
  • stosować regułę o pędzie i popędzie do rozwiązywania zadań.

W poprzedniej sekcji zdefiniowaliśmy pęd obiektu, będący iloczynem jego masy i prędkości. Tym samym, jeżeli na skutek działania siły następuje zmiana prędkości ciała – zmienia się także jego pęd. To wskazuje na relację między pędem i siłą. Celem tego podrozdziału jest zbadanie i opisanie tejże relacji.

Załóżmy, że do pewnego ciała przez pewien czas przyłożono siłę. Oczywiście im większa siła, tym większej zmiany pędu ciała się spodziewamy. Podobnie im dłuższy czas działania siły, tym większa będzie zmiana pędu, jak pokazuje Rysunek 9.5. Zatem wartość zmiany pędu będzie proporcjonalna zarówno do wartości działającej siły, jak i do czasu jej działania.

Na rysunku przedstawiono dwie sytuacje, w których na piłkę futbolową działa siła F, skierowana w prawo. Górny rysunek pokazuje, że czas działania siły wynosi t z indeksem 0, natomiast dolny, 2 razy t z indeksem 0. W pierwszej sytuacji, wektor zmiany pędu piłki, oznaczony czerwoną strzałką skierowaną także poziomo w prawo, jest krótszy i wynosi delta p, natomiast w drugiej jest dwa razy dłuższy i wynosi 2 delta p.
Rysunek 9.5 Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do czasu działania siły. Na dolnym rysunku ta sama siła działa przez czas dwukrotnie dłuższy niż na górnym, powodując dwukrotnie większą zmianę pędu.

Zgodnie z regułami matematyki, jeżeli dana wielkość jest jednocześnie proporcjonalna do dwóch lub więcej wielkości, to jest proporcjonalna do ich iloczynu. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy popędem siły lub impulsem (ang. impulse), bądź też impulsem siły i oznaczamy symbolem J J .

Popęd siły (impuls siły)

Niech F F oznacza siłę działającą na ciało przez krótki (różniczkowy) przedział czasu d t d t (Rysunek 9.6). Popęd siły, wywieranej na ciało zdefiniowany jest jako

d J = F d t . d J = F d t.
9.2
Na rysunku przedstawiono rakietę tenisową w momencie uderzania piłki. Do piłki dorysowano dwa wektory skierowane w prawo. Jeden z nich oznaczono jako Fdt, a drugi jako dJ.
Rysunek 9.6 Siła wywierana na piłeczkę tenisową przez rakietę w przedziale czasu d t d t wytwarza popęd siły o kierunku i zwrocie identycznym z kierunkiem i zwrotem wektora tejże siły.

Całkowity popęd siły w przedziale czasu od chwili początkowej t 0 t 0 do końcowej t 1 t 1 wynosi

J = t 0 t 1 d J = t 0 t 1 F d t . J = t 0 t 1 d J = t 0 t 1 F d t.
9.3

Z Równania 9.2 i Równania 9.3 wynika, że siła działająca przez infinitezymalnie krótki przedział czasu d t d t , wywiera infinitezymalny popęd d J d J . Całkowity popęd siły zdefiniowany jest jako suma (ściślej: całka) owych infinitezymalnych wielkości.

Do obliczenia popędu siły na podstawie Równania 9.3, konieczna jest znajomość tejże siły w funkcji czasu F ( t ) F ( t ) , co często nie jest możliwe. Możliwe jest jednak wyznaczenie poszukiwanej wielkości na podstawie wartości średniej funkcji dla danego przedziału zmiennej niezależnej. Przypomnijmy w tym miejscu, że wartość średnią f śr f śr funkcji f ( x ) f ( x ) w przedziale zmiennej niezależnej Δ x = x 1 x 0 Δ x = x 1 x 0 obliczamy jako

f śr = 1 Δ x x 0 x 1 f ( x ) d x . f śr = 1 Δ x x 0 x 1 f(x) d x.

W przypadku siły F F, będącej funkcją czasu, otrzymujemy:

F śr = 1 Δ t t 0 t 1 F ( t ) d t . F śr = 1 Δ t t 0 t 1 F (t) d t.
9.4

A zatem, na podstawie Równania 9.3, mamy

J = F śr Δ t . J = F śr Δt.
9.5

Widać więc, że można obliczyć popęd siły nawet nie znając dokładnej postaci zależności siły od czasu, jeżeli znana jest jej wartość średnia w analizowanym przedziale. Odwracając tok myślenia, możemy stwierdzić, że jeżeli z pomiarów lub obliczeń znany jest popęd siły, możliwe jest wyznaczenie wartości średniej siły działającej na ciało w danym przedziale czasu.

Chcąc wyznaczyć popęd siły, możemy skorzystać z Równania 9.3, stosując podstawienie F ( t ) = m a ( t ) F (t)=m a (t)

J = t 0 t 1 F ( t ) d t = m t 0 t 1 a ( t ) d t = m [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] . J = t 0 t 1 F (t) d t=m t 0 t 1 a (t) d t=m [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] .

W przypadku siły niezależnej od czasu, jej wartość średnia i chwilowa są jednakowe: F śr = F = m a F śr = F =m a , co pozwala na uproszczenie powyższego równania do postaci

J = m a Δ t = m [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] , J =m a Δt=m [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] ,

zatem

J = m Δ v . J =mΔ v .
9.6

Warto zauważyć, że całkowa postać Równania 9.3 jest słuszna także w przypadku siły niezależnej od czasu – wówczas jej symbol można wynieść przed całkę, co jest tożsame z obliczeniem siły średniej. Z łatwością przechodzimy więc do zapisu w postaci Równania 9.6.

