William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

11.1 Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

31.

Jaka energia wyzwala się wskutek anihilacji spoczywającej pary elektron–pozyton? (Masy cząstek znajdziesz w Tabeli 11.1).

32.

Jeżeli energia $10^{30}\si{\mega\electronvolt}$ uwalnia się w procesie anihilacji pewnej porcji materii i takiej samej ilości antymaterii, to ile wynoszą masy tych porcji?

33.

Kiedy elektron i pozyton pozostają w spoczynku w niewielkiej odległości od siebie, mogą ulec anihilacji wg reakcji: $\mathrm{e}^{-}+\mathrm{e}^{+}\to \gamma +\gamma$ . Jakie są energie, pędy i częstotliwości każdego z fotonów wytworzonych w reakcji?

34.

Ile wynosi całkowita energia kinetyczna unoszona przez cząstki wytworzone w poniższych procesach rozpadu (cząstka ulegająca rozpadowi jest w spoczynku)?

$\pi^0 \to \gamma + \gamma$ ;
$\Kappa^0 \to \pi^{+} + \pi^{-}$ ;
$\Sigma^{+} \to n + \pi^{+}$ ;
$\Sigma^0 \to \Lambda^0 + \gamma$ .

11.2 Zasady zachowania w fizyce cząstek elementarnych

35.

Który z poniższych rozpadów nie jest możliwy ze względu na niespełnienie zasady zachowania liczby leptonowej?

$\mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{e}^{-}$ ;
$\mu^{+} \to \mathrm{e}^{+} + \nu_{\text{e}}$ ;
$\pi^{+} \to \mathrm{e}^{+} + \nu_{\text{e}} + \bar{\nu_{\mu}}$ ;
$\mathrm{p} \to \mathrm{n} + \mathrm{e}^{+} + \nu_{\text{e}}$ ;
$\pi^{-} \to \mathrm{e}^{-} + \bar{\nu_{\text{e}}}$ ;
$\mu^{-} \to \mathrm{e}^{-} + \bar{\nu_{\text{e}}} + \nu_{\mu}$ ;
$\Lambda^0 \to \pi^{-} + \mathrm{p}$ ;
$\Kappa^{+} \to \mu^{+} + \nu_{\mu}$ .

36.

Które z poniższych reakcji nie są możliwe ze względu na łamanie zasady zachowania dziwności?

$\mathrm{p} + \mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{p} + \pi^{-}$ ;
$\mathrm{p} + \mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{p} + \Kappa^{-}$ ;
$\Kappa^{-} + \mathrm{p} \to \Kappa^{-} + \Sigma^{+}$ ;
$\pi^{-} + \mathrm{p} \to \Kappa^{+} + \Sigma^{-}$ ;
$\Kappa^{-} + \mathrm{p} \to \Xi^0 + \Kappa^{+} + \pi^{-}$ ;
$\Kappa^{-} + \mathrm{p} \to \Xi^0 + \pi^{-} + \pi^{-}$ ;
$\pi^{2} + \mathrm{p} \to \Sigma^{2} + \Kappa^{2}$ ;
$\pi^{-} + \mathrm{n} \to \Kappa^{-} + \Lambda^0$ .

37.

Spróbuj napisać po jednym przykładowym (i poprawnym ze względu na zachowanie liczb) procesie rozpadu następujących antycząstek:

$\bar{\mathrm{n}}$ ;
$\bar{\Lambda^0}$ ;
$\Omega^{\text{+}}$ ;
$\Kappa^{\text{-}}$ ;
$\bar{\Sigma}$ .

38.

Wszystkie poniższe reakcje zachodzące pod wpływem oddziaływań silnych są zabronione. Określ, które zasady zachowania są niespełnione w przypadku każdej z nich.

$\mathrm{p} + \bar{\mathrm{p}} \to \mathrm{p} + \mathrm{n} + \bar{\mathrm{p}}$ ;
$\mathrm{p} + \mathrm{n} \to \mathrm{p} + \bar{\mathrm{p}} + \mathrm{n} + \pi^{+}$ ;
$\pi^{-} + \mathrm{p} \to \Sigma^{+} + \Kappa^{-}$ ;
$\Kappa^{-} + \mathrm{p} \to \Lambda^0 + \mathrm{n}$ .

11.3 Kwarki

39.

Na podstawie modelu kwarkowego budowy protonu wykaż, że ładunek protonu wynosi $+1$ .

40.

Na podstawie budowy kwarkowej neutronu pokaż, że jego ładunek wynosi $0$ .

41.

Udowodnij, że właściwości wynikające z budowy kwarkowej kaonu dodatniego, podane w Tabeli 11.5, są zgodne ze znanymi dla tego mezonu cechami, jakimi są ładunek, spin i dziwność.

42.

Mezony powstały z następujących kombinacji kwarków (indeks dolny oznacza kolor R, G, B, a AR oznacza kolor antyczerwony): $(\mathrm{d}_{\text{R}},\bar{\mathrm{d}}_{\text{AR}})$ , $(\mathrm{s}_{\text{G}},\bar{\mathrm{u}}_{\text{AG}})$ , $(\mathrm{s}_{\text{R}},\bar{\mathrm{s}}_{\text{AR}})$ .

