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Cálculo volumen 1

6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas

Cálculo volumen 16.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.3.1 Calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de las capas cilíndricas.
  • 6.3.2 Comparar los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución.

En esta sección, examinaremos el método de las capas cilíndricas, el último método para hallar el volumen de un sólido de revolución. Podemos utilizar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos del disco y de las arandelas, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de las capas cilíndricas, integramos el eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La posibilidad de elegir qué variable de integración utilizaremos puede ser una ventaja importante con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido, a veces, hace que el método de las capas cilíndricas sea más atractivo de usar que el método de las arandelas. En la última parte de esta sección, repasaremos todos los métodos para hallar el volumen que hemos estudiado y establecemos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método debe utilizar en una situación determinada.

El método de las capas cilíndricas

De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R,R, delimitada por encima del gráfico de una función y=f(x),y=f(x), abajo por el eje x−eje,x−eje, y a la izquierda y derecha por las líneas x=ax=a y x=b,x=b, respectivamente, como se muestra en la Figura 6.25(a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y, como se muestra en la Figura 6.25(b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de xx giraban en torno al eje x x o a una línea paralela a él.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es una curva creciente en el primer cuadrante. La curva se denomina "y=f(x)". La curva comienza en el eje y en y = a. Debajo de la curva, sobre el eje x, hay una región sombreada denominada "R". La región sombreada está limitada a la derecha por la línea x = b. El segundo gráfico es un sólido tridimensional. Se ha creado girando la región sombreada de "a" alrededor del eje y.
Figura 6.25 (a) Región delimitada por el gráfico de una función de x . x . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del y . y .

Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo [a,b][a,b] utilizando una partición normal, P={x0,x1,…,xn}P={x0,x1,…,xn} y, para i=1,2 ,…,n,i=1,2 ,…,n, elija un punto xi*[xi1,xi].xi*[xi1,xi]. Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo [xi1,xi][xi1,xi] de altura f(xi*)f(xi*) y la anchura Δx.Δx. En la Figura 6.26(a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y, en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una capa cilíndrica, hueca en el centro. Tiene un eje vertical en el centro. También hay una curva que se une a la parte superior del cilindro. La segunda imagen es un conjunto de cilindros concéntricos, uno dentro de otro formando un anidamiento de cilindros.
Figura 6.26 (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del y , y , el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original.

Para calcular el volumen de esta capa, considere la Figura 6.27.

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. La curva es creciente y está marcada como "y=f(x)". La curva comienza en el eje y en f(x*). Debajo de la curva hay un rectángulo sombreado. El rectángulo comienza en el eje x. La anchura del rectángulo es delta x. Los dos lados del rectángulo se denominan "xsub(i-1)" y "xsubi".
Figura 6.27 Calcular el volumen de la capa.

La capa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anulares (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior xixi y radio interior xi1.xi1. Por lo tanto, el área de la sección transversal es πxi2 πxi12 .πxi2 πxi12 . La altura del cilindro es f(xi*).f(xi*). Entonces el volumen de la capa es

Vcapa=f(xi*)(πxi2 πxi12 )=πf(xi*)(xi2 xi12 )=πf(xi*)(xi+xi1)(xixi1)=2 πf(xi*)(xi+xi12 )(xixi1).Vcapa=f(xi*)(πxi2 πxi12 )=πf(xi*)(xi2 xi12 )=πf(xi*)(xi+xi1)(xixi1)=2 πf(xi*)(xi+xi12 )(xixi1).

Tenga en cuenta que xixi1=Δx,xixi1=Δx, por lo que tenemos

Vcapa=2 πf(xi*)(xi+xi12 )Δx.Vcapa=2 πf(xi*)(xi+xi12 )Δx.

Además, xi+xi12 xi+xi12 es a la vez el punto medio del intervalo [xi1,xi][xi1,xi] y el radio medio de la capa, y podemos aproximar esto por xi*.xi*. Entonces tenemos

Vcapa2 πf(xi*)xi*Δx.Vcapa2 πf(xi*)xi*Δx.

