Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

Zadania

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1Zadania

Zadania

2.1 Skalary i wektory

25.

Nurek powoli zanurza się w głąb oceanu. Jego pozycja w pionie względem znajdującej się na powierzchni wody łódki zmienia się kilkakrotnie. Po raz pierwszy zatrzymuje się 9,0 m od łódki. Ma problem z wyrównaniem ciśnienia, więc wynurza się o 3,0 m, a następnie zanurza się 12,0 m głębiej, gdzie zatrzymuje się po raz drugi. Wynurza się o 4,0 m, następnie zanurza o 18,0 m, wynurza o 7,0 m i znów zanurza, tym razem o 24,0 m. Tam zatrzymuje się i czeka na kolegę. Zakładając, że wektor zwrócony w kierunku powierzchni jest wektorem dodatnim, wyraź wektor przemieszczenia nurka w kierunku pionowym przy pomocy wektora jednostkowego. Jaka jest odległość nurka od łódki?

26.

Na obozie szkolnym urządzono zawody w przeciąganiu liny. 15 uczniów jednocześnie ciągnie linę, próbując przeciągnąć znajdujący się na jej środku węzeł na jedną ze stron. Dwóch uczniów ciągnie w prawo z siłą 196 N, czterech uczniów ciągnie w lewo z siłą 98 N, pięciu uczniów ciągnie w lewo z siłą 62 N, trzech uczniów ciągnie w prawo z siłą 150 N, a jeden uczeń ciągnie w lewo z siłą 250 N. Zakładając dodatni zwrot w prawo, wyraź przemieszczenie węzła przy pomocy wektora jednostkowego. Jaka siła działa na węzeł? Jaki jest jej kierunek?

27.

Przypuśćmy, że idziesz 18,0 m na zachód, a następnie 25,0 m na północ. Jak daleko jesteś od punktu początkowego i jaki jest kierunek wektora twojego przemieszczenia? Rozwiąż za pomocą metody graficznej.

28.

Użyj metody graficznej, aby znaleźć następujące wektory:

  1. →A+→B,
  2. →C+→B,
  3. →D+→F,
  4. →A−→B,
  5. →D−→F,
  6. →A+2→F,
  7. →A−4→D+2→F.
Rysunek przedstawia wektory znajdujące się w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich. Oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, oś y jest pionowa i ma zwrot w górę. Moduł wektora A jest równy 10,0. Wektor ten tworzy z rosnącym kierunkiem osi x kąt 30 stopni. Moduł wektora B jest równy 5,0. Wektor ten tworzy z rosnącym kierunkiem osi x kąt 53 stopnie. Moduł wektora C jest równy 12,0. Wektor ten tworzy z rosnącym kierunkiem osi x kąt 60 stopni. Moduł wektora D jest równy 20,0. Wektor ten tworzy z malejącym kierunkiem osi x kąt 37 stopni. Moduł wektora F jest równy 20,0. Wektor ten tworzy z malejącym kierunkiem osi x kąt 30 stopni.
29.

Kurier zabiera przesyłki z poczty, jedzie 40 km na północ, następnie 20 km na zachód, 60 km na północny wschód i 50 km na północ, po czym zatrzymuje się na obiad. Przy pomocy metody graficznej znajdź wektor jego przemieszczenia.

30.

Pies podróżnik ucieka z domu, biegnie 3 przecznice na wschód, 2 przecznice na północ, 1 przecznicę na wschód i 2 przecznice na zachód. Przyjmując, że przecznica to około 100 m, jak daleko od domu i w jakim kierunku znajduje się pies? Użyj metody graficznej.

31.

Rozbitek planuje uciec z bezludnej wyspy, buduje więc tratwę i wypływa na morze. Wiatr jest bardzo zmienny, więc tratwa znoszona jest w różnych kierunkach: najpierw 2,50 km 45,0∘ na północ od kierunku zachodniego, następnie 4,70 km 60,0∘ na południe od kierunku wschodniego, 1,30 km 25,0∘ na południe od kierunku zachodniego, 5,10 km na wschód, 1,70 km 5,0∘ na wschód od kierunku północnego, 7,20 km 55,0∘ na południe od kierunku zachodniego i 2,80 km 10,0∘ na północ od kierunku wschodniego. Metodą graficzną określ końcowe położenie rozbitka względem wyspy.

32.

