6.6 Momentos y centros de masa

Centro de masa y momentos

Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la Figura 6.62(a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas $m_1$ y $m_2$ a las distancias $d_1$ y $d_2$ del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la Figura 6.62(b).

Figura 6.62 (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas sobre la varilla.

El ejemplo más común en la vida real de un sistema de este tipo es el balancín de un parque infantil, con niños de distinto peso sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el más pesado se hunde y el más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas de la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si $m_1{d}_1=m_2{d}_2.$

En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (los niños) con respecto al punto de apoyo. Sin embargo, lo que realmente nos interesa son los sistemas en los que no se permite el movimiento de las masas, y en su lugar equilibramos el sistema moviendo el punto de apoyo. Supongamos que tenemos dos masas puntuales, $m_1$ y $m_2,$ situadas en una línea numérica en los puntos $x_1$ y $x_2,$ respectivamente (Figura 6.63). El centro de masa, $\bar{x},$ es el punto donde se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema se equilibre.

Figura 6.63 El centro de masa $\bar{x}$ es el punto de equilibrio del sistema.

Por lo tanto, tenemos

La expresión en el numerador, $m_1{x}_1+m_2{x}_2,$ se denomina primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo se prescinde de la palabra primero y se denomina simplemente momento del sistema. La expresión en el denominador, $m_1+m_2,$ es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que se podría concentrar la masa total del sistema sin cambiar el momento.

Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si n masas, $m_1,m_2\text{,…},m_n,$ se colocan en una línea numérica en los puntos $x_1,x_2\text{,…},x_n,$ respectivamente, entonces el centro de masa del sistema viene dado por

Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.

Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Supongamos que $m_1$ es una masa puntual situada en el punto $\left(x_1,y_1\right)$ en el plano. Entonces el momento $M_x$ de la masa con respecto al eje x viene dado por $M_x=m_1{y}_1.$ Del mismo modo, el momento $M_y$ con respecto al eje y viene dado por $M_y=m_1{x}_1.$ Observe que la coordenada x del punto se utiliza para calcular el momento con respecto al eje y, y viceversa. La razón es que la coordenada x da la distancia de la masa puntual al eje y, en tanto que la coordenada y da la distancia al eje x (vea la siguiente figura).

Figura 6.64 La masa puntual $m_1$ se encuentra en el punto $\left(x_1,y_1\right)$ en el plano.

Si tenemos varias masas puntuales en el plano xy, podemos utilizar los momentos respecto a los ejes x y y para calcular las coordenadas x y y del centro de masa del sistema.

El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema.

Centro de masa de las placas finas

Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina. A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante.

Las láminas suelen representarse mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de dicha región se denomina centroide. Como supusimos que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina solo depende de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y.

Consideraremos primero una lámina con forma de rectángulo. Recordemos que el centro de masa de una lámina es el punto de equilibrio de la misma. En un rectángulo, ese punto es el centro horizontal y vertical del rectángulo. En base a este entendimiento, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se cruzan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría, y se afirma aquí sin pruebas.

Pasemos a las láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina limitada por encima por el gráfico de una función continua $f(x),$ abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas $x=a$ y $x=b,$ respectivamente, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.65 Una región en el plano que representa una lámina.

Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina necesitamos encontrar la masa total de esta, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y. Como ya hemos hecho muchas veces, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo $\left[a,b\right]$ y construyendo rectángulos.

Para $i=0,1,2\text{,…},n,$ supongamos que $P=\left\{x_i\right\}$ es una partición regular de $\left[a,b\right].$ Recordemos que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo $\left[x_{i-1},x_i\right]$ como nuestra $x_i^{*}.$ En este caso, queremos $x_i^{*}$ para ser la coordenada x del centroide de nuestros rectángulos. Así, para $i=1,2\text{,…},n,$ seleccionamos $x_i^{*}\in \left[x_{i-1},x_i\right]$ de manera que $x_i^{*}$ es el punto medio del intervalo. Eso es, $x_i^{*}=\left(x_{i-1}+x_i\right)\text{/}2.$ Ahora, para $i=1,2\text{,…},n,$ construya un rectángulo de altura $f\left(x_i^{*}\right)$ sobre $\left[x_{i-1},x_i\right].$ El centro de masa de este rectángulo es $\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2\right),$ como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.66 Un rectángulo representativo de la lámina.