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana (Figura 6.28).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera está marcada como "a" y es un cilindro hueco alrededor del eje y. En la parte delantera de este cilindro hay una línea vertical denominada "línea de corte". La altura del cilindro es "y=f(x)". La segunda figura se denomina "b" y es un bloque rectangular sombreado. La altura del rectángulo es "f(x*), la anchura del rectángulo es "2pix*", y el grosor del rectángulo es "delta x".
Figura 6.28 (a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana.

En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura f(xi*),f(xi*), anchura 2 πxi*,2 πxi*, y espesor ΔxΔx (Figura 6.28). El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos

Vcapaf(xi*)(2 πxi*)Δx,Vcapaf(xi*)(2 πxi*)Δx,

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos

Vi=1n(2 πxi*f(xi*)Δx).Vi=1n(2 πxi*f(xi*)Δx).

Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 πxf(x).2 πxf(x). Tomando el límite como nn nos da

V=límni=1n(2 πxi*f(xi*)Δx)=ab(2 πxf(x))dx.V=límni=1n(2 πxi*f(xi*)Δx)=ab(2 πxf(x))dx.

Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas.

Regla: el método de las capas cilíndricas

Supongamos que f(x)f(x) es continua y no negativa. Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x),f(x), abajo por el eje x ,x , a la izquierda por la línea x=a,x=a, y a la derecha por la línea x=b.x=b. Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR en torno al eje y viene dado por

V=ab(2 πxf(x))dx.V=ab(2 πxf(x))dx.
(6.6)

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 6.12

El método de las capas cilíndricas 1

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=1/xf(x)=1/x y abajo por el eje x x en el intervalo [1,3].[1,3]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor del eje y .y .

Punto de control 6.12

Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f(x)=x2 f(x)=x2 y abajo por el eje x en el intervalo [1,2 ].[1,2 ]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor del eje y .y .

Ejemplo 6.13

El método de las capas cilíndricas 2

Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f(x)=2 xx2 f(x)=2 xx2 y abajo por el eje x x en el intervalo [0,2 ].[0,2 ]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor del eje y .y .

Punto de control 6.13

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=3xx2 f(x)=3xx2 y abajo por el eje x x en el intervalo [0,2 ].[0,2 ]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor del eje y .y .

Al igual que con el método de los discos y el de las arandelas, también podemos aplicar el método de las capas cilíndricas a los sólidos de revolución que resultan, que giran alrededor del eje x ,x , cuando queremos integrar con respecto a y.y. La regla análoga para este tipo de sólido se da aquí.

Regla: método de las capas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x

Supongamos que g(y)g(y) es continua y no negativa. Defina QQ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g(y),g(y), a la izquierda por el eje y ,y , abajo por la línea y=c,y=c, y arriba por la línea y=d.y=d. Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar QQ alrededor del eje x x viene dada por

V=cd(2 πyg(y))dy.V=cd(2 πyg(y))dy.

Ejemplo 6.14

Método de las capas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x

Defina QQ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g(y)=2 yg(y)=2 y y a la izquierda por el eje y y por y[0,4].y[0,4]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar QQ alrededor del eje de la x.

Punto de control 6.14

Defina QQ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g(y)=3/yg(y)=3/y y a la izquierda por el eje y y por y[1,3].y[1,3]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar QQ alrededor del eje x .x .

En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución para el que el gráfico de una función gira en torno a una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Para ello, es necesario volver a examinar el desarrollo del método de las capas cilíndricas. Recordemos que el volumen de una de las capas viene dado por

Vcapa=f(xi*)(πxi2 πxi12 )=πf(xi*)(xi2 xi12 )=πf(xi*)(xi+xi1)(xixi1)=2 πf(xi*)(xi+xi12 )(xixi1).Vcapa=f(xi*)(πxi2 πxi12 )=πf(xi*)(xi2 xi12 )=πf(xi*)(xi+xi1)(xixi1)=2 πf(xi*)(xi+xi12 )(xixi1).