Mały samolot leci 40,0 km pod kątem 60∘ na północ od kierunku wschodniego, a następnie 30,0 km pod kątem 15∘ na północ od kierunku wschodniego. Użyj metody graficznej, aby określić odległość samolotu od punktu startowego oraz kierunek jego przemieszczenia.

33.

Turysta idzie ze schroniska nad jezioro oddalone od niego w linii prostej o 5,0 km. Użyj metody równoległoboku, aby określić przemieszczenie turysty w kierunku północnym i przemieszczenie w kierunku wschodnim, których suma jest całkowitym przemieszczeniem. Gdyby turysta szedł zygzakiem, tylko na północ i tylko na wschód, to ile kilometrów musiałby przejść, aby dotrzeć nad jezioro?

Północ znajduje się u góry rysunku, wschód po jego prawej stronie. Na rysunku przedstawione jest schronisko i jezioro. Początek dwuwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich znajduje się w pobliżu schroniska. Oś x ma zwrot na wschód, oś y na północ. Czerwony wektor S prowadzi od schroniska do jeziora. Jego moduł jest równy S = 5,0 kilometrów. Wektor ten nachylony jest do dodatniego kierunku osi x pod kątem 40 stopni. Dwie kręte ścieżki, ścieżka 1 oraz ścieżka 2, narysowane za pomocą linii przerywanej, prowadzą od schroniska do jeziora.
34.

Geodeta mierzy szerokość rzeki płynącej prosto na północ w następujący sposób: rozpoczyna w punkcie leżącym naprzeciwko rosnącego po drugiej stronie rzeki drzewa i przechodzi 100 m wzdłuż rzeki, tworząc w ten sposób podstawę trójkąta. Następnie mierzy kąt między podstawą trójkąta a odcinkiem łączącym drzewo z punktem, w którym obecnie się znajduje, i stwierdza, że kąt ten jest równy 35∘. Jak szeroka jest rzeka?

35.

Pewien człowiek przeszedł 6,0 km w kierunku wschodnim, a następnie 13,0 km w kierunku północnym. Znajdź przemieszczenie oraz kierunek przemieszczenia tego człowieka przy pomocy metody graficznej.

36.

Moduły dwóch wektorów przemieszczenia są równe A=20m i B=6m. Jaka jest najmniejsza i największa możliwa wartość sumy wektorów →R=→A+→B?

2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora

37.

Zakładając, że oś x leży w poziomie i skierowana jest w prawo, dokonaj rozkładu na składowe wektorów podanych na ilustracji.

Oś x ma zwrot w prawo, oś y ma zwrot w górę. Moduł wektora A jest równy 10,0. Wektor ten skierowany jest pod kątem 30 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x. Moduł wektora B jest równy 5,0. Wektor ten skierowany jest pod kątem 53 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x. Moduł wektora C jest równy 12,0. Wektor ten skierowany jest pod kątem 60 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x. Moduł wektora D jest równy 20,0. Wektor ten skierowany jest pod kątem 37 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara od ujemnego kierunku osi x. Moduł wektora F jest równy 20,0. Wektor ten skierowany jest pod kątem 30 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od ujemnego kierunku osi x.
38.

Idziesz 18,0 m na zachód, a następnie 25,0 m na północ. Jak daleko jesteś od punktu startowego? Jaki jest wektor twojego przemieszczenia? Jaki jest kierunek twojego przemieszczenia? Przyjmij, że oś x leży w poziomie i skierowana jest w prawo.

39.

Jedziesz 7,50 km pod kątem 15∘ na wschód od kierunku północnego.

  1. Jaką drogę musiałbyś przebyć prosto na wschód, a następnie prosto na północ, aby znaleźć się w tym samym punkcie?
  2. Udowodnij, że jeśli przejedziesz odcinki drogi w odwrotnej kolejności (najpierw na północ, a następnie na wschód), znajdziesz się w tym samym miejscu. Przyjmij, że dodatni kierunek osi x skierowany jest na wschód.
40.

Dwa konie ciągną sanie po płaskim terenie. Siła wywierana na sanie w prostokątnym układzie współrzędnym jest wektorem →F=−2980,0N⋅ˆi+8200,0N⋅ˆj, gdzie ˆi i ˆj oznaczają odpowiednio kierunek wschodni i północny. Znajdź moduł i kierunek wektora siły.

41.

Turystka idzie ze schroniska nad jezioro. W prostej linii jezioro oddalone jest od schroniska o 5,0 km. Określ składowe wektora w kierunkach wschodnim i północnym. O ile kilometrów dłuższy dystans musiałaby przejść, gdyby szła wzdłuż składowych wektora? Jaki jest wektor jej przemieszczenia?

