6.1 Áreas entre curvas

Al igual que las integrales definidas pueden utilizarse para encontrar el área bajo una curva, también pueden utilizarse para encontrar el área entre dos curvas.
Para encontrar el área entre dos curvas definidas por funciones, integre la diferencia de las funciones.
Si los gráficos de las funciones se intersecan, o si la región es compleja, utilice el valor absoluto de la diferencia de las funciones. En este caso, puede ser necesario evaluar dos o más integrales y sumar los resultados para encontrar el área de la región.
A veces puede ser más fácil integrar con respecto a y para encontrar el área. Los principios son los mismos independientemente de la variable que se utilice como variable de integración.

6.2 Determinar los volúmenes mediante el corte

Las integrales definidas pueden utilizarse para hallar los volúmenes de los sólidos. Utilizando el método de las rebanadas, podemos encontrar un volumen integrando el área de la sección transversal.
En los sólidos de revolución, los cortes de volumen suelen ser discos y las secciones transversales son círculos. El método de los discos consiste en aplicar el método de las rebanadas en el caso particular de que las secciones transversales sean círculos, y en utilizar la fórmula del área de un círculo.
Si un sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, los cortes de volumen son arandelas. Con el método de las arandelas, el área del círculo interior se resta del área del círculo exterior antes de integrarlo.

El método de las capas cilíndricas es otro método para utilizar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. En ocasiones este método es preferible al de los discos o al de las arandelas porque integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es bastante más complicada que la otra.
La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores para decidir qué método de integración utilizaremos.

La longitud de arco de una curva se puede calcular mediante una integral definida.
La longitud de arco se aproxima primero mediante segmentos de línea, lo que genera una suma de Riemann. Tomando un límite nos da la fórmula de la integral definida. El mismo proceso puede aplicarse a las funciones de $y .$
Los conceptos utilizados para calcular la longitud de arco pueden generalizarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución.
Las integrales generadas por las fórmulas de longitud de arco y área superficial suelen ser difíciles de evaluar. Puede ser necesario utilizar una computadora o una calculadora para aproximar los valores de las integrales.

Varias aplicaciones físicas de la integral definida son comunes en ingeniería y física.
Las integrales definidas pueden utilizarse para determinar la masa de un objeto si se conoce su función de densidad.
El trabajo también se puede calcular al integrar una función de fuerza, o al contrarrestar la fuerza de la gravedad, como en un problema de bombeo.
Las integrales definidas también pueden utilizarse para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido.

Matemáticamente, el centro de masa de un sistema es el punto en el que podría concentrarse la masa total del sistema sin cambiar el momento. En términos generales, el centro de masa puede considerarse el punto de equilibrio del sistema.
Para masas puntuales distribuidas a lo largo de una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen es $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ En lo concerniente a las masas puntuales distribuidas en un plano, los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y, respectivamente, son $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ y $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ respectivamente.
Para una lámina limitada por encima por una función $f (x),$ los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y, respectivamente, son $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ y $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
Las coordenadas x y y del centro de masa se pueden hallar dividiendo los momentos alrededor de los ejes y y x, respectivamente, entre la masa total. El principio de simetría dice que si una región es simétrica con respecto a una línea, entonces el centroide de la región se encuentra en la línea.
El teorema de Pappus para el volumen dice que si se hace girar una región alrededor de un eje externo, el volumen del sólido resultante es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región.

El manejo anterior de los logaritmos y las funciones exponenciales no definía las funciones de forma precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de forma matemáticamente rigurosa.
La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral.
La función $e^{x}$ se define entonces como la inversa del logaritmo natural.
Las funciones exponenciales generales se definen en términos de $e^{x},$ y las correspondientes funciones inversas son logaritmos generales.
Las propiedades conocidas de los logaritmos y los exponentes siguen siendo válidas en este contexto más riguroso.

El crecimiento y el decrecimiento exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales.
Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma $y = y_{0} e^{k t} .$
En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, $y^{'} = k y .$
Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por $(ln 2) / k .$
Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma $y = y_{0} e^{− k t} .$
Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por $(ln 2) / k .$

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales.
La diferenciación término a término permite obtener fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Estas fórmulas de diferenciación dan lugar, a su vez, a fórmulas de integración.
Con las restricciones de rango adecuadas, todas las funciones hiperbólicas tienen inversas.
La diferenciación implícita da lugar a fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas, que a su vez dan lugar a fórmulas de integración.
Las aplicaciones físicas más comunes de las funciones hiperbólicas son los cálculos con catenarias.