Esto se basó en una capa con un radio exterior de xixi y un radio interior de xi1.xi1. Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje y ,y , tenemos un radio exterior e interior diferente. Supongamos, por ejemplo, que giramos la región alrededor de la línea x=k,x=k, donde kk es alguna constante positiva. Entonces, el radio exterior de la capa es xi+kxi+k y el radio interior es xi1+k.xi1+k. Sustituyendo estos términos en la expresión del volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea x=k,x=k, el volumen de una capa viene dado por

Vcapa=2 πf(xi*)((xi+k)+(xi1+k)2 )((xi+k)(xi1+k))=2 πf(xi*)((xi+xi2 2 )+k)Δx.Vcapa=2 πf(xi*)((xi+k)+(xi1+k)2 )((xi+k)(xi1+k))=2 πf(xi*)((xi+xi2 2 )+k)Δx.

Como antes, observamos que xi+xi12 xi+xi12 es el punto medio del intervalo [xi1,xi][xi1,xi] y puede ser aproximado por xi*.xi*. Entonces, el volumen aproximado de la capa es

Vcapa2 π(xi*+k)f(xi*)Δx.Vcapa2 π(xi*+k)f(xi*)Δx.

El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que

V=ab(2 π(x+k)f(x))dx.V=ab(2 π(x+k)f(x))dx.

También podríamos girar la región alrededor de otras rectas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. En concreto, el término x x en la integral debe sustituirse por una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona, analice el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.15

Región de revolución que gira en torno a una línea

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=xf(x)=x y abajo por el eje x x en el intervalo [1,2 ].[1,2 ]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor de la línea x=−1.x=−1.

Punto de control 6.15

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=x2 f(x)=x2 y abajo por el eje x x en el intervalo [0,1].[0,1]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor de la línea x=–2.x=–2.

En nuestro último ejemplo en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el que la región de revolución está limitada por los gráficos de dos funciones.

Ejemplo 6.16

Región de revolución limitada por los gráficos de dos funciones

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de la función f(x)=xf(x)=x y abajo por el gráfico de la función g(x)=1/xg(x)=1/x en el intervalo [1,4].[1,4]. Halle el volumen del sólido de revolución que se genera al girar RR alrededor del eje y .y .

Punto de control 6.16

Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x)=xf(x)=x y abajo por el gráfico de g(x)=x2 g(x)=x2 en el intervalo [0,1].[0,1]. Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR alrededor del eje y .y .

¿Qué método debemos utilizar?

Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La Figura 6.34 describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje x .x . Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje y .y .

Esta imagen de una tabla que compara los diferentes métodos para hallar los volúmenes de los sólidos de revolución. Las columnas de la tabla están marcadas como "comparación", "método de los discos", "método de las arandelas" y "método de las capas". Las filas están marcadas como "fórmula de volumen", "sólido", "intervalo para la partición", "rectángulos", "región típica" y "rectángulo". En la columna del método de los discos, la fórmula se da como la integral definida de a a b de pi por [f(x)]^2. El sólido no tiene cavidad en el centro, la partición es [a,b], los rectángulos son verticales, y la región típica es una región sombreada por encima del eje x y por debajo de la curva de f(x). En la columna del método de las arandelas, la fórmula se da como la integral definida de a a b de pi por [f(x)]^2-[g(x)]^2. El sólido tiene una cavidad en el centro, la partición es [a,b], los rectángulos son verticales, y la región típica es una región sombreada por encima de la curva de g(x) y por debajo de la curva de f(x). En la columna del método de la capa, la fórmula se da como la integral definida de c a d de 2pi por yg(y). El sólido tiene o no una cavidad en el centro, la partición es [c,d] los rectángulos son horizontales, y la región típica es una región sombreada por encima del eje x y por debajo de la curva de g(y).
Figura 6.34

Veamos un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos.

Ejemplo 6.17

Selección del mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x ,x , y establezca la integral para encontrar el volumen (no evaluar la integral).