Wektor S prowadzi od schroniska do jeziora. Jego moduł jest równy 5,0 km, a jego kierunek to 40 stopni na północ od kierunku wschodniego. Na rysunku znajdują się dwie kręte ścieżki: ścieżka 1 oraz ścieżka 2.
42.

Współrzędne biegunowe punktu są równe 4π/3 i 5,50 m. Jakie są jego współrzędne kartezjańskie?

43.

Współrzędne biegunowe dwóch punktów są równe P1(2,500m;π/6) oraz P2(3,800m;2π/3). Ustal, jakie są ich współrzędne kartezjańskie oraz określ, z dokładnością do centymetra, jaka odległość dzieli te punkty w prostokątnym układzie współrzędnych.

44.

Kameleon leży na dachu werandy i czeka, aż w pobliżu pojawi się owad. Przyjmijmy, że lewy dolny róg dachu jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, a oś x skierowana jest w prawo. Jeżeli kameleon znajduje się w punkcie (2,0m;1,0m),

  1. jak daleko znajduje się od narożnika dachu?
  2. Jakie są jego współrzędne biegunowe?
45.

Współrzędne dwóch punktów znajdujących się w prostokątnym układzie współrzędnych są równe A(2,00m;−4,00m) oraz B(−3,00m;3,00m). Określ odległość między tymi punktami oraz ich współrzędne biegunowe.

46.

Mucha wlatuje przez otwarte okno i zaczyna krążyć po pokoju. Osie trójwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich skierowane są wzdłuż trzech krawędzi pokoju. Mucha przemieszcza się z punktu p(4,0m;1,5m;2,5m) do punktu k(1,0m;4,5m;0,5m). Znajdź wartości składowych wektora przemieszczenia muchy oraz moduł tego wektora. Przedstaw rozkład wektora na składowe.

2.3 Działania na wektorach

47.

Dane są wektory →B=−ˆi−4ˆj oraz →A=−3ˆi−2ˆj. Oblicz:

  1. wektor →A+→B, jego moduł oraz kąt nachylenia do osi poziomej;
  2. wektor →A−→B, jego moduł oraz kąt nachylenia do osi poziomej.
48.

Ruch cząstki opisują trzy wektory: →D1=3,0mm⋅ˆi−4,0mm⋅ˆj−2,0mm⋅ˆk, →D2=1,0mm⋅ˆi−7,0mm⋅ˆj+4,0mm⋅ˆk oraz →D3=−7,0mm⋅ˆi+4,0mm⋅ˆj+1,0mm⋅ˆk.

  1. Znajdź sumę wektorów przemieszczenia tej cząstki.
  2. Jaki jest moduł tej sumy?
  3. Jaki dystans przebyłaby cząstka, gdyby wszystkie wektory przemieszczenia leżały w jednej linii?
49.

Dane są dwa wektory przemieszczenia →A=3,00m⋅ˆi−4,00m⋅ˆj+4,00m⋅ˆk oraz →B=2,00m⋅ˆi+3,00m⋅ˆj−7,00m⋅ˆk. Znajdź następujące wektory przemieszczenia oraz oblicz ich moduły:

  1. →C=→A+→B;
  2. →D=2→A−→B.
50.

Samolot leci 40,0km pod kątem 60∘ na północ od kierunku wschodniego, a następnie 30,0km pod kątem 15∘ na północ od kierunku wschodniego. Użyj metody analitycznej, aby obliczyć moduł oraz kierunek geograficzny wektora przemieszczenia samolotu.

51.

Aby uciec z bezludnej wyspy, rozbitek buduje tratwę i rusza na morze. Wiatr jest bardzo zmienny i znosi tratwę w różne strony. Najpierw płynie ona 2,50 km pod kątem 45,0∘ na północ od kierunku zachodniego, następnie 4,70 km pod kątem 60,0∘ na południe od kierunku wschodniego, 1,30 km pod kątem 25,0∘ na południe od kierunku zachodniego, 5,10 km na wschód, 1,70 km pod kątem 5,0∘ na wschód od kierunku północnego, 7,20 km pod kątem 55,0∘ na południe od kierunku zachodniego i na końcu 2,80 km pod kątem 10,0∘ na północ od kierunku wschodniego. Skorzystaj z metody analitycznej, aby obliczyć sumę wszystkich wektorów przemieszczenia tratwy. Jaki jest moduł i kierunek tego wektora sumy?