Przykład 9.1

Krater meteorytowy w Arizonie (Krater Barringera)

Około 50 tys. lat temu w północnej Arizonie (USA) ogromny, liczący ok. 50 m średnicy meteoryt uderzył w powierzchnię Ziemi z prędkością ok. 1,28 10 4 m/s 1,28 10 4 m/s . W następstwie zderzenia powstał istniejący do dziś krater o średnicy ok. 1200 m, głębokości 170 m, z obrzeżem wypiętrzonym na wysokość 45 m ponad otaczającą go pustynię (Rysunek 9.7). Typowa gęstość meteorytów, zawierających głównie żelazo i nikiel, wynosi 7 970 k g /m 3 7970 k g /m 3 . Korzystając ze wzoru na popęd siły, wyznacz siłę średnią oraz maksymalną siłę, jaką meteoryt działał na powierzchnię Ziemi podczas zderzenia.
Zdjęcie lotnicze krateru Barringera. Nad brzegiem krateru widoczna grupa zabudowań, o rozmiarach małych w porównaniu do średnicy krateru.
Rysunek 9.7 Krater Barringera (ang. Barringer Crater ) we Flagstaff w Arizonie. Jest to najlepiej zbadany i jeden z najlepiej zachowanych kraterów uderzeniowych na Ziemi, zidentyfikowany w roku 1903 przez amerykańskiego geologa i przemysłowca Daniela Barringera jako krater meteorytowy. (Źródło: „Shane.torgerson”/Wikimedia Commons).

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie zadania stanie się łatwiejsze, jeżeli – odwracając problem – obliczymy siłę, z jaką Ziemia oddziaływała na meteoryt, zatrzymując go. Siła ta, na mocy III zasady dynamiki Newtona, będzie co do wartości równa sile, z którą meteoryt uderzył w Ziemię, natomiast w ujęciu wektorowym – będzie zwrócona przeciwnie i przyłożona do środka masy meteorytu.

Korzystając z danych w treści zadania i zakładając dla ułatwienia kulisty kształt meteorytu oraz czas jego zderzenia z Ziemią wynoszący maksymalnie 2 s – możemy zastosować Równanie 9.6 i wyznaczyć najpierw popęd siły. Następnie skorzystamy z relacji pomiędzy siłą i popędem siły (Równanie 9.5) i określimy średnią wartości siły podczas zderzenia. W kolejnym kroku wybierzemy funkcję reprezentującą zależność siły od czasu, z Równania 9.4 wyznaczymy wartość średnią tejże siły i przekształcimy do postaci wyrażenia na siłę średnią. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie opisywać będzie wartości siły maksymalnej.

Rozwiązanie

Oznaczmy kierunek pionowy ku górze jako kierunek osi + y +y (kierunek ten we wzorach oznaczony będzie wersorem osi + j ^ + j ^ ). Dla uproszczenia przyjmijmy, że meteoryt spadał na Ziemię dokładnie pionowo, na co wskazuje symetryczny kształt krateru uderzeniowego. W tej sytuacji prędkość początkowa meteorytu posiada wyłącznie składową pionową skierowaną w dół: v 0 = v 0 j ^ v 0 = v 0 j ^ , zaś siła, jaką Ziemia wywiera na meteoryt, skierowana jest w górę: F ( t ) = + F ( t ) j ^ F (t)=+F(t) j ^ . W chwili upadku sytuacja przedstawia się więc jak na rysunku poniżej: Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych xy. Obszar pod osią poziomą został zacieniowany i opatrzony nazwą Ziemia. W środku układu współrzędnych umieszczono meteor o kulistym kształcie. Wzdłuż osi +y narysowano wektor siły zależnej od czasu, F od t. Pionowo w dół, zgodnie z kierunkiem minus y, skierowano drugi wektor: p0 = m razy v0.

Średnia wartość siły podczas zderzenia związana jest z popędem siły relacją:

F śr = J Δ t . F śr = J Δ t .

Z Równania 9.6 otrzymujemy zatem

F śr = m Δ v Δ t . F śr = m Δ v Δ t .

Masa meteorytu jest równa iloczynowi jego gęstości i objętości:

m = ρ V . m = ρ V .

Zakładając kulisty kształt meteorytu, jego objętość wyrażamy wzorem:

V = 4 3 π R 3 . V = 4 3 π R 3 .

Możemy obliczyć wówczas, że

F śr = ρ V Δ v Δ t = ρ 4 3 π R 3 Δ t [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] . F śr = ρ V Δ v Δ t =ρ 4 3 π R 3 Δ t [ v ( t 1 ) v ( t 0 ) ] .

