11.5 Model standardowy

Wprowadzenie do modelu standardowego

Model standardowy (ang. Standard Model) to współczesna teoria oddziaływań cząstek elementarnych, która opiera się na dwóch zasadniczych koncepcjach: teorii oddziaływań elektrosłabych oraz chromodynamice kwantowej. Chromodynamika kwantowa (QCD) (ang. quantum chromodynamics) to teoria oddziaływania ładunków kolorowych ze sobą. Teoria oddziaływań elektrosłabych (nazywana czasem małą teorią unifikacji) unifikuje elektrodynamikę kwantową (QED) (ang. quantum electrodynamics) – współczesną wersję elektromagnetyzmu – z teorią jądrowych oddziaływań słabych. W modelu standardowym wykorzystuje się narzędzia mechaniki zarówno relatywistycznej, jak i kwantowej.

Oddziaływanie cząstek między sobą w modelu standardowym zachodzi poprzez wymianę bozonów pośredniczących, które odgrywają rolę nośników oddziaływań. Przykładowo oddziaływanie elektrostatyczne (Coulomba) między dwiema cząstkami naładowanymi elektrycznie odbywa się na zasadzie emisji i pochłaniania bezmasowych fotonów. To oddziaływanie może zachodzić teoretycznie przy dowolnej odległości między cząstkami. Jego efektem jest występowanie przyciągającej lub odpychającej siły Coulomba. Podobnie interpretujemy oddziaływanie kwarków – przyciągają się one poprzez wymianę gluonów. Leptony rozpraszają się na innych leptonach lub rozpadają na lżejsze leptony w wyniku wymiany masywnych bozonów $\mathrm{W}$ i $\mathrm{Z}$. Podsumowanie wszystkich oddziaływań w modelu standardowym znajduje się w Tabeli 11.6. Żeby zachować kompletność opisu, w tabeli wymieniono także oddziaływanie grawitacyjne, przenoszone za pośrednictwem bezmasowych grawitonów, jednak nie stanowi ono elementu modelu standardowego.

Wszystkie oddziaływania w modelu standardowym można zapisać przy użyciu równań i diagramów. Równania matematyczne są w nim dość skomplikowane i zazwyczaj wykładane w ramach zaawansowanego kursu fizyki współczesnej. Jednak istotę modelu standardowego da się wyrazić łatwo przy pomocy diagramów Feynmana (ang. Feynman diagrams). Diagram taki, wprowadzony do fizyki przez amerykańskiego fizyka noblistę Richarda Feynmana (1918–1988), jest diagramem czasoprzestrzennym, w którym zapisujemy ewolucję czasową i oddziaływanie cząstek. Różne cząstki oznacza się różnymi symbolami, podobnie różne typy oddziaływań zaznacza się różnymi strzałkami. Oddziaływania cząstek w jednym wymiarze (wzdłuż wybranego kierunku w przestrzeni) przedstawia się w postaci wykresu zależności czasu od położenia (nie: położenia od czasu, jak zazwyczaj robimy w kinematyce). Dla przykładu za pomocą diagramu Feynmana omówmy rozpraszanie elektronu i neutrina elektronowego (Ilustracja 11.12). Elektron porusza się w prawo, zgodnie z dodatnim kierunkiem osi $x$, i zderza się z neutrinem elektronowym, poruszającym się w lewo. W bliskiej odległości od siebie cząstki wymieniają bozon $\mathrm{Z}$ (o obojętnym ładunku elektrycznym) – precyzyjniej: to elektron wysyła bozon $\mathrm{Z}$ do neutrina. W wyniku tego elektron rozprasza się w lewo, a neutrino rozprasza się w prawo. Oddziaływanie nie jest natychmiastowe. Bozon $\mathrm{Z}$ przemieszcza się między cząstkami przez pewien krótki czas. Rozpraszanie elektronu na neutrinie odbywa się za pośrednictwem oddziaływania słabego jądrowego. Występowanie siły między cząstkami nie może być wyjaśnione w ramach klasycznego elektromagnetyzmu, bo neutrino elektronowe nie jest obdarzone ładunkiem elektrycznym. Do oddziaływań słabych wrócimy jeszcze na koniec tego podrozdziału.

Ilustracja 11.12 Na tym diagramie Feynmana oddziaływanie słabe jądrowe między elektronem a neutrinem elektronowym odbywa się na zasadzie wymiany wirtualnego bozonu ${\mathrm{Z}}^0$.

Oddziaływanie elektromagnetyczne

W świetle elektrodynamiki kwantowej siła oddziaływania elektromagnetycznego jest przenoszona między cząstkami naładowanymi za pomocą fotonów. Teoria ta opiera się na trzech podstawowych procesach: cząstka naładowana (np. elektron) przemieszcza się z jednego miejsca do drugiego, emituje lub absorbuje foton, a następnie dalej przemieszcza się do kolejnego miejsca. Gdy np. dwa elektrony oddziałują ze sobą, jeden z nich wysyła, a drugi pochłania foton (Ilustracja 11.13). Fotony przenoszą energię i pęd z jednego elektronu na drugi. W efekcie otrzymujemy siłę odpychającą między elektronami. Mówimy, że wymienione fotony są wirtualne. Cząstka wirtualna (ang. virtual particle) to taka, która żyje zbyt krótko, by dało się ją zaobserwować. Fotony wirtualne mogą łamać zasadę zachowania energii. Żeby to zrozumieć, musimy odwołać się do zasady nieoznaczoności Heisenberga. Załóżmy, że czas życia fotonu $\Delta t$ jest niezwykle krótki, w takim razie nieoznaczoność energii fotonu $\Delta E$ może być bardzo duża, nawet większa niż energia potencjalna oddziaływania między elektronami.