Określ ładunek i dziwność każdej kombinacji;
Podaj przykład mezonów dla każdej z par kwark–antykwark zaproponowanych powyżej.

43.

Dlaczego żadna z kombinacji kwarków poniżej nie może utworzyć hadronu?

44.

Pewien wynik eksperymentalny potwierdza istnienie cząstki o ładunku $+2/3e$ – wyizolowanego kwarka. Jaki to może być kwark? Dlaczego to odkrycie mogłoby być ważne?

45.

Wyraź rozpady $\beta$ : $\mathrm{n} \to \mathrm{p} + \mathrm{e}^{-}+\bar{\nu}$ (rozpad beta minus) oraz $\mathrm{n} \to \mathrm{n} + \mathrm{e}^{+}+ \nu$ (rozpad beta plus) jako rozpady beta odpowiednich kwarków. Sprawdź, czy w rozpadach beta kwarków zachowane są ładunek, liczby leptonowe i liczba barionowa.

11.4 Akceleratory i detektory cząstek

46.

Tor naładowanej cząstki jest zakrzywiany w magnesie wytwarzającym pole o indukcji $\SI{2}{\tesla}$ do kształtu kołowego o promieniu $\SI{75}{\centi\metre}$ . Ile wynosi pęd cząstki?

47.

Wiązka protonów porusza się po okręgu o promieniu $\SI{50}{\centi\metre}$ w polu magnesu o indukcji $\SI{1,5}{\tesla}$ . Ile wynosi całkowita energia protonów?

48.

Wyprowadź wzór $p=\num{0,3}Br$ na podstawie wiedzy o przyspieszeniu dośrodkowym (Ruch w dwóch i trzech wymiarach) i pędzie relatywistycznym (Teoria względności).

49.

Załóż, że energia wiązki w symetrycznym zderzaczu elektronów i pozytonów wynosi $\SI{4,73}{\giga\electronvolt}$ . Jaką energię $W$ i masę spoczynkową $M$ mają cząstki powstające wskutek anihilacji pozytonów i elektronów w zderzaczu? Jaki mezon można byłoby otrzymać?

50.

Przy maksymalnej energii wiązki w synchrotronie Tevatron w Laboratorium im. Enrico Fermiego położonym niedaleko Chicago protony poruszają się z prędkością bliską prędkości światła, ponieważ ich energia jest ok. $\num{1000}$ razy większa od energii spoczynkowej.

Ile czasu zajmuje protonom pełne okrążenie w synchrotronie, którego średnica wynosi $\SI{2}{\kilo\metre}$ ?
Ile razy w ciągu sekundy protony przelatują przez miejsce ustawienia detektora (czyli jaka jest częstotliwość protonów w Tevatronie)?

51.

Przyjmij, że bozon $\mathrm{W}^{-}$ zarejestrowany w detektorze żyje przez $\SI{5e-25}{\second}$ . Jaką drogę pokona w detektorze, jeśli porusza się z prędkością $\num{0,9}c$ ? (Zauważ, że podany czas jest dłuższy niż tablicowy czas życia bozonu $\mathrm{W}^{-}$ , co może być spowodowane statystycznym charakterem rozpadu albo być wynikiem dylatacji czasu).

52.

Ślad o jakiej długości pozostawia w komorze pęcherzykowej mezon $\pi^{\text{+}}$ poruszający się z prędkością $\num{0,1}c$ , jeśli od momentu powstania w komorze żyje przez $\SI{2,6e-8}{\second}$ ? (Piony szybsze lub żyjące dłużej mogą opuścić detektor, zanim się rozpadną i zostaną zarejestrowane).

53.

Akcelerator SLAC o długości $\SI{3,2}{\kilo\metre}$ wytwarza wiązkę elektronów o energii $\SI{50}{\giga\electronvolt}$ . Jeśli na całej długości tego akceleratora liniowego znajduje się $\num{15000}$ sekcji przyspieszających, to jakie średnie napięcie musi panować między sąsiednimi sekcjami, aby elektrony mogły uzyskać docelową energię?

11.5 Model standardowy

54.

Korzystając z zasady nieoznaczoności Heisenberga, określ zasięg oddziaływań słabych zachodzących z wymianą bozonu $\mathrm{Z}$ .

55.

Użyj zasady nieoznaczoności Heisenberga do oszacowania zasięgu oddziaływania, w którym pośredniczy grawiton.

56.

W następującym rozpadzie uczestniczy oddziaływanie słabe: $\mathrm{p} \to \mathrm{n}+\mathrm{e}^{+}+\nu _{\text{e}}$ . Narysuj diagram Feynmana dla tego rozpadu;
Następujące rozpraszanie leptonów zachodzi pod wpływem oddziaływania słabego: $\nu_{\text{e}}+\mathrm{e}^{-} \to \nu_{\text{e}}+\mathrm{e}^{-}$ . Narysuj diagram Feynmana dla tego procesu rozpraszania.

57.

