Zadania dodatkowe

Lecisz $\mathrm{32,0}\mathrm{k}\mathrm{m}$ w linii prostej, przy bezwietrznej pogodzie pod kątem $35,0^{\circ }$ na południe od kierunku zachodniego.

1. Jaki dystans musiałbyś przelecieć, żeby znaleźć się w tym samym punkcie, jeśli leciałbyś prosto na południe, a następnie prosto na zachód?
2. Jaki dystans musiałbyś przelecieć, żeby znaleźć się w tym samym punkcie, jeśli leciałbyś najpierw na południowy zachód, a następnie na północny zachód? Zauważ, że wektory przemieszczenia są obrócone o $45,0^{\circ }$ względem wektorów z podpunktu (a).

Jeśli współrzędnymi biegunowymi punktu są $(r,\phi )$, jego współrzędnymi kartezjańskimi $(x,y)$, określ współrzędne biegunowe następujących punktów:

1. $(-x,y)$,
2. $(-2x,-2y)$,
3. $(3x,-3y)$.

Łódź rybacka wyrusza z wyspy Moi położonej w nieznanym archipelagu. Przed powrotem na Moi zatrzymuje się na wyspach Noi i Poi. Łódź przepływa najpierw 4,76 mil morskich (nmi) pod kątem ${37}^{\circ }$ na północ od kierunku wschodniego, po czym dociera do Noi. Następnie płynie pod kątem ${69}^{\circ }$ na zachód od kierunku północnego, aż dociera do Poi. W drodze powrotnej z Poi płynie pod kątem ${28}^{\circ }$ na wschód od kierunku południowego. Jaki dystans przepływa łódź między wyspami Noi i Poi? Jaki dystans przepływa między Moi i Poi? Przedstaw wyniki w milach morskich oraz w kilometrach. $1\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i}=1852\mathrm{m}$.

Udowodnij, że jeśli $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}$, to $C^2=A^2+B^2+2AB\cos \phi$, gdzie $\phi$ jest kątem między wektorami $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$.

Deskorolkarz jedzie po okrągłym torze o średnicy 5,00 m w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli przebył połowę okręgu, licząc od punktu wysuniętego najbardziej na zachód, znajdź (a) moduł wektora jego przemieszczenia oraz (b) odległość, jaką przejechał. (c) Jaki będzie moduł wektora jego przemieszczenia, jeśli przejedzie cały tor i wróci do wysuniętego na zachód punktu początkowego?

Jeżeli wektor prędkości niedźwiedzia polarnego jest równy $\overrightarrow{u}=-\mathrm{18,0}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}\cdot \hat{i}-\mathrm{13,0}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h}\cdot \hat{j}$, jak szybko i w jakim kierunku geograficznym porusza się ten niedźwiedź? Wektory $\hat{i}$ oraz $\hat{j}$ wskazują odpowiednio na wschód i na północ.

Nurek bada rafę koralową u wybrzeża Belize. Na początku płynie 90,0 m na północ, następnie 200,0 m na wschód, po czym zauważa dużego granika i podąża za nim przez 80,0 metrów pod kątem ${30}^{\circ }$ na północ od kierunku wschodniego. W międzyczasie prąd znosi go 150,0 m na południe. Zakładając, że prąd już nie oddziałuje, w jakim kierunku i jak daleko powinien płynąć nurek, aby wrócić do punktu startowego?

Wektory $\overrightarrow{A}$ i $\overrightarrow{B}$ leżą na płaszczyźnie $\mathrm{xy}$, mają takie same moduły i są ortogonalne. Jeśli $\overrightarrow{A}=\mathrm{3,0}\hat{i}+\mathrm{4,0}\hat{j}$, znajdź $\overrightarrow{B}$.

Udowodnij, że $\left(\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C}\right)\cdot \overrightarrow{A}$ jest wzorem na objętość równoległościanu, gdzie każdy z trzech wektorów tworzy inną krawędź.