  1. La región delimitada por los gráficos de y=x,y=x, y=2 x,y=2 x, y la intersección en x .x .
  2. La región delimitada por los gráficos de y=4xx2 y=4xx2 y el eje x .x .

Punto de control 6.17

Seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x ,x , y establecer la integral para hallar el volumen (no evaluar la integral): la región limitada por los gráficos de y=2 x2 y=2 x2 y y=x2 .y=x2 .

Sección 6.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de las capas como el de las arandelas. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar un corte típico a mano.

114.

[T] Limitado por las curvas y=3x,x=0,y=3x,x=0, y y=3y=3 girado alrededor del eje y .y .

115.

[T] Limitado por las curvas y=3x,y=0,yx=3y=3x,y=0,yx=3 girado alrededor del eje y .y .

116.

[T] Limitado por las curvas y=3x,y=0,yy=3y=3x,y=0,yy=3 girado alrededor del x .x .

117.

[T] Limitado por las curvas y=3x,y=0,yx=3y=3x,y=0,yx=3 girado alrededor del x .x .

118.

[T] Limitado por las curvas y=2 x3,y=0,yx=2 y=2 x3,y=0,yx=2 girado alrededor del y .y .

119.

[T] Limitado por las curvas y=2 x3,y=0,yx=2 y=2 x3,y=0,yx=2 girado alrededor del x .x .

En los siguientes ejercicios, utilice las capas para calcular el volumen de los sólidos dados. Observe que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje x x y se giran alrededor del eje y .y .

120.

y = 1 x 2 , x = 0 , y x = 1 y = 1 x 2 , x = 0 , y x = 1

121.

y = 5 x 3 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , y x = 1

122.

y = 1 x , x = 1 , y x = 100 y = 1 x , x = 1 , y x = 100

123.

y = 1 x 2 , x = 0 , y x = 1 y = 1 x 2 , x = 0 , y x = 1

124.

y = 1 1 + x 2 , x = 0 , y x = 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , y x = 3

125.

y = sen x 2 , x = 0 , y x = π y = sen x 2 , x = 0 , y x = π

126.

y = 1 1 x 2 , x = 0 , y x = 1 2 y = 1 1 x 2 , x = 0 , y x = 1 2

127.

y = x , x = 0 , y x = 1 y = x , x = 0 , y x = 1

128.

y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , y x = 1 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , y x = 1

129.

y = 5 x 3 2 x 4 , x = 0 , y x = 2 y = 5 x 3 2 x 4 , x = 0 , y x = 2

En los siguientes ejercicios, utilice las capas para hallar el volumen generado por la rotación de las regiones entre la curva dada y y=0y=0 alrededor del eje x .x .

130.

y=1x2 ,x=0,x=1y=1x2 ,x=0,x=1 y el eje x

131.

y=x2 ,x=0,x=2 y=x2 ,x=0,x=2 y el eje x

132.

y=x32 ,x=0,x=2 ,y=x32 ,x=0,x=2 , y el eje x

133.

y=2 x2 ,x=1,x=2 ,y=2 x2 ,x=1,x=2 , y el eje x

134.

x = 1 1 + y 2 , y = 1 , y y = 4 x = 1 1 + y 2 , y = 1 , y y = 4

135.

x=1+y2 y,y=1,y=4,x=1+y2 y,y=1,y=4, y el eje y

136.

x=cosy,y=0,yy=π x = cos y , y = 0 , y y = π

137.

x=y32 y2 ,x=0,x=9,x=y32 y2 ,x=0,x=9, y el eje y

138.

x=y+1,x=1,x=3,x=y+1,x=1,x=3, y el eje x

139.

x = 27 y 3 y x = 3 y 4 x = 27 y 3 y x = 3 y 4

En los siguientes ejercicios calcule el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado.

140.

y=3x,y=0,x=0,yx=2 y=3x,y=0,x=0,yx=2 girado alrededor del y .y .

141.

y=x3,x=0,yy=8y=x3,x=0,yy=8 girado alrededor del y .y .