A continuación, tenemos que encontrar la masa total del rectángulo. Supongamos que $\rho$ representa la densidad de la lámina (nótese que $\rho$ es una constante). En este caso, $\rho$ se expresa en términos de masa por unidad de superficie. Así, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por $\rho .$ Entonces, la masa del rectángulo viene dada por $\rho f(x_i^{*})\text{Δ}x.$

Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener

Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que $n\to \infty$ da la masa exacta de la lámina:

A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje x. Volviendo al rectángulo representativo, recordemos que su centro de masa es $\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2\right).$ Recordemos también si tratamos el rectángulo como si fuera una masa puntual situada en el centro de masa no cambia el momento. Así, el momento del rectángulo con respecto al eje x viene dado por la masa del rectángulo, $\rho f(x_i^{*})\text{Δ}x,$ multiplicado por la distancia desde centro de masa al eje x: $\left(f(x_i^{*})\right)\text{/}2.$ Por lo tanto, el momento con respecto al eje x del rectángulo es $\rho \left({\left[f(x_i^{*})\right]}^2\text{/}2\right)\text{Δ}x.$ Al sumar los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina respecto al eje x es

Derivamos el momento con respecto al eje y de forma similar, observando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje y es $x_i^{*}.$ Entonces el momento de la lámina con respecto al eje y viene dado por

Hallamos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener $\bar{x}=M_y\text{/}m\text{y}\bar{y}=M_x\text{/}m.$ Si observamos detenidamente las expresiones de $M_x,M_y,\text{y}m,$ observamos que la constante $\rho$ se cancela cuando $\bar{x}$ y $\bar{y}$ se calculan.

Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema.

En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para hallar el centro de masa de una lámina.

Ejemplo 6.31

Hallar el centro de masa de una lámina

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f(x)=\sqrt{x}$ y abajo por el eje x en el intervalo $\left[0,4\right].$ Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Figura 6.67 Encontrar el centro de masa de una lámina.

Como solo se nos pide el centroide de la región, y no la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad $\rho$ eventualmente se cancela de los cálculos. Por lo tanto, por razones de conveniencia, supongamos que $\rho =1.$

En primer lugar, tenemos que calcular la masa total:

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^{b}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^4\sqrt{x}}dx\hfill \\ & ={\frac{2}{3}{x}^{3\text{/}2}|}_0^4=\frac{2}{3}\left[8-0\right]=\frac{16}{3}.\hfill \end{array}$$

A continuación, calculamos los momentos:

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left[f(x)\right]}^2}{2}dx}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^4\frac{x}{2}dx}={\frac{1}{4}{x}^2|}_0^4=4\hfill \end{array}$$

y

$$\begin{array}{cc}\hfill M_y& =\rho {\displaystyle {\int }_a^{b}xf(x)dx}\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_0^{4}x\sqrt{x}dx}={\displaystyle {\int }_0^4{x}^{3\text{/}2}}dx\hfill \\ & ={\frac{2}{5}{x}^{5\text{/}2}|}_0^4=\frac{2}{5}\left[32-0\right]=\frac{64}{5}.\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{64\text{/}5}{16\text{/}3}=\frac{64}{5}.\frac{3}{16}=\frac{12}{5}\text{y}\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{4}{16\text{/}3}=4.\frac{3}{16}=\frac{3}{4}.$$

El centroide de la región es $\left(12\text{/}5,3\text{/}4\right).$

Podemos adaptar este enfoque para encontrar también los centroides de regiones más complejas. Supongamos que nuestra región está limitada por el gráfico de una función continua $f(x),$ como antes, pero ahora, en vez de que el límite inferior de la región sea el eje x, supondremos que la región está limitada por debajo por el gráfico de una segunda función continua, $g(x),$ como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.68 Una región entre dos funciones.

De nuevo, dividimos el intervalo $\left[a,b\right]$ y construimos rectángulos. En la siguiente figura se muestra un rectángulo representativo.

Figura 6.69 Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones.

Observe que el centroide de este rectángulo es $\left(x_i^{*},\left(f(x_i^{*})+g(x_i^{*})\right)\text{/}2\right).$ No vamos a repasar todos los detalles de la formulación de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje y, la altura de cada rectángulo viene dada por $f(x_i^{*})-g(x_i^{*}),$ lo que nos dirige a la expresión $f(x)-g(x)$ en los integrandos.

