4.1 Przemieszczenie i prędkość

Funkcja położenia $\vec{r} (t)$ definiuje zależność od czasu położenia cząstki na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Graficznie jest to wektor skierowany od początku wybranego układu współrzędnych do punktu, w którym cząstka się znajduje w danej chwili czasu.
Wektor przemieszczenia $Δ \vec{r}$ określa najkrótszą odległość między dwoma punktami toru ruchu cząstki w dwóch lub trzech wymiarach.
Prędkość chwilowa $\vec{v} (t)$ definiuje szybkość i kierunek ruchu cząstki w danej chwili czasu i jest wektorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni.
Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu cząstki.
Przemieszczenie $Δ \vec{r} (t)$ może być zapisane jako suma przemieszczeń $Δ \vec{x} (t)$ , $Δ \vec{y} (t)$ , $Δ \vec{z} (t)$ w każdym kierunku przestrzeni $x$ , $y$ , $z$ .
Prędkość $\vec{v} (t)$ można zdefiniować jako wektorową sumę składowych $v_{x} (t)$ , $v_{y} (t)$ , $v_{z} (t)$ wzdłuż kierunków $x$ , $y$ i $z$ .
Ruch w dowolnym kierunku jest niezależny od ruchu w kierunku prostopadłym.

4.2 Przyspieszenie

W dwóch i trzech wymiarach wektor przyspieszenia może mieć dowolny kierunek i nie musi być skierowany wzdłuż którejkolwiek składowej wektora prędkości.
Przyspieszenie chwilowe jest zdefiniowane jako zmiana prędkości zachodząca w bardzo krótkim (inifinitezymalnym) przedziale czasu. Jest to wielkość wektorowa o dwóch lub trzech składowych. W praktyce obliczamy przyspieszenie jako pochodną prędkości po czasie.
W przypadku trójwymiarowym przyspieszenie $\vec{a} (t)$ może być zapisane jako wektorowa suma składowych ${\vec{a}}_{x} (t)$ , ${\vec{a}}_{y} (t)$ oraz ${\vec{a}}_{z} (t)$ wzdłuż trzech kierunków $x$ , $y$ i $z$ .
Kinematyczne równania ruchu jednostajnie zmiennego (ze stałym przyspieszeniem) możemy zapisać jako wektorową sumę równań jednowymiarowych dla kierunków $x$ , $y$ i $z$ .

Rzuty są przykładem ruchu w pobliżu powierzchni Ziemi, na który wpływ ma tylko przyspieszenie grawitacyjne.
Do rozwiązania problemu rzutów używamy jednowymiarowych kinematycznych równań ruchu zapisanych osobno dla kierunku poziomego $x$ i pionowego $y$ .
Czas lotu pocisku w rzucie ukośnym z prędkością początkową $v_{0}$ względem powierzchni płaskiej możemy opisać wzorem
$T = \frac{2 (v_{0} \sin θ_{0})}{g} .$
Ten wzór jest poprawny tylko w przypadku, gdy pocisk upada na tej samej wysokości, z jakiej został wystrzelony.
Największa odległość w poziomie, jaką pokonuje pocisk w rzucie ukośnym, nazywa się zasięgiem i wynosi:
$R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ_{0}}{g} .$
Wzór na zasięg obowiązuje tylko w sytuacji, gdy pocisk upada na tej samej wysokości, z jakiej był wystrzelony.

Ruch jednostajny po okręgu odbywa się ze stałą szybkością.
Przyspieszenie dośrodkowe ${\vec{a}}_{d}$ jest przyspieszeniem, które występuje zawsze w przypadku ruchu po zakrzywionym torze. Jest ono skierowane zawsze do środka okręgu (ogólniej: do środka krzywizny toru) i ma wartość $a_{d} = v^{2} / r .$
Ruch zmienny po okręgu występuje, gdy dodatkowo cząstka ma przyspieszenie w kierunku stycznym do okręgu powodujące zmianę wartości prędkości. To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem stycznym ${\vec{a}}_{s}$ . Wartość tego przyspieszenia jest równa zmianie wartości prędkości w czasie. Przyspieszenie styczne jest prostopadłe do przyspieszenia dośrodkowego. Całkowite przyspieszenie, jakiego doznaje cząstka, obliczamy jako sumę dwóch wektorów przyspieszeń: dośrodkowego i stycznego. Możemy też powiedzieć, że te dwa przyspieszenia są składowymi wektora przyspieszenia całkowitego.
Dla ciała w ruchu po okręgu możemy napisać równania ruchu. Wektor położenia ma postać $\vec{r} (t) = A \cos (ω t) \hat{i} + A \sin (ω t) \hat{j}$ , gdzie $A$ jest wartością tego wektora $| \vec{r} (t) |$ , co jest także długością promienia okręgu, natomiast $ω$ jest częstością kątową. Wektor prędkości i przyspieszenia znajdziemy, różniczkując odpowiednio wektor położenia jedno- lub dwukrotnie.

Do precyzyjnego określenia wektorów położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w ruchu należy dobrze zdefiniować układ odniesienia.
Prędkość względna to prędkość ciała rejestrowana przez obserwatora z określonego układu odniesienia. Wektor prędkości zmienia się w zależności od wyboru układu odniesienia.
Jeśli dwa układy odniesienia $S$ i $S^{'}$ poruszają się względem siebie ze stałą prędkością, to prędkość ciała względem $S$ jest równa sumie prędkości tego ciała względem $S^{'}$ oraz względnej prędkości układu $S^{'}$ względem $S$ .
Przyspieszenia ciała mierzone w dwóch układach odniesienia poruszających się względem siebie ze stałą prędkością są takie same.