52.

Jeśli oś x skierowana jest w prawo, znajdź za pomocą metody analitycznej następujące wektory:

  1. →A+→B,
  2. →C+→B,
  3. →D+→F,
  4. →A−→B,
  5. →D−→F,
  6. →A+2→F,
  7. →C−2→D+3→F,
  8. →A−4→D+2→F.
Oś x prostokątnego układu współrzędnych ma zwrot w prawo, oś y ma zwrot do góry. Moduł wektora A jest równy 10,0. Wektor ten skierowany jest 30 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi. Moduł wektora B jest równy 5,0. Wektor ten skierowany jest 53 stopnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od rosnącego kierunku osi x. Moduł wektora C jest równy 12,0. Wektor ten skierowany jest 60 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara od rosnącego kierunku osi x. Moduł wektora D jest równy 20,0. Wektor ten skierowany jest 37 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara od malejącego kierunku osi x. Moduł wektora F jest równy 20,0. Wektor ten skierowany jest 30 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od malejącego kierunku osi x.
53.

Znajdź wektor →R spełniający równanie (a) →D+→R=→F (b) →C−2→D+5→R=3→F. Przyjmij, że oś x skierowana jest w prawo.

54.

Kurier jedzie 40 km na północ, 20 km na zachód, a następnie 60 km na północny wschód. Po 50 km jazdy na północ zatrzymuje się w restauracji na obiad.

  1. Znajdź wektor jego przemieszczenia.
  2. Oblicz odległość między restauracją a punktem startowym.
  3. Jeśli kurier pojedzie z restauracji do biura po linii prostej, jaki będzie wektor przemieszczenia po jego drodze powrotnej?
  4. W jakim kierunku geograficznym będzie jechał, wracając? Użyj metody analitycznej. Przyjmij, że dodatnim kierunkiem osi x jest kierunek wschodni.
55.

Żądny przygód pies wymyka się z domu, biegnie trzy przecznice na wschód, dwie przecznice na północ, jedną przecznicę na wschód, jedną przecznicę na północ i dwie przecznice na zachód. Przyjmij, że przecznica to około 100 metrów, i za pomocą metody analitycznej wyznacz wektor przemieszczenia psa, jego moduł oraz kierunek. Dodatni kierunek osi x to kierunek wschodni.

56.

Dane są wektory →D=6,00m⋅ˆi−8,00m⋅ˆj, →B=−8,00m⋅ˆi+3,00m⋅ˆj oraz →A=26,0m⋅ˆi+19,0m⋅ˆj. Znajdź współczynniki a oraz b spełniające równanie a→D+b→B+→A=→0.

57.

Dany jest wektor przemieszczenia →D=3m⋅ˆi−4m⋅ˆj. Znajdź wektor przemieszczenia →R taki, aby →D+→R=−4Dˆj.

58.

Znajdź wektor jednostkowy, określający kierunek następujących wektorów:

  1. siła →F=3,0N⋅ˆi−2,0N⋅ˆj,
  2. przemieszczenie →D=−3,0m⋅ˆi−4,0m⋅ˆj,
  3. prędkość →v=−5,00m/s⋅ˆi+4,00m/s⋅ˆj.
59.

Kierunek wektora natężenia pola elektrycznego określony jest w układzie współrzędnych kartezjańskich przez wektor jednostkowy ˆE=1/√5⋅ˆi−2/√5⋅ˆj. Jeśli moduł wektora natężenia pola elektrycznego jest równy E=400,0V/m, jakie są wartości jego składowych Ex, Ey oraz Ez? Jaki kąt θE określa kierunek tego wektora?

60.

Dwa holowniki ciągną barkę w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Jeden z holowników ciągnie barkę z siłą o module 4000 jednostek siły, pod kątem 15∘ w stosunku do odcinka AB, a drugi z siłą o module 5000 jednostek, pod kątem 12∘ w stosunku do odcinka AB. Wyznacz wartości składowych wektorów siły i znajdź składowe wynikowego wektora siły działającej na barkę. Jaki jest moduł wektora wynikowego? Jaki jest jego kierunek w stosunku do odcinka AB?

Rysunek przedstawia widok z góry. Odcinek AB jest pionowy, a znajduje się na górze, a B na dole. Dwa holowniki znajdujące się przed barką ciągną ją. Holownik znajdujący się po lewej ciągnie z siłą 5000 jednostek pod kątem 12 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od odcinka AB. Holownik po prawej stronie ciągnie barkę z siłą 4000 jednostek pod kątem 15 stopni.
61.