En el desarrollo de la fórmula del momento con respecto al eje x, el momento de cada rectángulo se halla al multiplicar el área del rectángulo, $\rho \left[f(x_i^{*})-g(x_i^{*})\right]\text{Δ}x,$ por la distancia del centroide al eje x, $\left(f(x_i^{*})+g(x_i^{*})\right)\text{/}2,$ que da $\rho \left(1\text{/}2\right)\left\{{\left[f(x_i^{*})\right]}^2-{\left[g(x_i^{*})\right]}^2\right\}\text{Δ}x.$ Al resumir estas conclusiones, llegamos al siguiente teorema.

Ilustramos este teorema con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.32

Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f(x)=1-x^2$ y abajo por el gráfico de la función $g(x)=x–1.$ Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Figura 6.70 Hale el centroide de una región entre dos curvas.

Los gráficos de las funciones se cruzan en $\left(\mathrm{–2},\mathrm{-3}\right)$ y $(1,0),$ por lo que integramos de -2 a 1. Una vez más, por comodidad, supongamos que $\rho =1.$

En primer lugar, tenemos que calcular la masa total:

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_{\mathrm{–2}}^1\left[1-x^2-(x–1)\right]}dx={{\displaystyle \int }}_{\mathrm{–2}}^1(2-x^2-x)dx\hfill \\ & ={\left[2x–\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]|}_{\mathrm{-2}}^1=\left[2–\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right]-\left[\mathrm{-4}+\frac{8}{3}-2\right]=\frac{9}{2}.\hfill \end{array}$$

A continuación, calculamos los momentos:

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{2}\left({\left[f(x)\right]}^2-{\left[g(x)\right]}^2\right)}dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{–2}}^1\left({\left(1-x^2\right)}^2-{\left(x–1\right)}^2\right)dx}=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{–2}}^1\left(x^4-3x^2+2x\right)dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{x^5}{5}-x^3+x^2\right]|}_{\mathrm{-2}}^1=-\frac{27}{10}\hfill \end{array}$$

y

$$\begin{array}{cc}\hfill M_y& =\rho {\displaystyle {\int }_a^{b}x\left[f(x)-g(x)\right]dx}\hfill \\ & ={{\displaystyle \int }}_{\mathrm{–2}}^{1}x\left[(1-x^2)-(x–1)\right]dx={{\displaystyle \int }}_{\mathrm{–2}}^{1}x\left[2-x^2-x\right]dx\hfill \\ ={{\displaystyle \int }}_{\mathrm{–2}}^1\left(2x–x^4-x^2\right)dx\\ & ={\left[x^2-\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}\right]|}_{\mathrm{-2}}^1=-\frac{9}{4}.\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\bar{x}=\frac{M_y}{m}=-\frac{9}{4}.\frac{2}{9}=-\frac{1}{2}\text{y}\bar{y}=\frac{M_x}{m}=-\frac{27}{10}.\frac{2}{9}=-\frac{3}{5}.$$

El centroide de la región es $\left(\text{−}\left(1\text{/}2\right),\text{−}\left(3\text{/}5\right)\right).$

El principio de simetría

El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.33

Encontrar el centroide de una región simétrica

Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función $f(x)=4-x^2$ y abajo por el eje x. Halle el centroide de la región.

Solución

La región se representa en la siguiente figura.

Figura 6.71 Podemos utilizar el principio de simetría para encontrar el centroide de una región simétrica.

La región es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto, la coordenada x del centroide es cero. Solo tenemos que calcular $\bar{y}.$ Una vez más, para mayor facilidad, supongamos que $\rho =1.$

En primer lugar, calculamos la masa total:

$$\begin{array}{cc}\hfill m& =\rho {{\displaystyle \int }}_a^{b}f(x)dx\hfill \\ & ={\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^2\left(4-x^2\right)}dx\hfill \\ & ={\left[4x–\frac{x^3}{3}\right]|}_{\mathrm{-2}}^2=\frac{32}{3}.\hfill \end{array}$$

A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos $M_x\text{:}$

$$\begin{array}{cc}\hfill M_x& =\rho {\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left[f(x)\right]}^2}{2}dx}\hfill \\ & =\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^2{\left[4-x^2\right]}^{2}dx=\frac{1}{2}{{\displaystyle \int }}_{\mathrm{-2}}^2\left(16-8x^2+x^4\right)dx\hfill \\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x\right]|}_{\mathrm{-2}}^2=\frac{256}{15}.\hfill \end{array}$$

