William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

11.1 Toczenie się ciał

19.

Jaka jest prędkość kątowa opony samochodu o średnicy 75,0 cm jadącego z prędkością 90,0 km/h?

20.

Chłopiec przejechał na rowerze 2,00 km. Koła roweru mają promień 30,0 cm. Jaki jest całkowity kąt obrotu opon podczas tej podróży?

21.

Jeżeli chłopiec na rowerze z poprzedniego zadania ,będąc najpierw w stanie spoczynku, rusza i przyspiesza do osiągnięcia prędkości 10,0 m/s w czasie 10,0 s, to jakie jest przyspieszenie kątowe kół?

22.

Opony samochodów wyścigowych Formuły 1 mają 66 cm średnicy. Jeżeli samochody (bolidy) te pokonują trasę średnio z prędkością 300 km/h, to ile obrotów wykonują opony kół, jeśli samochód pokonuje trasę w 1,5 godziny?

23.

Spoczywająca kulka zaczyna staczać się z pochylni o kącie nachylenia 30°.
(a) Jakie jest jej przyspieszenie?
(b) Jaką drogę przebędzie w czasie 3,0 s?

24.

Rozwiąż poprzednie zadanie, zastępując kulkę pełnym walcem. Wyjaśnij otrzymany wynik.

25.

Bryła sztywna o cylindrycznym przekroju poprzecznym zostaje puszczona z wierzchołka pochylni o nachyleniu $30^{\circ}$ . Bryła ta stacza się 10,0 m do dna pochylni w 2,60 s. Znajdź moment bezwładności bryły i wyraź go przez jego masę $m$ i promień $r$ .

26.

Jo-jo można traktować jako pełny walec o masie $m$ , a promieniu $r$ , który ma nawinięty lekki sznurek wokół swojego obwodu (patrz niżej). Jeden koniec sznurka jest przymocowany do stałego punktu w przestrzeni. Jeśli walec opada, gdy sznurek odwija się bez poślizgu, to jakie jest przyspieszenie walca?

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r, do którego przyłożono siły. Siła mg działa na środek walca i skierowana jest w dół. Siła T działa na prawą krawędź i jest skierowana w górę.

27.

Pełny walec o promieniu 10,0 cm stacza się z równi z poślizgiem. Kąt nachylenia równi wynosi $30^{\circ}$ , a współczynnik tarcia kinetycznego o jej powierzchnię 0,40. Jakie jest przyspieszenie kątowe walca? Ile wynosi jego przyspieszenie liniowe?

28.

Kula do gry w kręgle toczy się, do przechowalni, w górę rampy o wysokości 0,5 m bez poślizgu. Jej środek masy ma prędkość początkową 3,0 m/s. (a) Jaka jest jej prędkość na szczycie rampy? (b) Czy kula dotrze do szczytu w przypadku, gdy rampa ma 1 m wysokości?

29.

Walec o masie 40,0 kg toczy się po poziomej powierzchni z prędkością 6,0 m/s. Jaka potrzebna jest praca, żeby go zatrzymać?

30.

Kula o masie 40,0 kg toczy się po poziomej powierzchni z prędkością 6,0 m/s. Jaka jest potrzebna praca, żeby ją zatrzymać? Porównaj otrzymany wynik z wynikiem poprzedniego zadania.

31.

Walec wtacza się w górę równi o nachyleniu $20^{\circ}$ . Jeśli ruch zaczyna się od dołu z prędkością 10 m/s, to jak daleko w górę równi będzie toczyć się ten walec?

32.

Walec o masie $M$ i promieniu $R$ jest ciągnięty z siłą $\vec{F}$ przyłożoną do jego środka pod kątem $37^{\circ}$ do płaszczyzny poziomej (patrz rysunek). Jeśli koło ma się toczyć bez poślizgu, to jaka jest maksymalna wartość $| \vec{F} |$ ? Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego wynoszą odpowiednio $μ_{s} = 0,40$ i $μ_{k} = 0,30$ . Przyjmij, masa walca równa jest 5 kg.