Założywszy zachowanie pędu, oblicz, jaka jest energia każdego fotonu $\gamma$ wytworzonego w procesie rozpadu obojętnego pionu, który początkowo spoczywa. Reakcja tego rozpadu jest następująca: $\pi^0\to\gamma+\gamma$ .

58.

Jaką długość fali de Broglie’a ma wiązka elektronów o energii $\SI{50}{\giga\electronvolt}$ wytwarzanych w akceleratorze liniowym SLAC? Długość ta daje pojęcie o tym, z jaką dokładnością wiązka może penetrować materię i czy np. może powiedzieć nam coś nt. budowy kwarkowej.

59.

Podstawowym kanałem rozpadu pionów naładowanych ujemnie jest reakcja $\pi^{-}\to\mu^{-}+\bar{\nu}_{\mu}$ .

Jaka energia uwalnia się w tym rozpadzie?
Na podstawie zasad zachowania pędu i energii oblicz, jaką energię unoszą wszystkie produkty rozpadu przy założeniu, że pion rozpada się w spoczynku. Możesz przyjąć, że antyneutrino mionowe jest bezmasowe i, podobnie jak foton, ma energię $p=E/c$ .

60.

Wyobraź sobie, że projektujesz eksperyment polegający na rozpadzie protonów. Jesteś w stanie zarejestrować $\SI{50}{\percent}$ wszystkich rozpadów protonu w prowizorycznym detektorze zbudowanym ze zbiornika wypełnionego wodą.

Ile kilogramów wody potrzeba, aby zarejestrować jeden rozpad w ciągu miesiąca, przy założeniu, że czas życia protonu równa się $\SI{1031}{\years}$ ?
Ile to metrów sześciennych wody?
Jeżeli jednak czas życia protonu wynosi $\SI{1033}{\years}$ , to jak długo musiałbyś czekać na zarejestrowanie pojedynczego rozpadu, dysponując twoim detektorem?

11.6 Wielki Wybuch

61.

Jeżeli prędkość ucieczki odległej galaktyki wynosi $\num{0,99}c$ , to jaka jest odległość tej galaktyki od obserwatora na Ziemi?

62.

Odległość pewnej galaktyki od Układu Słonecznego wynosi $\SI{10}{\mega\parsec}$ .

Jaka jest prędkość jej ucieczki?
Ile wynosi przesunięcie ku czerwieni światła emitowanego przez tę galaktykę i obserwowanego w Układzie Słonecznym (ile wynosi $z$ )?

63.

Jeśli galaktyka znajduje się $\SI{153}{\mega\parsec}$ od nas, to jakie są jej spodziewane prędkość i kierunek ucieczki?

64.

W jakiej średniej odległości znajdują się galaktyki, które oddalają się od nas z prędkością równą $\SI{2}{\percent}$ prędkości światła?

65.

Nasz Układ Słoneczny krąży wokół środka Drogi Mlecznej. Zakładając, że orbita ta jest kołowa i ma promień równy $\num{30000}$ lat świetlnych, a prędkość na orbicie wynosi $\SI{250}{\kilo\metre\per\second}$ , oblicz, ile trwa jeden pełny obrót Układu Słonecznego wokół środka naszej Galaktyki? Zauważ, że jest to wynik bardzo przybliżony, ale daje dobre pojęcie o tym, jak długo trwa okrążenie Słońca i najbliższych nam gwiazd wokół środka Galaktyki.

66.

Jaka jest średnia prędkość ucieczki liczona względem Ziemi galaktyk na skraju znanego nam Wszechświata (odległych o blisko $10$ miliardów lat świetlnych)?
Jakim ułamkiem prędkości światła jest ich prędkość ucieczki? Zauważ, że w przykładach mieliśmy już do czynienia z galaktykami o prędkościach ucieczki rzędu $\num{0,9}c$ .

67.

Określ przybliżony wiek Wszechświata na podstawie wartości stałej Hubble’a $H_0=\SI{20}{\kilo\metre\per\second}\cdot 10^6\si{\lightyears}$ . W tym celu oblicz, ile czasu zajmie pokonanie drogi równej $\SI{0,307}{\mega\parsec}$ z prędkością $\SI{20}{\kilo\metre\per\second}$ ;
Jeśli w czasie ewolucji Wszechświata występowało przyspieszenie ekspansji, to czy prawdziwy aktualny wiek Wszechświata byłby większy, czy mniejszy od obliczonego? Wyjaśnij odpowiedź.

68.

Gwiazdozbiór Andromedy jest najbliższą nam galaktyką, możemy ją z łatwością obserwować na niebie gołym okiem. Oszacuj jasność pozorną Andromedy względem Słońca, jeśli jej jasność absolutna jest $10^{12}$ razy większa od jasności absolutnej Słońca, a jej odległość to $\SI{0,613}{\mega\parsec}$ .

69.

Udowodnij, że prędkość gwiazdy krążącej po kołowej orbicie wokół środka swojej galaktyki jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z odległości gwiazdy od środka galaktyki przy założeniu, że cała masa galaktyki skupia się w środku orbity. Możesz posłużyć się wiedzą zdobytą w poprzednich rozdziałach.