Entonces tenemos

$$\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{256}{15}.\frac{3}{32}=\frac{8}{5}.$$

El centroide de la región es $\left(0,8\text{/}5\right).$

Proyecto de estudiante

El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón

El Skywalk del Gran Cañón se abrió al público el 28 de marzo de 2007. Esta maravilla de la ingeniería es una plataforma de observación en forma de herradura suspendida a 4.000 ft sobre el río Colorado, en el borde oeste del Gran Cañón. Su suelo de cristal permite unas vistas impresionantes del cañón (vea la siguiente figura).

Figura 6.72 El Skywalk del Gran Cañón ofrece magníficas vistas del cañón (créditos: 10da_ralta, Wikimedia Commons).

El Skywalk es un diseño en voladizo, lo que significa que la plataforma de observación se extiende sobre el borde del cañón, sin ningún medio de apoyo visible por debajo. A pesar de la falta de postes o puntales de apoyo visibles, las estructuras en voladizo están diseñadas para ser muy estables y el Skywalk no es una excepción. La plataforma de observación está firmemente sujeta a postes de apoyo que se extienden 46 pies de profundidad en el lecho de roca. La estructura se construyó para resistir vientos de 100 mph y un terremoto de 8,0 de magnitud en un radio de 50 mi, y es capaz de soportar más de 70.000.000 lb.

Un factor que afecta a la estabilidad del Skywalk es el centro de gravedad de la estructura. Calculemos el centro de gravedad del Skywalk y examinemos cómo cambia el centro de gravedad cuando los turistas salen a la plataforma de observación.

La plataforma de observación tiene forma de U. Las patas de la U tienen 10 ft de ancho y comienzan en tierra, bajo el centro de visitantes, a 48 ft del borde del cañón. La plataforma se extiende 70 ft sobre el borde del cañón.

Para calcular el centro de masa de la estructura, la tratamos como una lámina y utilizamos una región bidimensional en el plano xy para representar la plataforma. Comenzamos dividiendo la región en tres subregiones para poder considerar cada una de ellas por separado. La primera región, denotada $R_1,$ consiste en la parte curva de la U. Modelamos $R_1$ como un anillo semicircular, con un radio interior de 25 pies y un radio exterior de 35 pies, centrado en el origen (vea la siguiente figura).

Figura 6.73 Modelamos el Skywalk con tres subregiones.

Las patas de la plataforma, que se extienden 35 ft entre $R_1$ y la pared del cañón comprenden la segunda subregión, $R_2.$ Por último, los extremos de las patas, que se extienden 48 ft por debajo del centro de visitantes, comprenden la tercera subregión, $R_3.$ Suponga que la densidad de la lámina es constante y asuma que el peso total de la plataforma es de 1.200.000 lb (sin incluir el peso del centro de visitantes; lo consideraremos más adelante). Utilice la sustitución en $g=32{\text{ft/s}}^2.$

1. Calcule el área de cada una de las tres subregiones. Observe que las áreas de las regiones $R_2$ y $R_3$ deben incluir solo las zonas de las piernas, no el espacio abierto entre ellas. Redondee las respuestas al pie cuadrado más cercano.
2. Determine la masa asociada a cada una de las tres subregiones.
3. Calcule el centro de masa de cada una de las tres subregiones.
4. Ahora, considere cada una de las tres subregiones como una masa puntual situada en el centro de masa de la subregión correspondiente. Utilizando esta representación, calcule el centro de masa de toda la plataforma.
5. Supongamos que el centro de visitantes pesa 2.200.000 lb, con un centro de masa correspondiente al centro de masa de $R_3.$ Considerando el centro de visitantes como una masa puntual, recalcule el centro de masa del sistema. ¿Cómo cambia el centro de masa?
6. Aunque el Skywalk se construyó para limitar el número de personas en la plataforma de observación a 120, la plataforma es capaz de soportar hasta 800 personas de 200 libras cada una. Si se permitiera la entrada de las 800 personas en el andén y todas se dirigieran al extremo más alejado del mismo, ¿cómo se vería afectado el centro de gravedad del sistema? (Incluya el centro de visitantes en los cálculos y represente las personas mediante una masa puntual situada en el borde más alejado de la plataforma, a 70 ft de la pared del cañón).