Siły przyłożone do koła o promieniu R spoczywającego na poziomej powierzchni. Środek koła znajduje się w początku układu współrzędnych x y, którego dodatnia półoś x biegnie w prawo a dodatnia półoś y w górę. Siła F działa na środek koła pod kątem 37 stopni do osi x. Siła M g działa na środek koła i skierowana jest w dół. Siła N jest skierowana w górę i działa na punkt kontaktu w którym koło dotyka powierzchni. Siła f sub s jest skierowana w lewo i również działa na punkt kontaktu miedzy kołem a powierzchnią.

33.

Pusty w środku cylider mający prędkość 5,0 m/s wtacza się pod nachylenie do wysokości 1,0 m. Jak wysoko wtoczy się pod to nachylenie sfera o takiej samej masie i promieniu oraz takiej samej prędkości początkowej?

11.2 Moment pędu

34.

Cząstka o masie 0,2 kg porusza się wzdłuż prostej o równaniu $y = 0,2 m$ , z prędkością 5,0 m/s. Jaki jest moment pędu cząstki względem początku układu współrzędnych?

35.

Ptak leci nad tobą na wysokości 300,0 m z prędkością skierowaną poziomo względem ziemi o wartości 20,0 m/s. Ptak ma masę 2,0 kg. Wektor położenia (promień wodzący) ptaka, który ma początek w miejscu, gdzie stoisz, tworzy kąt $θ$ z powierzchnią ziemi. Niech wektor położenia i pęd ptaka leżą w płaszczyźnie $x y$ . Oblicz moment pędu ptaka względem miejsca, w którym stoisz.

36.

Samochód wyścigowy Formuły 1 o masie 750,0 kg, prześpieszając na torze wyścigowym w Monako wchodzi w zakręt kołowy z szybkością 220,0 km/h, w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. W innej części toru samochód wchodzi w drugi zakręt kołowy z szybkością 180 km/h, także w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wiedząc, że promień krzywizny pierwszego zakrętu jest równy 130,0 m, a drugiego 100,0 m, porównaj momenty pędu samochodu, liczone względem środków krzywizny toru, w obu przypadkach.

37.

Cząstka o masie 5,0 kg znajduje się w pozycji opisanej wektorem $\vec{r} = 2,0 m \cdot \hat{i} - 3,0 m \cdot \hat{j}$ w chwili, gdy jej prędkość wynosi $\vec{v} = 3,0 m / s \cdot \hat{i}$ , w przyjętym układzie odniesienia.
(a) Jaki jest moment pędu cząstki?
(b) Jeżeli na cząstkę w tej chwili czasu działa siła $\vec{F} = 5,0 N \cdot \hat{j}$ , to jaki jest moment siły względem początku układu odniesienia?

38.

Użyj reguły prawej dłoni do określenia kierunków momentów pędu cząstek względem początku układu współrzędnych pokazanego poniżej. Oś $z$ jest skierowana przed kartkę.

Przedstawiono cztery cząstki na płaszczyźnie xy z różnymi wektorami położenia i prędkości Osie x i y pokazują pozycję w metrach i mają zasięg -4,0 do 4,0 metrów. Cząstka 1 ma masę m sub 1, ma wartość x = 0 metrów i y = 2,0 metra, a v sub 1 punkt w dodatnim kierunku x. Cząstka 2 ma masę m pod 2, wynosi x = 2,0 m, a y = -2,0 m, a v punkt 2 w prawo i w dół, w przybliżeniu 45 stopni poniżej dodatniego kierunku x. Cząstka 3 ma masę m podpunkt 3, wynosi x = -3,0 metrów, a y = 1,0 metra, a v pod 3 punkty w dół, w kierunku ujemnym y. Cząstka 4a masa m pod 4 jest w x = 4,0 metrach i y = 0 metrach, a v na poziomie 4 punktów w lewo, w kierunku ujemnym x..

39.