Z treści zadania wynika, że prędkość początkowa meteorytu wynosiła 1,28 10 4 m / s j ^ 1,28 10 4 m / s j ^ , a jego prędkość końcowa była równa zeru. Przyjmujemy dodatkowo, że czas zderzenia meteorytu z Ziemią wynosił Δ t = t max t 0 = 2 s Δt= t max t 0 =2 s . Zatem średnia siła, z jaką Ziemia działała na meteoryt podczas zderzenia, wynosi

F śr = 7 970 k g / m 3 4 3 π ( 25 m ) 3 2 s [ 0 m / s ( 1,28 10 4 m / s j ^ ) ] = 3,33 10 12 N j ^ . F śr =7970 k g / m 3 4 3 π ( 25 m ) 3 2 s [ 0 m / s ( 1,28 10 4 m / s j ^ ) ] =3,33 10 12 N j ^ .

i jest skierowana ku górze. Zauważmy, że tak samo skierowany jest wektor zmiany prędkości meteorytu Δ v Δ v .

W następnym kroku obliczamy siłę maksymalną. Popęd siły związany jest z funkcją siły zależnością:

J = t 0 t max F ( t ) d t . J = t 0 t max F (t) d t.

Należy teraz przyjąć pewną postać funkcji, która będzie spełniała logiczne skądinąd założenia, że siła była maksymalna w chwili uderzenia meteorytu o Ziemię (w chwili t 0 = 0 t 0 = 0 ), a następnie gwałtownie zmalała do zera w przedziale czasu równym 2 s. Funkcją, która spełnia powyższe warunki ma postać:

F ( t ) = F max e t 2 2 τ 2 . F(t)= F max e t 2 2 τ 2 .

(parametr τ τ określa, jak szybko funkcja maleje do zera). Siłę średnią wyliczamy, korzystając ze wzoru:

F śr = 1 Δ t t 0 t max F max e t 2 2 τ 2 d t , F śr = 1 Δ t t 0 t max F max e t 2 2 τ 2 d t,

gdzie Δ t = t max 0 s = 2 s Δt= t max 0 s =2 s . Ponadto przyjmijmy, że τ = t max / e τ= t max /e (jest to częste podstawienie, jak przekonasz się w następnych rozdziałach). Po scałkowaniu powyższego wyrażenia otrzymujemy:

F śr = 0,458 F max = 3,33 10 12 N . F śr =0,458 F max =3,33 10 12 N .

Siła maksymalna wynosi zatem

F max = 7,27 10 12 N . F max =7,27 10 12 N .

Pełen zapis funkcji siły hamującej ruch meteorytu ma więc postać:

F ( t ) = 7,27 10 12 N e t 2 8 s 2 j ^ , F (t)=7,27 10 12 N e t 2 8 s 2 j ^ ,

natomiast siła, którą meteoryt działał na Ziemię – na mocy III zasady dynamiki Newtona – jest wyrażona wzorem:

F ( t ) = 7,27 10 12 N e t 2 8 s 2 j ^ , F (t)=7,27 10 12 N e t 2 8 s 2 j ^ ,

który stanowi odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu.

Znaczenie

Przebieg otrzymanej funkcji zawiera bardzo cenne informacje. Na Rysunku 9.8 pokazano zależność funkcji FF oraz siły średniej F śr F śr od czasu.
Wykres przedstawia przebieg zależności siły oraz siły średniej jako funkcji czasu podczas uderzenia meteoru o ziemię. Oś pozioma jest osią czasu od 0 do 2 sekund. Oś pionowa jest osią wartości siły wyrażonej w niutonach, w przedziale od 0 do 8 razy 10 do 12. W chwili t = 0 siła ma wartość maksymalną prawie 8 razy 10 do 12 niutona i maleje niemal do 0 dla t = 2s. Siła średnia jest stała na poziomie około 3,5 razy 10 do 12 niutona. Pola pod krzywymi zostały zacieniowane i, zgodnie z opisem na rysunku, są sobie równe.
Rysunek 9.8 Wykres zależności F śr F śr (linia czerwona) i F F (linia niebieska) od czasu w przypadku zderzenia meteorytu z Ziemią. Pola powierzchni pod wykresami są jednakowe i liczbowo równe wartości popędu siły udzielonego Ziemi podczas zderzenia.

Zauważmy, że pola pod wykresami pokolorowano. Warto pamiętać, że pole pod wykresem danej funkcji jest równe wartości całki z tej funkcji, obliczonej w oznaczonych granicach. Dla wykresu stałej siły F śr F śr , pole to jest prostokątem, którego wartość odpowiada iloczynowi F ś r Δ t F ś r Δ t i na mocy związku pomiędzy średnią siłą a popędem siły wynosi J J. W przypadku wykresu siły F ( t ) F(t), na mocy Równania 9.3, całka ta również wynosi J J. Zatem oba pola są równe i oba reprezentują wartość popędu siły udzielonego Ziemi przez meteoryt podczas dwusekundowego zderzenia. Średnia siła rzędu 10 12 N 10 12 N wydaje się ogromna i rzeczywiście taka jest. Jednak w przypadku obiektu tak ciężkiego jak Ziemia – jest ona w zasadzie ledwo zauważalna. Istotnie, jeśli wyliczyć z II zasady dynamiki Newtona przyspieszenie Ziemi spowodowane działaniem tejże siły, otrzymamy wartość zupełnie niemierzalną:

a = F śr M z = 3,33 10 12 N j ^ 5,97 10 24 k g = 5,6 10 13 m / s 2 j ^ . a = F śr M z = 3,33 10 12 N j ^ 5,97 10 24 k g =5,6 10 13 m / s 2 j ^ .

Uderzenie meteorytu spowodowało jednak powstanie fali sejsmicznej, która zostałaby zarejestrowana przez współczesne detektory.

