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Cálculo volumen 1

6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial

Cálculo volumen 16.8 Crecimiento y decaimiento exponencial

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones y gráficos
    1. Introducción
    2. 1.1 Repaso de las funciones
    3. 1.2 Clases básicas de funciones
    4. 1.3 Funciones trigonométricas
    5. 1.4 Funciones inversas
    6. 1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  3. 2 Límites
    1. Introducción
    2. 2.1 Un repaso previo del cálculo
    3. 2.2 El límite de una función
    4. 2.3 Las leyes de los límites
    5. 2.4 Continuidad
    6. 2.5 La definición precisa de un límite
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  4. 3 Derivadas
    1. Introducción
    2. 3.1 Definir la derivada
    3. 3.2 La derivada como función
    4. 3.3 Reglas de diferenciación
    5. 3.4 Las derivadas como tasas de cambio
    6. 3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
    7. 3.6 La regla de la cadena
    8. 3.7 Derivadas de funciones inversas
    9. 3.8 Diferenciación implícita
    10. 3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  5. 4 Aplicaciones de las derivadas
    1. Introducción
    2. 4.1 Tasas relacionadas
    3. 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales
    4. 4.3 Máximos y mínimos
    5. 4.4 El teorema del valor medio
    6. 4.5 Las derivadas y la forma de un gráfico
    7. 4.6 Límites al infinito y asíntotas
    8. 4.7 Problemas de optimización aplicados
    9. 4.8 La regla de L'Hôpital
    10. 4.9 Método de Newton
    11. 4.10 Antiderivadas
    12. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  6. 5 Integración
    1. Introducción
    2. 5.1 Aproximación de áreas
    3. 5.2 La integral definida
    4. 5.3 El teorema fundamental del cálculo
    5. 5.4 Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto
    6. 5.5 Sustitución
    7. 5.6 Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas
    8. 5.7 Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  7. 6 Aplicaciones de la integración
    1. Introducción
    2. 6.1 Áreas entre curvas
    3. 6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte
    4. 6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
    5. 6.4 Longitud del arco de una curva y superficie
    6. 6.5 Aplicaciones físicas
    7. 6.6 Momentos y centros de masa
    8. 6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
    9. 6.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
    10. 6.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
      4. Ejercicios de repaso
  8. A Tabla de integrales
  9. B Tabla de derivadas
  10. C Repaso de Precálculo
  11. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
  12. Índice

Objetivos de aprendizaje

  • 6.8.1 Utilizar el modelo de crecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye crecimiento de la población e interés compuesto.
  • 6.8.2 Explicar el concepto de tiempo de duplicación.
  • 6.8.3 Utilizar el modelo de decrecimiento exponencial en aplicaciones, lo que incluye decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton.
  • 6.8.4 Explicar el concepto de vida media.

Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones.

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma y=y0ekt,y=y0ekt, donde y0y0 representa el estado inicial del sistema y kk es una constante positiva, denominada constante de crecimiento. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

y=ky0ekt=ky.y=ky0ekt=ky.
(6.27)

Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La Ecuación 6.27 involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales.

Regla: modelo de crecimiento exponencial

Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático

y=y0ekt,y=y0ekt,

donde y0y0 representa el estado inicial del sistema y k>0k>0 es una constante, denominada constante de crecimiento.

Elcrecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La Figura 6.79 y la Tabla 6.1 representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200200 y una constante de crecimiento de 0,02.0,02. Observe que después de apenas 2 2 horas (120(120 minutos), ¡la población es 1010 veces su tamaño original!

Esta figura es un gráfico. Es la curva exponencial para y=200e^0,02t. Se encuentra en el primer cuadrante y es una función creciente. Comienza en el eje y.
Figura 6.79 Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias.
Tiempo (min) Tamaño de la población (n.º de bacterias)
1010 244244
2020 298298
3030 364364
4040 445445
5050 544544
6060 664664
7070 811811
8080 991991
9090 1.2101.210
100100 1.4781.478
110110 1.8051.805
120120 2.2052.205
Tabla 6.1 Crecimiento exponencial de una población bacteriana

Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando.

Ejemplo 6.42

Crecimiento de la población

Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función f(t)=200e0,02t,f(t)=200e0,02t, donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 55 horas (300(300 minutos)? ¿Cuándo alcanza la población 100.000100.000 bacterias?

Punto de control 6.42

Consideremos una población de bacterias que crece según la función f(t)=500e0,05t,f(t)=500e0,05t, donde tt se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población 100100 millones de bacterias?

Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto. El interés que no se capitaliza se denomina interés simple. El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente 11 año). Así que, si ponemos $1.000$1.000 en una cuenta de ahorros ganando el 2  %2  % de interés simple anual, entonces al final del año tendremos

1.000(1+0,02)=$1.020.1.000(1+0,02)=$1.020.

El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada 66 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 66 meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $1.000,$1.000, sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos

1.000(1+0,022 )2 =$1020,10.1.000(1+0,022 )2 =$1020,10.

Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada 44 meses, tendremos

1.000(1+0,023)3=$1020,13,1.000(1+0,023)3=$1020,13,

y si el interés se capitaliza diariamente (365(365 veces al año), tenemos $1020,20.$1020,20. Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de tt años tendremos

1.000límn(1+0,02n)nt.1.000límn(1+0,02n)nt.

Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número ee puede expresarse como un límite:

e=límm(1+1m)m.e=límm(1+1m)m.

Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma (1+1/m).(1+1/m). Supongamos que n=0,02m.n=0,02m. Tenga en cuenta que como n,n, mm también. Entonces obtenemos

1.000límn(1+0,02n)nt=1.000límm(1+0,020,02m)0,02mt=1.000[límm(1+1m)m]0,02t.1.000límn(1+0,02n)nt=1.000límm(1+0,020,02m)0,02mt=1.000[límm(1+1m)m]0,02t.

Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número e.e. Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de tt años viene dado por 1.000e0,02t.1.000e0,02t. Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $P$P gana intereses a una tasa de r %,r %, capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de tt años es

Saldo=Pert.Saldo=Pert.

Ejemplo 6.43

Interés compuesto

A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga 5 %5 % interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $1$1 millón cuando se jubile a la edad de 65?65? ¿Y si más bien pudiera ganar 6 %6 % interés anual capitalizado continuamente?

Punto de control 6.43

Supongamos que en vez de invertir a la edad de 2525, el estudiante espera hasta la edad de 35.35. ¿Cuánto tendría que invertir al 5 %?5 %? A 6 %?6 %?

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de 100100 a 200200 que el que tarda para crecer de 10.00010.000 al 20.00020.000 bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos

2 y0=y0ekt2 =ektln2 =ktt=ln2 k.2 y0=y0ekt2 =ektln2 =ktt=ln2 k.

Definición

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por

Tiempo de duplicación=ln2 k.Tiempo de duplicación=ln2 k.

Ejemplo 6.44

Uso del tiempo de duplicación

Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500500 peces. Después de 66 meses, hay 1.0001.000 peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance 10.000.10.000. ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario?

Punto de control 6.44

Supongamos que se necesita 99 meses para que la población de peces en el Ejemplo 6.44 alcance 1.0001.000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario?

Modelo de decrecimiento exponencial

Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva k,k, tenemos y=y0ekt.y=y0ekt.

Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos

y=ky0ekt=ky.y=ky0ekt=ky.

Regla: modelo de decrecimiento exponencial

Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo

y=y0ekt,y=y0ekt,

donde y0y0 representa el estado inicial del sistema y k>0k>0 es una constante, llamada constante de decrecimiento.

La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial.

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. Es una curva exponencial decreciente. Comienza en el eje y en 2.000 y disminuye hacia el eje t.
Figura 6.80 Ejemplo de decrecimiento exponencial.

Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si TT representa la temperatura del objeto y TaTa representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces

T=k(TTa).T=k(TTa).

Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional TaTa. Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que y(t)=T(t)Ta.y(t)=T(t)Ta. Entonces y(t)=T(t)0=T(t),y(t)=T(t)0=T(t), y nuestra ecuación se convierte en

y=ky.y=ky.

Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto,

y=y0ekt,y=y0ekt,

y vemos que

TTa=(T0Ta)ektT=(T0Ta)ekt+TaTTa=(T0Ta)ektT=(T0Ta)ekt+Ta

donde T0T0 representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.45

Ley de enfriamiento de Newton

Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre 155°F155°F y 175°F.175°F. Supongamos que el café se vierte a una temperatura de 200°F,200°F, y después de 2 2 minutos en una habitación a 70 °F70 °F el café se enfría a 180°F.180°F. ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano.

Punto de control 6.45

Supongamos que la habitación está más cálida (75°F)(75°F) y, después de 2 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185°F.185°F. ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano.

Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos

y02 =y0ekt12 =ektln2 =ktt=ln2 k.y02 =y0ekt12 =ektln2 =ktt=ln2 k.

Nota: Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo.

Definición

Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por

Semivida=ln2 k.Semivida=ln2 k.

Ejemplo 6.46

Datación por radiocarbono

Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono El carbono-14El carbono-14 decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del carbono-14carbono-14 es, aproximadamente, 57305730 años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono-14carbono-14 original al nuevo y no radiactivo nitrógeno14.nitrógeno14. Si tenemos 100100 g carbono-14carbono-14 hoy, cuánto quedará en 5050 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100100 g de carbono contiene ahora 1010 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana.