Przypuśćmy, że cząstki z poprzedniego zadania mają masy: $m_{1} = 0,10 k g$ , $m_{2} = 0,20 k g$ , $m_{3} = 0,30 k g$ , $m_{4} = 0,40 k g$ . Prędkości cząstek wynoszą: ${\vec{v}}_{1} = 2,0 m / s \cdot \hat{i}$ , ${\vec{v}}_{2} = 3,0 m / s \cdot \hat{i} - 3,0 m / s \cdot \hat{j}$ , ${\vec{v}}_{3} = - 1,5 m / s \cdot \hat{j}$ , ${\vec{v}}_{4} = - 4,0 m / s \cdot \hat{i}$ .
(a) Oblicz moment pędu każdej cząstki względem początku układu współrzędnych.
(b) Jaki jest całkowity moment pędu wszystkich czterech cząstek?

40.

Dwie cząstki o równych masach poruszają się z tą samą wartością prędkości w przeciwnych kierunkach, wzdłuż równoległych linii, które dzieli odległość $d$ . Pokaż, że moment pędu tego układu jest taki sam bez względu na to, gdzie znajduje się punkt, względem którego obliczamy momentu pędu.

41.

Samolot o masie $4,0 \cdot 10^{4} k g$ leci poziomo na wysokości 10 km ze stałą prędkością 250 m/s w stosunku do Ziemi.
(a) Jaka jest wartość momentu pędu samolotu względem obserwatora na powierzchni ziemi bezpośrednio pod samolotem?
(b) Czy moment pędu zmienia się, gdy samolot dalej leci wzdłuż swojego toru (jest na swojej ścieżce)?

42.

W danym momencie, cząstka o masie 1,0 kg znajduje się w położeniu:
$\vec{r} = 2,0 m \cdot \hat{i} - 4,0 m \cdot \hat{j} + 6,0 m \cdot \hat{k}$ i ma prędkość $\vec{v} = - 1,0 m / s \cdot \hat{i} + 4,0 m / s \cdot \hat{j} + 1,0 m / s \cdot \hat{k}$ , a siła działająca na nią wynosi $\vec{F} = 10,0 N \cdot \hat{i} + 15,0 N \cdot \hat{j}$ .
(a) Ile wynosi moment pędu cząstki względem początku układu współrzędnych?
(b) Ile wynosi moment siły działającej na cząstkę względem początku układu współrzędnych?
(c) Jaka jest szybkość zmiany momentu pędu cząstki w tym momencie?

43.

Cząstka o masie $m$ zostaje upuszczona w punkcie $(- d, 0)$ i opada pionowo w polu grawitacyjnym Ziemi z przyspieszeniem $- g \hat{j}$ .
(a) Jakie jest wyrażenie na moment pędu cząstki względem osi $z$ , na podstawie poniższego rysunku?
(b) Oblicz moment siły działającej na cząstkę względem osi $z$ .
(c) Czy moment siły jest równy czasowej szybkości zmian momentu pędu?

Pokazano układ współrzędnych x y którego dodatnia oś x jest skierowana w prawo a dodatnia oś y w górę. Cząstka leży na osi x, na lewo od osi y, w punkcie d przecinek zero. Siła minus m g j daszek jest skierowana w dół.

44.

(a) Oblicz moment pędu Ziemi na jej orbicie w ruchu wokół Słońca.
(b) Porównaj ten moment pędu z momentem pędu Ziemi w ruchu obrotowym wokół własnej osi (z krętem Ziemi).

45.

Głaz o masie 20 kg i promieniu 20 cm zaczyna się staczać ze wzgórza o wysokości 15 m. Ile wynosi jego moment pędu gdy:
(a) jest w połowie drogi staczania się?
(b) jest na końcu drogi staczania się?

46.

Satelita obraca się z częstotliwością 6,0 obr/s. Satelita składa się z korpusu w kształcie kuli o promieniu 2,0 m i masie 10000 kg oraz dwóch anten wystających ze środka masy korpusu, których kształt może być przybliżony prętami o długości 3,0 m i masie 10 kg. Anteny leżą w płaszczyźnie obrotu. Ile wynosi moment pędu satelity?

47.

