Capítulo 6

$12$ unidades²

$\frac{3}{10}$ unidad²

$2+2\sqrt{2}$ unidades²

$\frac{5}{3}$ unidades²

$\frac{5}{3}$ unidades²

$\frac{\pi }{2}$

$8\pi$ unidades³

$21\pi$ unidades³

$\frac{10\pi }{3}$ unidades³

$60\pi$ unidades³

$\frac{15\pi }{2}$ unidades³

$8\pi$ unidades³

$12\pi$ unidades³

$\frac{11\pi }{6}$ unidades³

$\frac{\pi }{6}$ unidades³

Utilice el método de las arandelas; $V={\displaystyle {\int }_{\mathrm{–1}}^1\pi }\left[{\left(2-x^2\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2\right]dx$

$\frac{1}{6}\left(5\sqrt{5}-1\right)\approx \mathrm{1,697}$

$\text{Longitud de arco}\approx \mathrm{3,8202}$

$\text{Longitud de arco}=\mathrm{3,15018}$

$\frac{\pi }{6}\left(5\sqrt{5}-3\sqrt{3}\right)\approx \mathrm{3,133}$

$12\pi$

$70\text{/}3$

$24\pi$

$8$ ft-lb

Aproximadamente $43255.2$ ft-lb

$156800$ N

Aproximadamente 7.164.520.000 lb o 3.582.260 t

$M=24,\bar{x}=\frac{2}{5}\text{m}$

$\left(\mathrm{–1},\mathrm{–1}\right)$ m

El centroide de la región es $\left(3\text{/}2,6\text{/}5\right).$

El centroide de la región es $\left(1,13\text{/}5\right).$

El centroide de la región es $\left(0,2\text{/}5\right).$

$6{\pi }^2$ unidades³

1. $\frac{d}{dx}\text{ln}\left(2x^2+x\right)=\frac{4x+1}{2x^2+x}$
2. $\frac{d}{dx}{\left(\text{ln}\left(x^3\right)\right)}^2=\frac{6\text{ln}\left(x^3\right)}{x}$

${\displaystyle \int \frac{x^2}{x^3+6}}dx=\frac{1}{3}\text{ln}\left|x^3+6\right|+C$

$4\text{ln}2$

1. $\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x^2}}{e^{5x}}\right)=e^{x^2-5x}\left(2x-5\right)$ grandes.
2. $\frac{d}{dt}{\left(e^{2t}\right)}^3=6e^{6t}$

${\displaystyle \int \frac{4}{e^{3x}}dx}=–\frac{4}{3}{e}^{\mathrm{-3}x}+C$

1. $\frac{d}{dt}{4}^{t^4}=4^{t^4}\left(\text{ln}4\right)\left(4t^3\right)$ grandes.
2. $\frac{d}{dx}{\text{log}}_3\left(\sqrt{x^2+1}\right)=\frac{x}{\left(\text{ln}3\right)\left(x^2+1\right)}$

${\displaystyle \int x^2{2}^{x^3}dx}=\frac{1}{3\text{ln}2}{2}^{x^3}+C$

Hay $81377396$ bacterias en la población después de $4$ horas. La población alcanza $100$ millones de bacterias después de $\mathrm{244,12}$ minutos.

A $5\text{ \%}$ interés, debe invertir $\text{\$}223130.16.$ A $6\text{ \%}$ interés, debe invertir $\text{\$}165298.89.$

$\mathrm{38,90}$ meses

El café se enfría lo suficiente como para servirlo alrededor de $\mathrm{3,5}$ minutos después de ser vertido. El café está demasiado frío para servir cerca de $7$ minutos después de ser vertido.

Un total de $\mathrm{94,13}$ g de carbono. El artefacto tiene aproximadamente $13.300$ años.