Punto de control 6.46

Si tenemos 100100 g de carbono-14,carbono-14, ¿cuánto queda después de tt años? Si un artefacto que originalmente contenía 100100 g de carbono contiene ahora 20g20g de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana.

Sección 6.8 ejercicios

¿Verdadero o falso? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta.

348.

El tiempo de duplicación para y=ecty=ect ¿es (ln(2 ))/(ln(c)).(ln(2 ))/(ln(c)).

349.

Si invierte $500,$500, a una tasa de interés anual de 3 %3 % obtiene más dinero en el primer año que a 2,5 %2,5 % de interés continuo.

350.

Si deja una tetera a 100°C100°C a temperatura ambiente (25°C)(25°C) y una olla idéntica en el refrigerador (5°C),(5°C), con la k=0,02,k=0,02, el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable (70°C)(70°C) en más de 55 minutos antes que el té a temperatura ambiente.

351.

Dada una vida media de t años, la constante kk por y=ekty=ekt se calcula mediante k=ln(1/2 )/t.k=ln(1/2 )/t.

En los siguientes ejercicios, utilice y=y0ekt.y=y0ekt.

352.

Si un cultivo de bacterias se duplica en 33 horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por 10?10?

353.

Si las bacterias se multiplican por 1010 en 1010 horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por 100?100?

354.

¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 57305730 años.

355.

Si una reliquia contiene el 90 %90 % de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente 20002000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 57305730 años.

356.

La población de El Cairo creció de 55 millones a 1010 millones en 2020 años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de 88 millones de dólares.

357.

Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a 1 %1 % y 1,4 %1,4 % al año, respectivamente. A partir de 88 millones (Nueva York) y 66 millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones?

358.

Supongamos que el valor de $1$1 en yenes japoneses disminuye en 2  %2  % por año. A partir de $1=¥250,$1=¥250, ¿cuándo serán $1=¥1?$1=¥1?

359.

El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de 40 %40 % de la población recuerda un nuevo producto después de 33 días, ¿cuánto tiempo el 20 %20 % lo recordará?

360.

Si los valores de y=1.000y=1.000 a las t=3t=3 y y=3.000y=3.000 a las t=4,t=4, ¿cuál era y0y0 en t=0?t=0?

361.

Si y=100y=100 a las t=4t=4 en tanto que y=10y=10 a las t=8,t=8, ¿cuándo es y=1?y=1?

362.

Si un banco ofrece un interés anual de 7,5 %7,5 % o un interés continuo de 7,25 %,7,25 %, ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual?

363.

¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de 9 %?9 %?

364.

Si deposita $5.000$5.000 al 8 %8 % interés anual, en cuántos años se puede retirar $500$500 (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero?

365.

Usted está tratando de ahorrar $50 000$50 000 en 2020 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al 10 %,10 %, ¿cuál es el monto de la inversión inicial?

366.

Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de 165°F.165°F. Después de 1010 minutos de reposo del pavo en un apartamento a 70 °F70 °F su temperatura alcanza 155°F.155°F. ¿Cuál es la temperatura del pavo 2020 minutos después de sacarlo del horno?

367.

Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de 1°F.1°F. Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de 44°F.44°F. Revisa sus verduras 2 2 horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a 12°F.12°F. Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan 33°F.33°F.

368.

Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea (146(146 millones de años a 6565 millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un 0,000001 %0,000001 % de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo?

369.

El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24.00024.000 años. Si los valores de 11 barril que contiene 10kg10kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10g10g de plutonio-239?

En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas.

Fuente: http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.
Años desde 1950 Población (millones)
00 2.5562.556
1010 3.0393.039
2020 3.7063.706
3030 4.4534.453
4040 5.2795.279
5050 6.0836.083
6060 6.8496.849
370.

[T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P(t)=aebtP(t)=aebt viene dada por P(t)=2.686e0,01604t.P(t)=2.686e0,01604t. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

371.

[T] Calcule y grafique la derivada yy de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento?

372.

[T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento?

373.

[T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza 1010 mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro.

En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX.

Fuente: http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.
Años desde 1850 Población (miles)
00 21,0021,00
1010 56,8056,80
2020 149,5149,5
3030 234,0234,0
374.

[T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P(t)=aebtP(t)=aebt viene dada por P(t)=35,26e0,06407t.P(t)=35,26e0,06407t. Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos.

375.

[T] Calcule y grafique la derivada yy de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo?

376.

[T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento?

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