Śmigło składa się z dwóch łopat o długości 3,0 m i masie 120 kg każde. Śmigło można przybliżyć pojedynczym prętem obracającym się wokół osi przechodzącej przez jego środek masy i prostopadłej do pręta. Śmigło zaczyna się obracać za stałym przyspieszeniem kątowym i osiąga 1200 obrotów na minutę, w 30 sekund.
(a) Ile wynosi moment pędu śmigła w chwili $t = 10 s$ i $t = 20 s$ ?
(b) Ile wynosi moment siły działającej na śmigło?

48.

Pulsar to szybko obracająca się gwiazda neutronowa. Pulsar w gwiazdozbiorze Byka w mgławicy Kraba ma okres $33,5 \cdot 10^{- 3} s$ , promień 10,0 km i masę $2,8 \cdot 10^{30} k g$ . Okres obrotu pulsara rośnie z czasem na skutek emisji promieniowania elektromagnetycznego, która nie zmienia jego promienia, ale zmniejsza energię jego ruchu obrotowego.
(a) Jaki jest moment pędu pulsara?
(b) Przypuśćmy, że prędkość kątowa zmniejsza się w tempie $10^{- 14} r a d / s$ . Jaki jest efektywny moment siły działającej na pulsar?

49.

Łopatki turbiny wiatrowej mające 30 m długości obracają się z maksymalną częstotliwością (prędkością obrotową) 20 obr/min.
(a) Jeżeli każda łopatka ma masę 6000 kg, a zespół turbiny ma trzy łopatki, oblicz moment pędu turbiny dla tej częstotliwości.
(b) Jaki moment siły jest wymagany, aby uzyskać maksymalną częstotliwość obrotów łopatek w ciągu 5 minut?

50.

Kolejka w wesołym miasteczku (roller-coaster) ma masę 3000,0 kg i musi pokonać bezpiecznie pionową okrągłą pętlę o promieniu 50,0 m. Jaki jest, minimalny moment pędu kolejki w dolnej części pętli, aby mogła ona bezpiecznie przejechać przez pętlę? Zignoruj tarcie między kolejką a torem kolejki. Załóż, że kolejka jest cząstką punktową.

51.

Górski rowerzysta podczas wyścigu wykonuje skok i porusza się w powietrzu. Zanim znajdzie się w powietrzu, rower górski porusza się z szybkością 10,0 m/s. Jeżeli masa koła przedniego roweru wynosi 750 g i ma ono promień 35 cm, to jaki jest moment pędu kręcącego się koła w powietrzu tuż po oderwaniu się roweru od ziemi?

11.3 Zasada zachowania momentu pędu

52.

Krążek o masie 2,0 kg i promieniu 60 cm o małej masie 0,05 kg przyczepionej na jego brzegu obraca się z częstotliwością 2,0 obr/s. Mała masa oddziela się nagle od krążka. Jaka jest końcowa prędkość obrotowa (częstotliwość obrotów) krążka?

53.

Masa Słońca wynosi $2 \cdot 10^{30} k g$ , jego promień $7,0 \cdot 10^{5} k m$ , a jego okres obrotu to około 28 dni. Gdyby Słońce zapadło się (nastąpił kolaps grawitacyjny Słońca) do rozmiarów białego karła o promieniu $3,5 \cdot 10^{3} k m$ , to jaki byłby jego okres obrotu, przy założeniu, że podczas zapadania się część masy nie została wyrzucona na zewnątrz i w obu przypadkach Słońce można traktować jako kulę o stałej gęstości?

54.

Walec o momencie bezwładności $I_{1} = 2,0 k g \cdot m^{2}$ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek z prędkością kątową $ω_{1} = 5,0 r a d / s$ . Drugi walec o momencie bezwładności $I_{2} = 1,0 k g \cdot m^{2}$ obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół tej samej osi z prędkością kątową $ω_{2} = 8,0 r a d / s$ . Jeśli para walców łączy się i obraca wokół tej samej osi obrotu, to jaka jest prędkość kątowa połączonych walców? Jaka część (w procentach) początkowej energii kinetycznej jest tracona podczas tarcia, występującego przy wyrównywaniu się prędkości kątowych walców?