1. $\frac{d}{dx}\left(\text{tanh}\left(x^2+3x\right)\right)=\left({\text{sech}}^2\left(x^2+3x\right)\right)\left(2x+3\right)$ grandes.
2. $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{{\left(\text{senoh}x\right)}^2}\right)=\frac{d}{dx}{\left(\text{senoh}x\right)}^{\mathrm{-2}}=\mathrm{-2}{\left(\text{senoh}x\right)}^{\mathrm{-3}}\text{cosh}x$

1. ${\displaystyle \int {\text{senoh}}^{3}x\text{cosh}xd}x=\frac{{\text{senoh}}^{4}x}{4}+C$
2. ${\displaystyle \int {\text{sech}}^2\left(3x\right)d}x=\frac{\text{tanh}\left(3x\right)}{3}+C$ (carbono 14).

1. $\frac{d}{dx}\left({\text{cosh}}^{\mathrm{-1}}\left(3x\right)\right)=\frac{3}{\sqrt{9x^2–1}}$
2. $\frac{d}{dx}{\left({\text{coth}}^{\mathrm{-1}}x\right)}^3=\frac{3{\left({\text{coth}}^{\mathrm{-1}}x\right)}^2}{1-x^2}$

1. ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-4}}d}x={\text{cosh}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{2}\right)+C$
2. ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}}d}x=\text{−}{\text{sech}}^{\mathrm{-1}}\left(e^x\right)+C$ (carbono 14).

$\mathrm{52,95}\text{pies}$

$\frac{32}{3}$

$\frac{13}{12}$

$36$

243 unidades cuadradas

4

$\frac{2{\left(e-1\right)}^2}{e}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{34}{3}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{9}{2}$

$\frac{9}{2}$

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$e\mathrm{-2}$

$\frac{27}{4}$

$\frac{4}{3}-\text{ln}(3)$ grandes.

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\mathrm{-2}\left(\sqrt{2}-\pi \right)$

$\mathrm{1,067}$

$\mathrm{0,852}$

$\mathrm{7,523}$

$\frac{3\pi -4}{12}$

$\mathrm{1,429}$

$\text{\$}\mathrm{33.333,33}$ de beneficio total en $200$ teléfonos celulares vendidos

$\mathrm{3,263}$ mi representa qué tan lejos está la liebre de la tortuga.