Kontroler lotów na lotnisku śledzi zmianę położenia dwóch samolotów w stosunku do wieży kontroli lotów. Jeden z samolotów to Boeing 747, a drugi to Douglas DC-3. Boeing znajduje się na wysokości 2500 m, wznosi się pod kątem 10∘ do powierzchni ziemi i leci w kierunku 30∘ na północ od kierunku zachodniego. DC-3 znajduje się na wysokości 3000 m, wznosi się pod kątem 5∘ do powierzchni ziemi i leci prosto na zachód.

  1. Znajdź wektory wodzące samolotów w stosunku do wieży kontroli lotów.
  2. Jaka odległość dzieliła samoloty w momencie, w którym kontroler odczytał ich pozycje?

2.4 Mnożenie wektorów

62.

Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, znajdź następujące iloczyny skalarne:

  1. →A⋅→C,
  2. →A⋅→F,
  3. →D⋅→C,
  4. →A⋅(→F+2→C),
  5. ˆi⋅→B,
  6. ˆj⋅→B,
  7. (3ˆi−ˆj)⋅→B,
  8. ˆB⋅→B.
Układ współrzędnych x y, którego dodatnia półoś x jest skierowana w prawo a dodatnia półoś y w górę. Wektor A ma wartość 10.0 i jest odchylony o 30 stopni od osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor B ma wartość 5.0 i jest odchylony o kąt 53 stopnie od dodatniej półosi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor C ma wartość 12.0 i jest odchylony o 60 stopni od osi x w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wektor D ma wartość 20.0 i jest odchylony o 37 stopni od ujemnej półosi x w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wektor F ma wartość 20.0 i jest odchylony o 30 stopni od ujemnej półosi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
63.

Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, dla tych samych wektorów co w poprzednim zadaniu znajdź

  1. rzut wektora →A na kierunek wektora →C,
  2. rzut wektora →C na kierunek wektora →A,
  3. rzut wektora ˆi na kierunek wektora →F,
  4. rzut wektora →F na kierunek wektora ˆi.
64.

Znajdź kąty między wektorami

  1. →D=−3,0m⋅ˆi−4,0m⋅ˆj i →A=−3,0m⋅ˆi+4,0m⋅ˆj,
  2. →D=2,0m⋅ˆi−4,0m⋅ˆj+1,0m⋅ˆk i →B=−2,0m⋅ˆi+3,0m⋅ˆj+2,0m⋅ˆk.
65.

Znajdź kąty, jakie wektor →D=2,0m⋅ˆi−4,0m⋅ˆj+1,0m⋅ˆk tworzy z osiami x, y i z.

66.

Udowodnij, że wektor siły →D=2,0N⋅ˆi−4,0N⋅ˆj+1,0N⋅ˆk jest prostopadły do wektora siły →G=3,0N·ˆi+4,0N·ˆj+10,0N·ˆk.

67.

Przyjmując, że oś x jest pozioma i ma zwrot w prawo, znajdź następujące iloczyny wektorowe

  1. →A×→C,
  2. →A×→F,
  3. →D×→C,
  4. →A×(→F+2→C),
  5. ˆi×→B,
  6. ˆj×→B,
  7. (3ˆi−ˆj)×→B,
  8. ˆB×→B.
68.

Oblicz →A×→C dla

  1. →A=2,0ˆi−4,0ˆj+ˆk i →C=3,0ˆi+4,0ˆj+10,0ˆk,
  2. →A=3,0ˆi+4,0ˆj+10,0ˆk i →C=2,0ˆi−4,0ˆj+ˆk,
  3. →A=−3,0ˆi−4,0ˆj i →C=−3,0ˆi+4,0ˆj,
  4. →C=−2,0ˆi+3,0ˆj+2,0ˆk i →A=−9,0ˆj.
69.

Dla wektorów z poprzedniego rysunku znajdź

  1. (→A×→F)⋅→D,
  2. (→A×→F)⋅(→D×→B),
  3. (→A⋅→F)⋅(→D×→B).
70.
  1. Jeżeli →A×→F=→B×→F, to czy możemy wywnioskować, że →A=→B?
  2. Jeżeli →A⋅→F=→B⋅→F, to czy możemy wywnioskować, że →A=→B?
  3. Jeżeli F→A=→BF, to czy możemy wywnioskować, że →A=→B?

Dlaczego tak lub dlaczego nie?

PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.