55.

Nurek podczas odbicia z trampoliny uzyskuje wstępny obrót ciała w pozycji całkowicie wyprostowanej, następnie ściąga swoje kończyny, kuląc się, a potem wykonuje trzy koziołki przed uderzeniem w wodę. Jego moment bezwładności, gdy jego ciało jest rozciągnięte, wynosi $16,9 k g \cdot m^{2}$ , a podczas salta (w pozycji skulonej) $4,2 k g \cdot m^{2}$ . Jaką szybkość obrotową (częstotliwość obrotów) musi on nadać swemu ciału bezpośrednio po odbiciu z trampoliny, jeśli wykonanie salta przed uderzeniem w wodę trwa 1,4 s?

56.

Orbita satelity Ziemi ma apogeum 2500 km nad powierzchnią Ziemi, a perygeum 500 km nad powierzchnią Ziemi. W apogeum jego prędkość wynosi 730 m/s. Jaka jest jego prędkość w perygeum? Promień Ziemi wynosi 6370 km (patrz poniżej).

Ilustracja eliptycznej orbity przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Główna oś jest pozioma, a masa M znajduje się w lewym, centralnym punkcie ogniska. Pozycja A znajduje się w najbardziej wysuniętej dookoła krawędzi elipsy, odległość r sub A na prawo od masy M. Prędkość w punkcie A to wektora v podpunkt A i jest w górę. Pozycja P znajduje się na lewym końcu krawędzi elipsy, odległość r podp do lewej masy M. Prędkość w punkcie P jest wektorem v pod P i jest skierowana w dół.

57.

Rosyjski satelita komunikacyjny Mołnia (rus. Молния – piorun, błyskawica) ma bardzo wydłużoną orbitę, tak aby zapewnić ciągłość zasięgu komunikacji w krajach skandynawskich i w sąsiedztwie Rosji. Orbita jest tak ustawiona, aby w tych krajach satelita był widoczny przez jak najdłuższy czas (patrz poniżej). Jeżeli satelita na takiej orbicie ma apogeum w odległości 40 000 km mierzonej od środka Ziemi i prędkość 3,0 km/s, to jaka jest jego prędkość w perygeum znajdującym się na wysokości 200,0 km?

Pokazano wysoko ekscentryczną orbitę eliptyczną wokół Ziemi. Ziemia znajduje się w jednym punkcie ogniska elipsy. Na orbicie zaznaczonych jest 11 punktów odpowiadających czasom w godzinach. Czas 0 jest na perigeum (punkt na orbicie, która jest najbliżej Ziemi, a punkt 6 znajduje się w apogeum, (punkt na orbicie najdalej od Ziemi). Czas, odstępy od 6 do 11 i powrót do 0.

58.

Poniżej pokazana jest mała cząstka o masie 20 g, poruszająca się z prędkością 10,0 m/s, która uderza w krawędź pełnego walca i przykleja się do jego brzegu. Walec może się swobodnie obracać wokół osi przechodzącej przez jego środek (wokół osi symetrii walca) i prostopadłej do jego podstawy. Walec o masie 0,5 kg i promieniu 10 cm, znajduje się początkowo w spoczynku. (a) Jaka jest prędkość kątowa układu po zderzeniu? (b) Ile energii kinetycznej jest tracone podczas zderzenia?

Cząstka zderzająca się z walcem, pokazana przed i po zderzeniu. Walec jest pokazany w taki sposób, że jego podstawa leży w płaszczyźnie kartki. Przed zderzeniem, cząstka porusza się poziomo w kierunku górnej krawędzi walca z prędkością 10 metrów na sekundę. W tym czasie walec spoczywa. Po zderzeniu, cząstka wpada do walca, który obraca się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

59.

