1.1 Repaso de las funciones

Una función es un mapeo de un conjunto de entradas hacia un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada.
Si no se indica ningún dominio para una función $y = f (x),$ se considera que el dominio es el conjunto de todos los números reales $x$ para el cual la función está definida.
El gráfico de una función $f,$ cada línea vertical puede intersecar el gráfico, como máximo, una vez.
Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección y.
Para definir la composición $g \circ f,$ el rango de $f$ debe estar contenido en el dominio de $g .$
Las funciones pares son simétricas respecto al eje $y$ , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen.

1.2 Clases básicas de funciones

La función potencia $f (x) = x^{n}$ es una función par si $n$ es uniforme y $n \neq 0,$ y es una función impar si $n$ es impar.
La función raíz $f (x) = x^{1 / n}$ tiene el dominio $[0, \infty)$ si $n$ es par y el dominio $(−∞, \infty)$ si $n$ es impar. Si los valores de $n$ es impar, entonces $f (x) = x^{1 / n}$ es una función impar.
El dominio de la función racional $f (x) = p (x) / q (x),$ donde $p (x)$ como $q (x)$ son funciones polinómicas; es el conjunto de $x$ de manera que $q (x) \neq 0 .$
Las funciones que implican las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencias son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales.
Una función polinómica $f$ de grado $n \geq 1$ satisface $f (x) \to ± \infty$ cuando $x \to ± \infty .$ El signo del valor de salida cuando $x \to \infty$ depende únicamente del signo del coeficiente líder y de si $n$ es par o impar.
Los desplazamientos verticales y horizontales, escalados verticales y horizontales, y reflexiones sobre los ejes $x$ y $y$ son ejemplos de transformaciones de funciones.

La medida en radianes se define de forma que el ángulo asociado al arco de longitud 1 en el círculo unitario tiene medida de radián 1. Un ángulo con una medida de grado de $180 °$ tiene una medida del radián de $π$ rad.
En los ángulos agudos $θ,$ los valores de las funciones trigonométricas se definen como las relaciones de dos lados de un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos agudos es $θ .$
Para un ángulo general $θ,$ supongamos que $(x, y)$ es un punto en un círculo de radio $r$ correspondiente a este ángulo $θ .$ Las funciones trigonométricas pueden escribirse como razones que implican $x, y,$ y $r .$
Las funciones trigonométricas son periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo $2 π .$ Las funciones tangente y cotangente tienen periodo $π .$

Para que una función tenga una inversa, la función debe ser biunívoca. Dado el gráfico de una función, podemos determinar si esta es biunívoca utilizando la prueba de la línea horizontal.
Si una función no es biunívoca, podemos restringir el dominio a otro más pequeño en el que la función lo sea, y a continuación, definimos la inversa de la función en el dominio más pequeño.
Para una función $f$ y su inversa $f^{−1}, f (f^{−1} (x)) = x$ para todos los valores $x$ en el dominio de $f^{−1}$ y $f^{−1} (f (x)) = x$ para todos los valores $x$ en el dominio de $f .$
Como las funciones trigonométricas son periódicas, necesitamos restringir sus dominios para definir las funciones trigonométricas inversas.
El gráfico de una función $f$ y su inversa $f^{−1}$ son simétricos respecto a la línea $y = x .$

La función exponencial $y = b^{x}$ es creciente si $b > 1$ y decreciente si $0 < b < 1 .$ Su dominio es $(− \infty, \infty)$ y su rango es $(0, \infty) .$
La función logarítmica $y = {log}_{b} (x)$ es la inversa de $y = b^{x} .$ Su dominio es $(0, \infty)$ y su rango es $(− \infty, \infty) .$
La función exponencial natural es $y = e^{x}$ y la función de logaritmo natural es $y = ln x = {log}_{e} x .$
Dada una función exponencial o logarítmica en base $a,$ podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier base $b > 0, b \neq 1 .$ Solemos convertir a base $e .$
Las funciones hiperbólicas son combinaciones de las funciones exponenciales $e^{x}$ y $e^{– x} .$ Como resultado, las funciones hiperbólicas inversas implican el logaritmo natural.