142.

y=x2 ,y=x,y=x2 ,y=x, girado alrededor del y .y .

143.

y=x,y=0,yx=1y=x,y=0,yx=1 girado alrededor de la línea x=2 .x=2 .

144.

y=14x,x=1,x=2 yy=0y=14x,x=1,x=2 yy=0 girado alrededor de la línea x=4.x=4.

145.

y=xyy=x2 y=xyy=x2 girado alrededor del y .y .

146.

y=xyy=x2 y=xyy=x2 girado alrededor de la línea x=2 .x=2 .

147.

x=y3,x=1y,x=1,yx=2 x=y3,x=1y,x=1,yx=2 girado alrededor del x .x .

148.

x=y2 yy=xx=y2 yy=x girado alrededor de la línea y=2 .y=2 .

149.

[T] A la izquierda de x=sen(πy),x=sen(πy), derecha de y=x,y=x, alrededor del eje y .y .

En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen que se genera cuando la función gira alrededor del eje especificado. A continuación, utilice el método que haya elegido para hallar el volumen.

150.

[T] y=x2 y=x2 y y=4xy=4x girado alrededor del y .y .

151.

[T] y=cos(πx),y=sen(πx),x=14,yx=54y=cos(πx),y=sen(πx),x=14,yx=54 girado alrededor del y .y . Este ejercicio requiere una técnica avanzada. Puede utilizar la tecnología para realizar la integración.

152.

[T] y=x2 2 x,x=2 ,yx=4y=x2 2 x,x=2 ,yx=4 girado alrededor del y .y .

153.

[T] y=x2 2 x,x=2 ,yx=4y=x2 2 x,x=2 ,yx=4 girado alrededor del x .x .

154.

[T] y=3x32 ,y=x,yx=2 y=3x32 ,y=x,yx=2 girado alrededor del x .x .

155.

[T] y=3x32 ,y=x,yx=2 y=3x32 ,y=x,yx=2 girado alrededor del y .y .

156.

[T] x=sen(πy2 )x=sen(πy2 ) y x=2 yx=2 y girado alrededor del x .x .

157.

[T] x=y2 ,x=y2 2 y+1,yx=2 x=y2 ,x=y2 2 y+1,yx=2 girado alrededor del y .y .

En los siguientes ejercicios, utilice el método de las capas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que están representados en las figuras adjuntas.

158.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una esfera de radio r.r.

Esta figura tiene dos imágenes. El primero es un círculo de radio r. El segundo es un balón de baloncesto.
159.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cono de radio rr y altura h.h.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un cono invertido de radio r y altura h. La segunda es un cono de helado.
160.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un elipsoide (x2 /a2 )+(y2 /b2 )=1(x2 /a2 )+(y2 /b2 )=1 girado alrededor del x .x .

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una elipse donde a es la distancia horizontal desde el centro hasta el borde y b es la distancia vertical desde el centro hasta el borde superior. El segundo es una sandía.
161.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cilindro de radio rr y altura h.h.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un cilindro de radio r y altura h. La segunda es una vela cilíndrica.
162.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una rosquilla que se crea cuando el círculo x2 +y2 =4x2 +y2 =4 se gira alrededor de la línea x=4.x=4.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera tiene dos elipses, un dentro de la otra. El radio de la trayectoria entre ellas es de 2 unidades. El segundo es una rosquilla.
163.

Consideremos la región delimitada por los gráficos de y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0,y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0, y x=a>0.x=a>0. ¿Cuál es el volumen del sólido que se genera cuando esta región gira alrededor del eje y ?y ? Supongamos que la función se define en el intervalo [0,a].[0,a].

164.

Considere la función y=f(x),y=f(x), que disminuye de f(0)=bf(0)=b al f(1)=0.f(1)=0. Establezca las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método de las capas como el de los discos, del sólido generado cuando esta región, con x=0x=0 y y=0,y=0, se gira alrededor del y .y . Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? (Pista: Dado que f(x)f(x) es biunívoca, existe un inverso f−1(y).)f−1(y).)

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