Przykład 9.2

Korzyści ze znajomości pojęcia popędu siły

Samochód jadący z prędkością 27 m/s uderza w budynek. Zderzenie to powoduje zatrzymanie samochodu w czasie 1 s. Kierowca o ciężarze 860 N chroniony jest przez system pasów bezpieczeństwa (ang. seatbelt) o zmiennym napięciu oraz poduszkę powietrzną (ang. airbag) (Rysunek 9.9). W rezultacie kierowca zderza się z napiętym pasem i poduszką, a nie z budynkiem. Poduszka i pasy redukują jego prędkość tak, że zatrzymuje się on faktycznie po ok. 2,5 s.
  1. Jaka średnia siła działa na kierowcę podczas zderzenia?
  2. Bez pasów i poduszki czas zderzenia kierowcy z kierownicą wynosiłby ok. 0,2 s. Działania jakiej siły doświadczyłby wówczas kierowca?
Na rysunku przedstawiono widok samochodu przed i po zderzeniu ze ścianą. Przed zderzeniem prędkość auta skierowana jest w prawo i wynosi 27 m/s, po zderzeniu wynosi 0, natomiast pasażer doznaje działania siły minus F, skierowanej poziomo w lewo.
Rysunek 9.9 Ruch samochodu i kierowcy chwilę przed i chwilę po zderzeniu ze ścianą. Kierowca poddany zostaje działaniu ogromnej siły hamującej, działającej przeciwnie do ruchu F F , wywołanej napięciem pasów i zderzeniem z poduszką. Ostatecznie wytraca on swoją prędkość do zera (siła w kierunku „do przodu”, wynikająca z działania oparcia fotela, jest znacznie mniejsza niż wymienione i zostanie pominięta w dalszej części zadania).

Strategia rozwiązania

Znany jest ciężar kierowcy, jego początkowa i końcowa prędkość oraz czas zderzenia. W zadaniu niewiadomą jest siła, zatem Równanie 9.5 i Równanie 9.6 na popęd siły wydają się być użyteczne.

Rozwiązanie

  1. Oznaczmy kierunek ruchu pojazdu jako + x +x (kierunek ten we wzorach oznaczony będzie wersorem osi + i ^ + i ^ ). Wiemy, że
    J = F śr Δ t , J = F śr Δt,
    9.7
    oraz
    J = m Δ v . J =mΔ v .
    9.8
    Z przyrównania obu równań otrzymujemy:
    F śr Δ t = m Δ v . F śr Δt=mΔ v .
    9.9
    Chcąc wyznaczyć masę człowieka, gdy znany jest jego ciężar, skorzystamy z zależności Q = m g Q=mg:
    m = 860 N 9,8 m / s 2 = 87,6 k g . m= 860 N 9,8 m / s 2 =87,6 k g .
    9.10
    Wiedząc, że Δ v = v 1 v 0 Δ v = v 1 v 0 oraz że prędkość końcowa kierowcy wynosi zero, wyznaczamy siłę jako:
    F śr = m Δ t [ v 1 v 0 ] = 87,8 k g 2,5 s ( 0 m / s 27 m / s i ^ ) = 948 N i ^ . F śr = m Δ t [ v 1 v 0 ] = 87,8 k g 2,5 s ( 0 m / s 27 m / s i ^ ) =948 N i ^ .
    9.11
    Znak minus wskazuje, że działająca na kierowcę siła, spowalnia go. Wartość tej siły wynosi około 1,1 ciężaru kierowcy.
  2. Wykonując analogiczne obliczenia dla przedziału czasu równego 0,20 s (zderzenie bez udziału pasów i poduszki), otrzymujemy:
    F śr = 87,8 k g 0,2 s ( 0 m / s 27 m / s i ^ ) = 11 853 N i ^ . F śr = 87,8 k g 0,2 s ( 0 m / s 27 m / s i ^ ) =11853 N i ^ .
    9.12
    Jej wartość jest 14 razy większa niż ciężar kierowcy. To ogromna różnica!

Znaczenie

Rozwiązując powyższe zadanie, mogliśmy się przekonać, jak ważną rolę odgrywa poduszka powietrzna w redukowaniu sił działających na człowieka podczas zderzenia. Z tego powodu już od początku lat 90. ubiegłego wieku wyposażenie samochodów osobowych w takie poduszki stało się wymogiem w Europie, Azji i Stanach Zjednoczonych. Pamiętajmy, że niezależnie od zastosowania poduszki – zmiana pędu podczas zderzenia jest jednakowa. Użycie poduszki powietrznej sprawia jednak, że siła działająca na człowieka staje się ewidentnie mniejsza!

Rola popędu siły (impulsu)

Ponieważ impuls to efekt działania siły w określonym przedziale czasu, jego skutkiem jest wywołanie zmian w ruchu ciała. Przypomnijmy Równanie 9.6:

J = m Δ v . J =mΔ v .

Ponieważ znany nam już iloczyn m v m v definiuje pęd, iloczyn m Δ v mΔ v oznacza zmianę pędu, co prowadzi do relacji zwanej regułą pędu i popędu (ang. impulse-momentum theorem).

reguła pędu i popędu

Popęd siły (impuls) udzielony układowi powoduje zmianę pędu tegoż układu. Zmiana ta jest równa działającemu impulsowi:

J = Δ p . J =Δ p .
9.13

Regułę pędu i popędu ilustruje poniższy Rysunek 9.10.