$\frac{343}{24}$

$4\sqrt{3}$

$\pi -\frac{32}{25}$

8 unidades³

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ unidades³

$\frac{7}{24}\pi r^{2}h$ unidades³

$\frac{\pi }{24}$ unidades³

$2$ unidades³

$\frac{\pi }{240}$ unidades³

$\frac{4096\pi }{5}$ unidades³

$\frac{8\pi }{9}$ unidades³

$\frac{\pi }{2}$ unidades³

$207\pi$ unidades³

$\frac{4\pi }{5}$ unidades³

$\frac{16\pi }{3}$ unidades³

$\pi$ unidades³

$\frac{16\pi }{3}$ unidades³

$\frac{72\pi }{5}$ unidades³

$\frac{108\pi }{5}$ unidades³

$\frac{3\pi }{10}$ unidades³

$2\sqrt{6}\pi$ unidades³

$9\pi$ unidades³

$\frac{\pi }{20}\left(75-4{\text{ln}}^5\left(2\right)\right)$ unidades³

$\frac{m^2\pi }{3}\left(b^3-a^3\right)$ unidades³

$\frac{4a^{2}b\pi }{3}$ unidades³

$2{\pi }^2$ unidades³

$\frac{2a{b}^2\pi }{3}$ unidades³

$\frac{\pi }{12}{\left(r+h\right)}^2\left(6r-h\right)$ unidades³

$\frac{\pi }{3}\left(h+R\right){\left(h-2R\right)}^2$ unidades³

$54\pi$ unidades³

$81\pi$ unidades³

$\frac{512\pi }{7}$ unidades³

$2\pi$ unidades³

$\frac{2\pi }{3}$ unidades³

$2\pi$ unidades³

$\frac{4\pi }{5}$ unidades³

$\frac{64\pi }{3}$ unidades³

$\frac{32\pi }{5}$ unidades³

$\frac{7\pi }{6}$

$48\pi$

$\frac{114\pi }{5}$

$\frac{512\pi }{7}$

$\frac{96\pi }{5}$ unidades³

$\frac{28\pi }{15}$ unidades³

$\frac{3\pi }{10}$ unidades³

$\mathrm{\pi }\left(\frac{6.2^{2/3}}{5}–\frac{11}{10}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(12.2^{2/3}–11\right)\approx 2.5286$ unidades³

$\mathrm{0,9876}$ unidades³

$3\sqrt{2}$ unidades³

$\frac{496\pi }{15}$ unidades³

$\frac{398\pi }{15}$ unidades³

$\mathrm{15,9074}$ unidades³

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ unidades³

$\pi r^{2}h$ unidades³

$\pi a^2$ unidades³

$2\sqrt{26}$

$2\sqrt{17}$

$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\right)$

$\frac{13\sqrt{13}-8}{27}$

$\frac{4}{3}$

$\mathrm{2,0035}$

$\frac{123}{32}$

$10$

$\frac{20}{3}$

$\frac{1}{675}\left(229\sqrt{229}-8\right)$

$\frac{1}{8}\left(4\sqrt{5}+\text{ln}\left(9+4\sqrt{5}\right)\right)$ grandes.

$\mathrm{1,201}$

$\mathrm{15,2341}$

$\frac{49\pi }{3}$

$70\pi \sqrt{2}$

$8\pi$

$120\pi \sqrt{26}$

$\frac{\pi }{6}\left(17\sqrt{17}-1\right)$ grandes.

$9\sqrt{2}\pi$

$\frac{10\sqrt{10}\pi }{27}\left(73\sqrt{73}-1\right)$

$\mathrm{25,645}$

$\mathrm{\pi }(\mathrm{\pi }+2)$

$\mathrm{10,5017}$

$23$ pies

$2$

Las respuestas pueden variar

Para más información, busque el cuerno de Gabriel.

$150$ ft-lb

$200\text{J}$

$1$ J

$\frac{39}{2}$

$\text{ln}\left(243\right)$

$\frac{332\pi }{15}$

$100\pi$

$20\pi \sqrt{15}$

$6$ J

$5$ cm

$36$ J

$18.750$ ft-lb

Peso$=\frac{32}{3}\times {10}^9\text{lb}$

Trabajo $=\frac{4}{3}\times {10}^{12}\text{ft-lb}$

$\mathrm{9,71}\times {10}^2\text{N m}$

a. $\mathrm{3.000.000}$ lb, b. $749.000$ lb

$23.25\pi$ millones de ft-lb.

$\frac{A\rho H^2}{2}$

Las respuestas pueden variar

$\frac{5}{4}$

$\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ grandes.

$\left(\frac{7}{4},\frac{3}{2}\right)$

$\frac{3L}{4}$

$\frac{\pi }{2}$

$\frac{e^2+1}{e^2–1}$

$\frac{{\pi }^2-4}{\pi }$

$\frac{1}{4}\left(1+e^2\right)$

$\left(\frac{a}{3},\frac{b}{3}\right)$ grandes.

$\left(0,\frac{\pi }{8}\right)$

$(0,3)$

$\left(0,\frac{4}{\pi }\right)$

$\left(\frac{5}{8},\frac{1}{3}\right)$

$\frac{2m\pi }{3}$

$\pi a^{2}b$

$\left(\frac{4}{3\pi },\frac{4}{3\pi }\right)$

$\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right)$

$\left(0,\frac{28}{9\pi }\right)$

Centro de masa: $\left(\frac{a}{6},\frac{4a^2}{5}\right),$ volumen: $\frac{2\pi a^4}{9}$

Volumen: $2{\pi }^2{a}^2\left(b+a\right)$

$\frac{1}{x}$

$-\frac{1}{x{(\text{ln}x)}^2}$

$\text{ln}\left(x+1\right)+C$

$\text{ln}\left(x\right)+1$

$\text{cot}\left(x\right)$

$\frac{7}{x}$

$\text{csc}\left(x\right)\text{sec}x$

$\mathrm{-2}\text{tan}x$

$\frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{5}{3}\right)$ grandes.