Robak o masie 0,020 kg znajduje się na brzegu tarczy ( $M = 0,10 k g$ , $R = 0,10 m$ ) obracającej się w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. Tarcza obraca się z prędkością kątową 10,0 rad/s. Robak czołga się do środka tarczy.
(a) Jaka będzie nowa prędkość kątowa tarczy, gdy robak doczołga się do jej środka?
(b) Ile wynosi zmiana energii kinetycznej układu?
(c) Jaka będzie prędkość kątowa tarczy w przypadku, gdy robak doczołga się z powrotem do zewnętrznej krawędzi tarczy?
(d) Jaka jest wtedy nowa energia kinetyczna układu?
(e) Co jest przyczyną wzrostu i spadku energii kinetycznej?

60.

Jednorodny pręt mający masę 200 g i długość 100 cm może swobodnie obracać się w płaszczyźnie poziomej wokół stałej pionowej osi, przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do jego długości. Dwa małe koraliki, każdy o masie 20 g, są umieszczone w rowkach wzdłuż pręta. Początkowo oba koraliki są unieruchomione przy pomocy zaczepów, symetrycznie po przeciwnych stronach środka pręta, w odległości 10 cm od osi obrotu. Gdy koraliki są w tym położeniu, pręt obraca się z prędkością kątową 10,0 rad/s. Kiedy zaczepy zostają zwolnione, koraliki przesuwają się na zewnątrz wzdłuż pręta.
(a) Jaka będzie prędkość kątowa pręta, gdy kulki dotrą do jego końców?
(b) Jaka będzie prędkość kątowa pręta, jeżeli koraliki oderwą się od pręta?

61.

Karuzela ma promień 2,0 m i moment bezwładności $300 k g \cdot m^{2}$ . Chłopiec o masie 50 kg biegnie po ziemi stycznie do obrzeża karuzeli z prędkością 4,0 m/s i wskakuje na nią. Jeżeli karuzela była początkowo w spoczynku, to jaka jest jej prędkość kątowa po wskoczeniu na nią chłopca?

62.

Karuzela na placu zabaw ma masę 120 kg, promień 1,80 m i obraca się z częstotliwością 0,50 obr/s. Jaka jest jej częstotliwość obrotów po tym, gdy dziecko o masie 22,0 kg chwytając za jej zewnętrzną obręcz, wskakuje na karuzelę. Dziecko było początkowo w stanie spoczynku.

63.

Troje dzieci jedzie na karuzeli, siedząc na krzesełkach przy jej krawędzi. Karuzela ma masę 100 kg, promień 1,60 m i wiruje z częstotliwością 20,0 obr/min. Dzieci mają masy 22,0, 28,0, i 33,0 kg. Jeśli dziecko, które ma masę 28,0 kg, przejdzie do środka karuzeli, to jaka będzie nowa częstotliwość obrotów karuzeli?

64.

(a) Oblicz moment pędu łyżwiarza na lodzie obracającego się z częstotliwością 6,0 obr/s i mającego moment bezwładności $0,40 k g \cdot m^{2}$ .
(b) Jak zmniejszy się częstotliwość obrotów (szybkość obrotowa) łyżwiarza po rozciągnięciu przez niego ramion i zwiększeniu w ten sposób momentu bezwładności? Znajdź wartość tego momentu bezwładności, jeśli częstotliwość obrotów łyżwiarza zmaleje do 1,25 obr/s.
(c) Załóżmy, że zamiast rozciągnięcia ramion łyżwiarz pozwala, aby tarcie łyżew o lód spowolniło go do 3,00 obr/s. Jaki był średni moment sił, gdy spowolnienie to zajęło 15,0 s?

65.

Dwie łyżwiarki zbliżają się do siebie, jak pokazano poniżej, i chwytają się za ręce.
(a) Oblicz ich końcową prędkość kątową, jeżeli każda miała początkową prędkość 2,50 m/s względem lodu. Każda z nich ma masę 70,0 kg, a środek masy każdej z nich znajduje się 0,80 m od ich połączonych dłoni. Możesz przybliżyć ich momenty bezwładności masami punktowymi względem ich środka mas.
(b) Porównaj początkową i końcową energię kinetyczną układu.