Na rysunku pokazano widok piłki futbolowej, opatrzony wektorami: wektor v0 skierowany poziomo w prawo, wektor p0 także poziomo w prawo oraz wektor J skierowany ukośnie w prawo i w dół. Ten rysunek opisano słowami: Piłce udzielony zostaje impuls. Kolejny rysunek, dokładnie pod rysunkiem poprzednim, pokazuje wektor p0 skierowany poziomo w prawo wraz z dorysowanym do jego końca wektorem J, skierowanym ukośnie w prawo i w dół. Na prawo od kombinacji wektorów narysowano znak równości i wektor p1, skierowany także ukośnie w prawo w dół, pod nieco mniejszym kątem do poziomu. Nad wektorami napisano „p0 plus J równe p1”. Opis tej części rysunku brzmi: Impuls dodaje się do początkowego pędu. Następny rysunek, dokładnie pod poprzednim, pokazuje wektor J ukośnie w prawo i w dół równe wektorowi p1 z dorysowanym do jego końca wektorem minus p0, skierowanym poziomo w lewo, a następnie wektor delta p, skierowany identycznie jak wektor J – ukośnie w prawo i w dół. Opis tego rysunku brzmi: zmiana pędu jest równa impulsowi. Najniższe piętro rysunku przedstawia ponownie piłkę futbolową z dorysowanymi do niej wektorami v1 i p1, równoległymi do siebie i skierowanymi ukośnie w prawo i w dół, podobnie jak na rysunku wyżej wektor p1. Ta część rysunku opisana jest tekstem: po zadziałaniu impulsu piłka posiada pęd końcowy p1 i prędkość v1.
Rysunek 9.10 Ilustracja zasady pędu i popędu. (a) Piłce poruszającej się z prędkością początkową v 0 v 0 i początkowym pędem p 0 p 0 przekazany został impuls siły J J . (b) Impuls dodaje się wektorowo do posiadanego już przez piłkę pędu początkowego. (c) Impuls równa się zatem zmianie pędu: J = Δ p J = Δ p . (d) Po przekazaniu popędu piłka porusza się z nowym pędem p 1 p 1 i nową prędkością v 1 v 1 .

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na dwie istotne cechy reguły pędu i popędu:

  1. Impuls jest wielkością wektorową; efekt zadziałania impulsu 10 N s i ^ 10 N s i ^ będzie inny niż impulsu + 10 N s i ^ +10 N s i ^ , gdyż wywoła zupełnie inną zmianę w ruchu, np. hamowanie albo przyspieszanie ciała.
  2. Impuls nie jest źródłem pędu; powoduje natomiast zmianę pędu danego obiektu. Należy zatem rozumieć go zawsze jako różnicę wektorów pędu końcowego i początkowego tegoż obiektu (oraz pamiętać o znakach poszczególnych wektorów!).

Reguła pędu i popędu najczęściej wykorzystywana jest do wyznaczania działającej siły lub obliczania zmiany prędkości ciała wskutek działania tejże siły.

Strategia rozwiązywania zadań

Strategia rozwiązywania zadań: reguła pędu i popędu

Typowa strategia rozwiązywania zadań na podstawie tej reguły obejmuje trzy kroki:
  1. Wyraź impuls jako iloczyn siły i czasu jej działania.
  2. Wyraź impuls jako zmianę pędu m Δ v mΔv.
  3. Przyrównaj obie zależności i wyznacz poszukiwane wielkości.

Przykład 9.3

Podróż statkiem Enterprise

Zdjęcie statku Enterprise z serialu „Star Trek” na tle rozgwieżdżonego nieba.
Rysunek 9.11 Znany z serialu Star Trek statek kosmiczny Enterprise korzysta z fikcyjnego napędu WARP, w którym wykorzystuje się reakcję materii z antymaterią. Wytworzona w ten sposób energia nadaje statkowi impuls umożliwiający kultowe dla tematyki science-fiction „przechodzenie w nadświetlną”.

„Panie Sulu, proszę nas stąd zabrać, 1/4 impulsu naprzód!” – tą komendą kapitan statku Enterprise (Rysunek 9.11) nakazywał rozpędzenie statku ze stanu spoczynku do prędkości końcowej równej 1/4 prędkości światła w próżni, czyli v 1 = 1 / 4 3,0 10 8 m/s v 1 =1/43,0 10 8 m/s . Przyjmując, że statek dokonał tego w ciągu 60 s, wyznacz siłę rozpędzającą statek.

Strategia rozwiązania

Poszukując siły, znamy prędkość początkową i końcową statku, a tym samym ich różnicę i czas potrzebny do dokonania danej zmiany prędkości. Naturalne jest tu skorzystanie z reguły pędu i popędu, jednak do obliczenia pędu potrzebna nam będzie znajomość masy statku. Przyjmijmy więc, że wynosi ona 2 10 9 k g 2 10 9 k g .

Rozwiązanie

Ponieważ kierunek ruchu statku reprezentuje tylko jeden wymiar, wystarczy nam analiza samych wartości wektorów, a zatem skalarna postać reguły pędu i popędu, danej Równaniem 9.13, zostanie zapisana jako:
Δ p = m Δ v = J , Δp=mΔv=J,

gdzie

J = F Δ t . J=FΔt.