$2–\frac{1}{2}\text{ln}\left(5\right)$ grandes.

$\frac{1}{\text{ln}\left(2\right)}-1$

$\frac{1}{2}\text{ln}\left(2\right)$ grandes.

$\frac{1}{3}{\left(\text{ln}x\right)}^3$

$\frac{2x^3}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2–1}}$

$x^{\mathrm{-2}-(1\text{/}x)}\left(\text{ln}x–1\right)$ grandes.

$e{x}^{e-1}$

$1$

$-\frac{1}{x^2}$

$\pi -\text{ln}\left(2\right)$ grandes.

$\frac{1}{x}$

$e^5-6{\text{al cuadrado}}^2$

$\text{ln}\left(4\right)-1{\text{al cuadrado}}^2$

$\mathrm{2,8656}$

$\mathrm{3,1502}$

Verdadero

Falso; $k=\frac{\text{ln}\left(2\right)}{t}$

$20$ horas

No. La reliquia tiene aproximadamente $871$ años.

$\mathrm{71,92}$ años

$5$ días $6$ horas $27$ minutos

$12$

$\mathrm{8,618}\text{ \%}$

$\text{\$}\mathrm{6766,76}$

$9$ horas $13$ minutos

$239.179$ años

$P\prime \left(t\right)=43e^{\mathrm{0,01604}t}.$ La población siempre aumenta.

La población alcanza $10$ mil millones de personas en $2027.$

$P\prime \left(t\right)=\mathrm{2,259}{e}^{\mathrm{0,06407}t}.$ La población siempre aumenta.

$e^x\text{y}{e}^{\text{–}x}$

Las respuestas pueden variar

Las respuestas pueden variar

Las respuestas pueden variar

$3\text{senoh}\left(3x+1\right)$

$\text{−}\text{tanh}\left(x\right)\text{sech}\left(x\right)$

$4\text{cosh}\left(x\right)\text{senoh}\left(x\right)$

$\frac{x{\text{sech}}^2\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$

$6{\text{senoh}}^5\left(x\right)\text{cosh}\left(x\right)$

$\frac{1}{2}\text{senoh}\left(2x+1\right)+C$

$\frac{1}{2}{\text{senoh}}^2\left(x^2\right)+C$

$\frac{1}{3}{\text{cosh}}^3\left(x\right)+C$

$\text{ln}\left(1+\text{cosh}(x)\right)+C$

$\text{cosh}\left(x\right)+\text{senoh}\left(x\right)+C$

$\frac{4}{1-16x^2}$

$\frac{\text{senoh}\left(x\right)}{\sqrt{{\text{cosh}}^2\left(x\right)+1}}$

$\text{−}\text{csc}\left(x\right)$ grandes.

$-\frac{1}{\left(x^2–1\right){\text{tanh}}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)}$

$\frac{1}{a}{\text{tanh}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{a}\right)+C$

$\sqrt{x^2+1}+C$

${\text{cosh}}^{\mathrm{-1}}\left(e^x\right)+C$

Las respuestas pueden variar

$\mathrm{37,30}$

$y=\frac{1}{c}\text{cosh}(cx)$

$\mathrm{-0,521095}$

$10$

Falso

Falso

$32\sqrt{3}$

$\frac{162\pi }{5}$

a. $4,$ b. $\frac{128\pi }{7},$ c. $\frac{64\pi }{5}$