Rysunek a, po lewej stronie, pokazuje dwóch łyżwiarzy lodowych widzianych z góry, poruszających się z prędkością v względem siebie wzdłuż linii równoległych. Górny łyżwiarz jest zwrócony w prawo, a dolna łyżwiarka w lewo, i są oddzieleni, ale w ten sposób aby ich ręce spotkały się, gdy się do siebie zbliżą. Rysunek b, po prawej, pokazuje łyżwiarzy trzymających za dłonie i poruszających się w kole z prędkością kątową omega. Ich ruch jest zgodny z ruchem wskazówek zegara gdy spoglądamy na nich od góry.

66.

W grze w baseball łapacz wyciąga swoją rękę prosto w górę, aby złapać piłkę poruszającą się z prędkością 40 m/s. Piłka ma masę 0,145 kg, a ręka łapacza ma długość 0,5 m i masę 4,0 kg.
(a) Jaka jest prędkość kątowa ręki względem gniazda (głowy) ramienia natychmiast po złapaniu piłki?
(b) Ile wynosi moment pędu, gdy chwytacz wstrzymuje obrót ramienia 0,3 s po złapaniu piłki?

67.

W 2015 roku, w Warszawie, Olivia Rybicka-Oliver, 11-letnia Kanadyjka polskiego pochodzenia pobiła rekord świata jako najszybsza wykonawczyni piruetów na łyżwach. Osiągnęła ona rekordowe 342 obr/min, pobijając dotychczasowy rekord Guinnessa o 34 obroty. Jeżeli łyżwiarka rozciąga ramiona przy tej liczbie obrotów, to jaka jest jej nowa częstotliwość obrotów (szybkość obrotowa)? Załóżmy, że w celu rozwiązania zadania, w czasie pobijania rekordu łyżwiarka może być przybliżona przez 45-kilogramowy pręt, który ma 1,7 m wysokości i promień 15 cm. Gdy po pobiciu rekordu wyciąga ręce, mogą być one przybliżone prętem o długości 130 cm i masie stanowiącej 10% masy jej ciała, zorientowanym prostopadle do osi obrotu. Zignoruj siły tarcia.

68.

Satelita znajduje się na geostacjonarnej orbicie kołowej odległej o 42 164 km od centrum Ziemi. Z satelitą zderza się niewielka asteroida i wyrzuca go na eliptyczną orbitę z jej apogeum odległym o 45 000 km od centrum Ziemi. Jaka jest prędkość satelity w apogeum? Załóżmy, że jej moment pędu w czasie zderzenia został zachowany.

69.

Gimnastyczka robi przewroty na podłodze, a następnie po odbiciu „wyrzuca” się w powietrze wykonując, kilka koziołków w pozycji skulonej. Jeśli jej moment bezwładności podczas robienia przewrotów wynosi $13,5 k g \cdot m^{2}$ , a jej częstotliwość (szybkość) wirowania wynosi 0,5 obr/s, to ile obrotów robi ona w powietrzu, jeśli jej moment bezwładności w pozycji skulonej wynosi $3,4 k g \cdot m^{2}$ , a ma ona na wykonanie koziołków w powietrzu 2,0 s?

70.

Wirówka w NASA Ames Research Center ma promień 8,8 m i może dawać odśrodkowe siły bezwładności do 20g (20 razy siła grawitacji na powierzchni Ziemi).
(a) Ile wynosi moment pędu ładunku o masie 20 kg, który doznaje przeciążenia 10g w wirówce?
(b) Jeżeli silnik sterownika wirówki został wyłączony, a ładunek zmalał do 10 kg, to jaka będzie jego nowa szybkość (częstotliwość) wirowania, jeżeli zignorujemy siły tarcia?

71.

Diabelskie koło (diabelski młyn) ma cztery szprychy, do których są podwieszone gondole, przy czym każda może pomieścić dwie osoby. Ramiona szprych mają po 15 m długości i są przymocowane do osi centralnej. Każda szprycha ma masę 200,0 kg, a gondole po 100,0 kg. Jeśli podczas jazdy koło obraca się z częstotliwością 0,2 obr/s, a w każdej kapsule znajduje się dwoje dzieci o masie po 50,0 kg każde, to jaka będzie nowa szybkość (częstotliwość) wirowania, jeśli wszystkie dzieci wyskoczą w czasie jazdy?