Łącząc oba równania, otrzymujemy:

F Δ t = m Δ v . FΔt=mΔv.

Przekształcając powyższe równanie do postaci siły, napiszemy, że:

F = m Δ t ( v 1 v 0 ) = 2 10 9 k g 60 s ( 7,5 10 7 m / s 0 m / s ) = 2,5 10 15 N . F= m Δ t ( v 1 v 0 ) = 2 10 9 k g 60 s ( 7,5 10 7 m / s 0 m / s ) =2,5 10 15 N .

Znaczenie

Siła, którą wyznaczyliśmy, jest niewyobrażalnie duża. Oczywiste jest, że takiego ruchu nie przeżyłby żaden z pasażerów statku, podobnie jak powstałych naprężeń nie wytrzymałoby jego wyposażenie. Na szczęście Enterprise zawiera „wewnętrzny system tłumienia”. Pozostawiamy wyobraźni czytelników, na jakiej zasadzie on działa…

Sprawdź, czy rozumiesz 9.1

W lotnictwie i medycynie lotniczej przyjmuje się, że maksymalne przyspieszenie, jakie człowiek może przeżyć (i to przez zaledwie kilka sekund) – wynosi 10 g 10g, gdzie g = 9,8 m / s 2 g=9,8 m / s 2 . Związane jest to z działającymi na ciało przeciążeniami powodującymi kompresję jego narządów wewnętrznych oraz utrudnienia przepływu krwi i pracy serca. Przyjmując wartość 10 g 10g jako przyspieszenie średnie, oblicz czas potrzebny na rozpędzenie statku Enterprise do prędkości 1/4 c 1/4c.

Przykład 9.4

Upuszczenie telefonu komórkowego

Pewien model telefonu komórkowego pierwotnie miał być wyposażony w ekran dotykowy wykonany z szafiru, jednak niemal w ostatniej chwili zdecydowano się na zastosowanie utwardzonego szkła. Przyczyną była mała odporność szafiru na pęknięcia podczas upadku. Oblicz, jaka siła działa na ten telefon podczas upadku i zderzenia z ziemią.

Strategia rozwiązania

Siła powodująca uszkodzenie telefonu podczas uderzenia o podłogę wynika ze zmiany pędu zachodzącej w bardzo krótkim czasie. Rozwiązanie opieramy więc na regule pędu i popędu. Obliczamy impuls, szacujemy czas zderzenia i korzystamy z tych danych do wyznaczenia średniej wartości siły.

Na wstępie wskazane jest przyjęcie rozsądnych oszacowań dotyczących czasu zderzenia i wysokości, z jakiej spada telefon, jak również danych producenta na temat masy i rozmiarów telefonu. Po pierwsze – przyjmijmy, że telefon spada z wysokości odpowiadającej klatce piersiowej dorosłego człowieka o przeciętnym wzroście. Po drugie – załóżmy, że telefon wypada człowiekowi np. z ręki lub kieszeni, zatem jego prędkość początkowa wynosi zero. Po trzecie – ustalmy, że po zderzeniu z podłożem nie odbija się od niego lub odbija w zaniedbywalnym stopniu.

Rozwiązanie

Ustalmy oś y y jako skierowaną pionowo do góry. Przyjęta wcześniej typowa wysokość, z której spada telefon, to wysokość klatki piersiowej dorosłego człowieka, czyli h = 1,5 m h=1,5 m , a jego prędkość początkowa v 0 = 0 m / s j ^ v 0 =0 m / s j ^ . Średnia siła działająca na telefon związana jest ze zmianą pędu (impulsem) wynikającą z gwałtownego zahamowania telefonu wskutek zderzenia z podłożem i wynosi:
F śr = J Δ t . F śr = J Δ t .

Impuls J J jest równy zmianie pędu,

J = Δ p , J =Δ p ,

więc

F śr = Δ p Δ t . F śr = Δ p Δ t .

Zmianę momentu pędu telefonu możemy wyrazić jako:

Δ p = m Δ v . Δ p =mΔ v .

W tym miejscu warto poświęcić chwilę wartościom prędkości telefonu na różnych etapach jego ruchu oraz ich oznaczeniom:

  • v 0 v 0 – prędkość początkowa telefonu na wysokości h ( v 0 = 0 m / s j ^ ) h ( v 0 = 0 m / s j ^ ) ,
  • v 1 v 1 – prędkość telefonu tuż przed zderzeniem z podłożem,
  • v 2 v 2 – prędkość końcowa telefonu po zderzeniu z podłożem.

Rysunek 9.12 ilustruje wymienione prędkości w poszczególnych fazach lotu telefonu.

Na rysunku przedstawiono telefon w trzech fazach spadku. Rysunek górny pokazuje telefon w pewnej wysokości nad podłogą i opisany jest symbolami v0 = 0 m/s. Rysunek środkowy pokazuje telefon tuż nad podłogą. Obok telefonu dorysowano wektor prędkości ciała skierowany w dół, opatrzony opisem: wektor v1 równa się minus v1 przemnożony przez wersor osi j. Dolny rysunek pokazuje telefon tuż nad podłogą z dorysowanym krótkim wektorem prędkości v2 skierowanym w górę i opisanym jako: wektor v2 równa się plus v2 przemnożony przez wersor osi j.
Rysunek 9.12 (a) Początkowa prędkość telefonu w chwili wypuszczenia z ręki jest równa zeru. (b) Tuż przed uderzeniem o podłogę prędkość telefonu wynosi v 1 v 1 i wiemy o niej na razie tylko tyle, że będzie skierowana w dół j ^ j ^ . (c) Bezpośrednio po odbiciu od ziemi prędkość telefonu wynosi v 2 v 2 . Początkowo prędkości tej również nie znamy, ale wiemy, że będzie ona skierowana w górę, + j ^ + j ^ .

