William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania trudniejsze

88.

Moduł wektora $\vec{B}$ jest równy 5,0 cm, a moduł wektora $\vec{A}$ jest równy 4,0 cm. Znajdź kąt między tymi wektorami, jeśli $| \vec{A} + \vec{B} | = 3,0 c m$ i $| \vec{A} - \vec{B} | = 3,0 c m$ .

89.

Jaka jest wartość rzutu wektora siły $\vec{G} = 3,0 N \cdot \hat{i} + 4,0 N \cdot \hat{j} + 10,0 N \cdot \hat{k}$ na kierunek wektora siły $\vec{H} = 1,0 N \cdot \hat{i} + 4,0 N \cdot \hat{j}$ ?

90.

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt stworzony przez trzy wektory $\vec{A}$ , $\vec{B}$ i $\vec{C}$ . Wektor ${\vec{C}}^{^{'}}$ łączy środki wektorów $\vec{A}$ i $\vec{B}$ . Udowodnij, że ${\vec{C}}^{^{'}} = \vec{C} / 2$ .

Wektory A, B oraz C tworzą trójkąt. Wektor A skierowany jest po skosie w górę i w prawo. Wektor B ma punkt początkowy w punkcie końcowym wektora A, skierowany jest w dół i w prawo. Wektor C ma punkt początkowy w punkcie końcowym wektora B i punkt końcowy w punkcie początkowym wektora A i skierowany jest w lewo. Wektor C prim jest równoległy do wektora C i łączy środki wektorów A i B.

91.

Odległości między punktami leżącymi na płaszczyźnie nie zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych. Innymi słowy, moduł wektora podczas obrotu układu współrzędnych jest niezmienny. Przypuśćmy, że układ współrzędnych $S$ obracamy względem swojego początku o kąt $φ$ , tworząc nowy układ współrzędnych $S^{'}$ (zobacz rysunek). Punkt leżący na płaszczyźnie opisują współrzędne $(x, y)$ układu $S$ oraz współrzędne $(x^{^{'}}, y^{^{'}})$ układu $S^{'}$ .

(a) Udowodnij, że współrzędne układu $S^{'}$ oraz współrzędne układu $S$ związane są ze sobą w następujący sposób:

{\begin{matrix} x^{'} = x cos φ + y sin φ \\ y^{'} = − x sin φ + y cos φ \end{matrix}

(b) Udowodnij, że obrót układu współrzędnych nie ma wpływu na odległość punktu $P$ od początku układu współrzędnych. Musisz dowieść, że

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} .

(c) Udowodnij, że obrót układu współrzędnych nie ma wpływu na odległość między punktami $P$ i $Q$ . Musisz dowieść, że

\begin{array}{l} P Q = \sqrt{{(x_{P} - x_{Q})}^{2} + {(y_{P} - y_{Q})}^{2}} \\ = \sqrt{{(x_{P}^{'} - x_{Q}^{'})}^{2} + {(y_{P}^{'} - y_{Q}^{'})}^{2}} . \end{array}

Na rysunku przedstawiono dwa dwuwymiarowe układy współrzędnych kartezjańskich. Czerwony układ współrzędnych S ma poziomą oś x o zwrocie w prawo i pionową oś y o zwrocie w górę. Niebieski układ współrzędnych S prim ma ten sam punkt początkowy co układ S, ale jest obrócony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt fi. W układach znajdują się dwa punkty – P oraz Q. Współrzędna x punktu P w układzie S zaznaczona jest poprzez poprowadzenie od punktu linii przerywanej, równoległej do osi y. Współrzędna y punktu P w układzie S zaznaczona jest poprzez poprowadzenie od punktu linii przerywanej, równoległej do osi x. Współrzędna x prim punktu P w układzie S prim zaznaczona jest poprzez poprowadzenie od punktu linii przerywanej, równoległej do osi y prim. Współrzędna y prim punktu P w układzie S prim zaznaczona jest poprzez poprowadzenie od punktu linii przerywanej, równoległej do osi x prim.