72.

Łyżwiarz przygotowuje się do skoku z obrotem z rozszerzonymi (wyciągniętymi) rękami. Podczas gdy jego ręce są rozciągnięte obraca się on z częstotliwością 0,5 obr/s, a jego moment bezwładności wynosi $1,8 k g \cdot m^{2}$ . Jeśli łyżwiarz wybija się w powietrze z prędkością 9,0 m/s, przy kącie 45° w stosunku do lodu, to ile obrotów może on wykonać podczas lotu, jeśli jego moment bezwładności w powietrzu wynosi $0,5 k g \cdot m^{2}$ ?

73.

Stacja kosmiczna ma postać olbrzymiego obracającego się cylindra o masie $10^{6} k g$ i promieniu 100 m z ludźmi na jego wewnętrznej powierzchni. W celu wytworzenia sztucznej grawitacji obraca się ona wokół własnej osi z częstotliwością 3,30 obr/min. Jeśli 100 osób o przeciętnej masie 65 kg oczekuje na mający przybyć statek kosmiczny, to jaka jest nowa częstotliwość obrotów (szybkość obrotowa), gdy wszyscy ludzie opuszczą stację?

74.

Neptun ma masę $1,0 \cdot 10^{26} k g$ , dzieli go odległość $4,5 \cdot 10^{9} k m$ od Słońca, a jego okres obiegu wokół niego równy jest 165 lat. Według jednej z hipotez dotyczących powstania Układu Słonecznego wyewoluował on z pierwotnego gazowego dysku, który miał promień $10^{11} k m$ . Z większości jego masy około 4,5 miliarda lat temu powstało Słońce, a z reszty planety – planetoidy i asteroidy. Jeśli przyjmiemy, że Neptun, zewnętrzna planeta Układu Słonecznego, powstał z tych części obłoku, które były rozłożone równomiernie na jego zewnętrznych krawędziach, to jaki był okres obrotu zewnętrznych krawędzi pierwotnego dysku?

11.4 Precesja żyroskopu

75.

Żyroskop ma wbudowany dysk o masie 0,5 kg i promieniu 10 cm, który obraca się z częstotliwością 40 obr/s. Środek masy dysku znajduje się w odległości 10 cm od trzpienia obrotowego, na którym osadzona jest oś obrotu żyroskopu. Jaka jest prędkość kątowa jego precesji?

76.

Prędkość kątowa precesji żyroskopu wynosi 1,0 rad/s. Jeżeli masa obracającej się tarczy (dysku) żyroskopu wynosi 0,4 kg, jego promień 30 cm, a odległość od środka masy do przegubu (trzpienia) obrotowego jest równa promieniowi, to jaka jest częstotliwość obrotów dysku?

77.

Oś Ziemi tworzy kąt $23, 5^{\circ}$ z kierunkiem prostopadłym do płaszczyzny orbity ziemskiej (ekliptyki). Tak jak pokazano poniżej, oś ta ulega precesji, przy czym jeden kompletny obrót wynosi 25 780 lat.

(a) Oblicz zmianę momentu pędu dla połowy tego czasu.

(b) Jaki jest średni moment sił, które powodują tę zmianę momentu pędu?

(c) W przypadku gdyby moment ten został wywołany przez parę sił przyłożonych w najbardziej efektywnych punktach, tj. na równiku, to jaka jest ich wartość?

Figura przedstawia obraz Ziemi. Płaszczyzna orbity Ziemi jest pokazana jako linia pozioma na równiku. Oś północ–południe jest odchylona od pionu o kąt 23,5 stopnia. Wektory, L i L prim, nachylone pod kątem 23.5 do pionu są zaczepione w środku Ziemi. Wektor L przechodzi przez biegun północny Ziemi. Groty wektorów dotykają obwodu koła, które, jeśli patrzymy z góry obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor delta L jest skierowany w lewo, wzdłuż średnicy koła.