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zmianę pędu telefonu podczas jego zderzenia z podłogą wyrażamy równaniem:

m Δ v = m ( v 2 v 1 ) . mΔ v =m ( v 2 v 1 ) .

Ponieważ założyliśmy, że pomijamy efekt odbicia od podłogi, przyjmujemy prędkość v 2 v 2 równą zeru, zatem

mΔv=m0msv1ĵ=mv1ĵ.mΔv=m0msv1ĵ=mv1ĵ. m \prefop{\Delta} \vec v = m [0\si{\metre\per\second} - (-v_1 \cdot \hat j)] = mv_1 \cdot \hat j \text{.}

Prędkość aparatu tuż przed uderzeniem w podłogę możemy wyznaczyć z zależności kinematycznych lub z zasady zachowania energii mechanicznej. Tutaj skorzystamy z drugiej metody, ale oczywiście wskazane jest, aby czytelnik wykonał obliczenia również na podstawie odpowiednich zależności kinematycznych dla ruchu jednostajnie przyspieszonego – przekonując się, że uzyskany wynik będzie taki sam.

Na wstępie ustalamy poziom odniesienia, dla którego energia potencjalna będzie wynosiła zero. Naturalnym wyborem jest poziom podłogi, względem którego mierzymy wysokość położenia telefonu. Wówczas, zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej:

E 0 = E 1 , E k 0 + E p0 = E k1 + E p1 , 1 2 m v 0 2 + m g h 0 = 1 2 m v 1 2 + m g h 1 . E 0 = E 1 , E k 0 + E p0 = E k1 + E p1 , 1 2 m v 0 2 + m g h 0 = 1 2 m v 1 2 + m g h 1 .

Jeśli wysokość początkowa telefonu nad podłogą wynosi h 0 = h h 0 = h , wysokość w chwili uderzenia h 1 = 0 h 1 = 0 , a prędkość początkowa v 0 = 0 v 0 = 0 , równanie powyższe przyjmuje postać

m g h = 1 2 m v 1 2 , v 1 = 2 g h . m g h = 1 2 m v 1 2 , v 1 = 2 g h .

Wobec tego m Δ v = + m 2 g h mΔ v =+m 2 g h . Formułę tę podstawiamy do wyrażenia na siłę:

F śr = Δ p Δ t = m Δ v Δ t = + m v 1 Δ t j ^ = + m 2 g h Δ t j ^ . F śr = Δ p Δ t =m Δ v Δ t = + m v 1 Δ t j ^ = + m 2 g h Δ t j ^ .

Ostatnią rzeczą wymagającą oszacowania jest czas zderzenia. Powszechnie stosowanym sposobem jest obliczenie, ile czasu obiekt potrzebowałby na przebycie drogi równej swojej własnej długości. Skoro prędkość telefonu tuż przed uderzeniem w ziemię wynosi 5,4 m/s, a jego długość równa jest 0,14 m, obliczony z zależności kinematycznych dla ruchu jednostajnego czas zderzenia wynosi 0,026 s.

Zatem siła średnia działająca na telefon i powodująca jego uszkodzenie podczas uderzenia o ziemię wynosi

F śr = 0,172 k g 2 9,81 m / s 2 1,5 m 0,026 s j ^ = 36 N j ^ . F śr = 0,172 k g 2 9,81 m / s 2 1,5 m 0,026 s j ^ =36 N j ^ .

Znaczenie

Ciężar telefonu to 0,172 k g 9,81 m / s 2 = 1,68 N 0,172 k g 9,81 m / s 2 =1,68 N , natomiast siła, której zostaje poddany podczas upadku, jest 20 razy większa.

Sprawdź, czy rozumiesz 9.2

Co stanie się w sytuacji, gdy telefon odbija się od podłogi? Czy odbicie zwiększyłoby wartość siły, zmniejszyło ją, czy też pozostałaby ona niezmieniona?

Pęd i siła

W omówionym Przykładzie 9.3 otrzymaliśmy istotny związek:

F śr = Δ p Δ t . F śr = Δ p Δ t .
9.14

Pokazuje on, że średnia siła działająca na ciało jest równa zmianie pędu ciała, którą ta siła wywołuje, podzielonej przez przedział czasu, w którym zmiana nastąpiła. Powyższa zależność jest szczególnie użyteczna w opisie zderzeń, kiedy czas zderzenia Δ t Δ t jest mały, ale możliwy do zmierzenia; typowe wartości to dziesiętne lub nawet tysięczne części sekundy. Do tej grupy należą na przykład: zderzenie samochodu, kopnięcie piłki lub zderzenia cząstek w skali subatomowej.

