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Cálculo volumen 1

Conceptos clave

Cálculo volumen 1Conceptos clave

Conceptos clave

1.1 Repaso de las funciones

  • Una función es un mapeo de un conjunto de entradas hacia un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada.
  • Si no se indica ningún dominio para una función y=f(x),y=f(x), se considera que el dominio es el conjunto de todos los números reales xx para el cual la función está definida.
  • El gráfico de una función f,f, cada línea vertical puede intersecar el gráfico, como máximo, una vez.
  • Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección y.
  • Para definir la composición gf,gf, el rango de ff debe estar contenido en el dominio de g.g.
  • Las funciones pares son simétricas respecto al eje yy, mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen.

1.2 Clases básicas de funciones

  • La función potencia f(x)=xnf(x)=xn es una función par si nn es uniforme y n0,n0, y es una función impar si nn es impar.
  • La función raíz f(x)=x1/nf(x)=x1/n tiene el dominio [0,)[0,) si nn es par y el dominio (−∞,)(−∞,) si nn es impar. Si los valores de nn es impar, entonces f(x)=x1/nf(x)=x1/n es una función impar.
  • El dominio de la función racional f(x)=p(x)/q(x),f(x)=p(x)/q(x), donde p(x)p(x) como q(x)q(x) son funciones polinómicas; es el conjunto de xx de manera que q(x)0.q(x)0.
  • Las funciones que implican las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencias son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales.
  • Una función polinómica ff de grado n1n1 satisface f(x)±f(x)± cuando x±.x±. El signo del valor de salida cuando xx depende únicamente del signo del coeficiente líder y de si nn es par o impar.
  • Los desplazamientos verticales y horizontales, escalados verticales y horizontales, y reflexiones sobre los ejes xx y yy son ejemplos de transformaciones de funciones.

1.3 Funciones trigonométricas

  • La medida en radianes se define de forma que el ángulo asociado al arco de longitud 1 en el círculo unitario tiene medida de radián 1. Un ángulo con una medida de grado de 180°180° tiene una medida del radián de ππ rad.
  • En los ángulos agudos θ,θ, los valores de las funciones trigonométricas se definen como las relaciones de dos lados de un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos agudos es θ.θ.
  • Para un ángulo general θ,θ, supongamos que (x,y)(x,y) es un punto en un círculo de radio rr correspondiente a este ángulo θ.θ. Las funciones trigonométricas pueden escribirse como razones que implican x,y,x,y, y r.r.
  • Las funciones trigonométricas son periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π.2 π. Las funciones tangente y cotangente tienen periodo π.π.

1.4 Funciones inversas

  • Para que una función tenga una inversa, la función debe ser biunívoca. Dado el gráfico de una función, podemos determinar si esta es biunívoca utilizando la prueba de la línea horizontal.
  • Si una función no es biunívoca, podemos restringir el dominio a otro más pequeño en el que la función lo sea, y a continuación, definimos la inversa de la función en el dominio más pequeño.
  • Para una función ff y su inversa f−1,f(f−1(x))=xf−1,f(f−1(x))=x para todos los valores xx en el dominio de f−1f−1 y f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x para todos los valores xx en el dominio de f.f.
  • Como las funciones trigonométricas son periódicas, necesitamos restringir sus dominios para definir las funciones trigonométricas inversas.
  • El gráfico de una función ff y su inversa f−1f−1 son simétricos respecto a la línea y=x.y=x.

1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas

  • La función exponencial y=bxy=bx es creciente si b>1b>1 y decreciente si 0<b<1.0<b<1. Su dominio es (,)(,) y su rango es (0,).(0,).
  • La función logarítmica y=logb(x)y=logb(x) es la inversa de y=bx.y=bx. Su dominio es (0,)(0,) y su rango es (,).(,).
  • La función exponencial natural es y=exy=ex y la función de logaritmo natural es y=lnx=logex.y=lnx=logex.
  • Dada una función exponencial o logarítmica en base a,a, podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier base b>0,b1.b>0,b1. Solemos convertir a base e.e.
  • Las funciones hiperbólicas son combinaciones de las funciones exponenciales exex y ex.ex. Como resultado, las funciones hiperbólicas inversas implican el logaritmo natural.
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