W przypadku pędu zmieniającego się w sposób ciągły (na skutek siły zmieniającej się także w sposób ciągły) omawiana zależność jest również bardzo użyteczna. Zagęszczając krok na skali czasu, czyli przechodząc do granicy Δ t d t Δt d t, przekształcamy Równanie 9.2 do postaci różniczkowej:

F = d p d t . F = d p d t .
9.15

Oznacza to, że szybkość zmian pędu układu (pęd okazuje się funkcją czasu) jest równa sile wypadkowej działającej na układ (mogącej być również funkcją czasu). Powyższe równanie nie jest niczym innym, jak drugą zasadą dynamiki Newtona zapisaną z użyciem pędu, a nie przyspieszenia. To właśnie tę relację przedstawił Newton w swoich Principia Mathematica, operując jednak pojęciem „porcji ruchu” zamiast „pędem”.

Jeżeli masa układu pozostaje stała, Równanie 9.3 przekształca się do znanej postaci II zasady dynamiki Newtona. Możemy to w prosty sposób wykazać, podstawiając do powyższego wzoru definicję pędu:

F = d ( m v ) d t = m d v d t = m a . F = d ( m v ) d t =m d v d t =m a .

Założenie stałości masy pozwala na wyniesienie symbolu m m przed operator pochodnej. Gdyby owa masa nie była stała, nie moglibyśmy tego uczynić i należało by poprzestać na Równaniu 9.3 z użyciem pędu. Widoczna jest tu korzyść płynąca z zapisu siły jako zmiany pędu w czasie: możliwy jest opis układów o zmiennej zarówno prędkości, jak i masie. Tego typu zagadnienie omawia się szczegółowo, analizując ruch rakiety.

druga zasada dynamiki wyrażona przy pomocy pędu

Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa szybkości zmian pędu układu pod wpływem działania tychże sił:

F = d p d t . F = d p d t .

Jak już wspomniano, Równanie 9.3 dopuszcza zmienność masy w układzie, o czym przekonamy się podczas analizy zasady działania silnika odrzutowego. Oczywiście równanie to jest również bardzo użyteczne, gdy masa układu pozostaje stała, co pokazuje następujący przykład.

Przykład 9.5

Obliczamy siłę: Venus Williams i jej serw

W turnieju tenisowym French Open w roku 2007 Venus Williams podczas serwu ustanowiła światowy rekord prędkości w rozgrywkach kobiet, nadając piłce tenisowej prędkość równą 58 m/s, to jest 209 km/h. Jaką średnią siłą zadziałała wówczas rakieta zawodniczki na piłkę o masie 0,057 kg? Przyjmijmy, że prędkość piłki natychmiast po odbiciu wynosiła 58 m/s i była skierowana poziomo (patrz: Rysunek 9.13) oraz że czas kontaktu piłki z rakietą tenisową wynosił 5 ms.
Rysunek rakiety tenisowej ustawionej pionowo i uderzającej piłkę tenisową. Piłka oddala się od rakiety z prędkością v1 równą 58 m/s, wzdłuż osi poziomej skierowanej w prawo.
Rysunek 9.13 Końcowa prędkość piłki tenisowej wynosi v 1 = 58 m / s i ^ v 1 = 58 m / s i ^ .

Strategia rozwiązania

Problem jest zagadnieniem jednowymiarowym, ponieważ piłka w chwili uderzenia nie posiada składowej pionowej prędkości. Pamiętajmy jednak, że w rzeczywistości serwis rozpoczyna się od podrzucenia piłki pionowo w górę i uderzenia w piłkę opadającą. Prędkość pionowa piłki jest jednak zaniedbywalnie mała w porównaniu z prędkością nadawaną podczas uderzenia w płaszczyźnie poziomej. Przywołajmy teraz drugie prawo Newtona, wyrażające znany związek między siłą i pędem:
F = d p d t . F = d p d t .

Ponieważ masa piłki jest stała, zmianę pędu piłki wyrażamy jako

Δ p = m Δ v = m ( v 1 v 0 ) , Δp=mΔv=m ( v 1 v 0 ) ,

przy czym ze względu na jednowymiarowość ruchu – możemy tutaj użyć zapisu skalarnego. W omawianym przykładzie dana jest prędkość piłki po odbiciu oraz czas jej zderzenia z rakietą, zatem do określenia siły ze wzoru F = Δ p / Δ t F=Δp/Δt, niezbędne jest obliczenie zmiany pędu Δ p Δ p .

Rozwiązanie

Aby obliczyć zmianę pędu, podstawmy do powyższego wyrażenia posiadane dane:
Δ p = m ( v 1 v 0 ) = 0,057 k g ( 58 m / s 0 m / s ) = 3,3 k g m / s . Δp=m( v 1 v 0 )=0,057 k g ( 58 m / s 0 m / s ) =3,3 k g m / s .

Zatem wielkość siły zewnętrznej nadającej piłce prędkość poziomą wynosi

F = Δ p Δ t = 3,3 k g m / s 0,005 s = 660 N . F= Δ p Δ t = 3,3 k g m / s 0,005 s =660 N .

Znaczenie

Wyznaczona wartość jest średnią siłą, jaką wywarła rakieta Venus Williams na piłkę podczas tego błyskawicznego uderzenia (dla porównania, na piłkę działa także siła ciężkości równa 0,57 N, ale nie jest ona związana z działaniem rakiety). Problem ten można było oczywiście równie dobrze rozwiązać, wyznaczając najpierw przyspieszenie piłki z równania F = m a F=ma.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Creative Commons Attribution License , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 2 mar 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Creative Commons Attribution License . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.