Ilustracja 11.13 Diagram Feynmana oddziaływania dwóch elektronów za pośrednictwem wirtualnego fotonu.

Żeby oszacować zasięg oddziaływania elektromagnetycznego, załóżmy, że nieoznaczoność energii fotonu jest porównywalna z samą energią fotonu. Zatem

Zgodnie z relacją Heisenberga dla energii i czasu otrzymujemy

gdzie $\hslash =h∕2\pi$ (czyt. h kreślone) jest zredukowaną stałą Plancka (albo stałą Diraca), natomiast $h$ jest stałą Plancka. Połączywszy oba równania, otrzymamy wzór na czas życia fotonu wirtualnego

Energia fotonu jest jednoznacznie zdefiniowana przez jego częstotliwość, $E=hf$, więc

Pominęliśmy czynnik $2\pi$. Droga $d$, jaką foton może przebyć w tym czasie, wynosi

Energia fotonu wirtualnego może być dowolnie mała, wobec czego jego długość fali może być dowolnie duża – nie ma przeszkód, aby była wręcz nieskończenie duża. Dlatego też mówimy, że siła oddziaływań elektromagnetycznych jest dalekozasięgowa.

Słabe oddziaływanie jądrowe

Oddziaływanie słabe odpowiada za wszystkie rodzaje rozpadów promieniotwórczych, w tym za rozpady cząstek elementarnych. Zasięg oddziaływania słabego jest bardzo mały (w przybliżeniu równy tylko ${10}^{-18}\mathrm{m}$) i podobnie do innych oddziaływań w modelu standardowym można go opisać za pomocą wymiany cząstek pośredniczących. W odróżnieniu od oddziaływania elektromagnetycznego, w którym możemy podać siłę Coulomba, w przypadku oddziaływania słabego nie da się podać prostej definicji siły. Zachodzi ono w procesie wymiany jednego z trzech bozonów: ${\mathrm{W}}^{\mathrm{+}}$, ${\mathrm{W}}^{\mathrm{-}}$ lub ${\mathrm{Z}}^0$. Model standardowy bezsprzecznie potwierdza istnienie tych cząstek o spinie równym $1$ oraz dokładnie przewiduje ich masy spoczynkowe. Zostały one po raz pierwszy zaobserwowane w latach 80. XX wieku w CERN, co było wielkim sukcesem modelu standardowego. Zmierzono ich dokładne masy, wynoszące $81\mathrm{GeV}∕c^2$ w przypadku naładowanych elektrycznie bozonów $\mathrm{W}$ oraz $90\mathrm{GeV}∕c^2$ w przypadku obojętnego elektrycznie bozonu ${\mathrm{Z}}^0$.

Oddziaływanie słabe jądrowe najczęściej przejawia się w procesach rozpadu niestabilnych cząstek masywnych na lżejsze, jak w przypadku rozpadu neutronu na proton, elektron i antyneutrino elektronowe. Schemat tej reakcji możemy zapisać następująco

gdzie $\mathrm{n}$ oznacza neutron, $\mathrm{p}$ – proton, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{-}}$ – elektron, a ${\overline{\nu }}_{\text{e}}$ to prawie bezmasowe antyneutrino elektronowe. Ten proces, nazywany rozpadem ${\beta }^{-}$, jest ważny z punktu widzenia wielu zjawisk fizycznych. Diagram Feynmana dla rozpadu ${\beta }^{-}$ przedstawiono na Ilustracji 11.14 (a). Neutron emituje bozon ${\mathrm{W}}^{\mathrm{-}}$ i zamienia się w proton, następnie bozon ${\mathrm{W}}^{\mathrm{-}}$ rozpada się na elektron i antyneutrino elektronowe. Taki rozpad podobny jest do innego, w pewnym sensie odwrotnego, procesu rozpraszania

W tym procesie proton emituje bozon ${\mathrm{W}}^{\mathrm{+}}$ i zamienia się w neutron: Ilustracja 11.14 (b). Bozon ${\mathrm{W}}^{\mathrm{+}}$ następnie oddziałuje z elektronem, w wyniku czego powstaje neutrino elektronowe. Inne przykłady procesów, w których ujawnia się oddziaływanie słabe, omówimy w zadaniach.

Ilustracja 11.14 Diagramy Feynmana dla reakcji zachodzących z wymianą bozonów pośredniczących W: (a) rozpad ${\beta }^{-}$; (b) konwersja protonu na neutron.

Omówimy teraz zagadnienie zasięgu oddziaływania słabego, analogicznie do oddziaływania elektromagnetycznego. Przyjmiemy także, że nieoznaczoność energii cząstki pośredniczącej w przybliżeniu równa się jej masie ($E\approx m{c}^2$). Otrzymujemy

Największa odległość $d$, na jaką bozon pośredniczący może się oddalić, przy założeniu ruchu z prędkością bliską prędkości światła $c$, wynosi

Dla jednego z bozonów o masie spoczynkowej $m{c}^2\approx 80\mathrm{GeV}=\mathrm{1,28}\cdot {10}^{-8}\mathrm{J}$ otrzymujemy $mc=\mathrm{4,27}\cdot {10}^{-17}\mathrm{J}\mathrm{s}∕\mathrm{m}$. Zatem zasięg oddziaływania przenoszonego za pośrednictwem tego bozonu wynosi

Silne oddziaływanie jądrowe

Oddziaływania silne zachodzą między kwarkami, teorią tych oddziaływań zajmuje się chromodynamika kwantowa. Według niej kwarki wiążą się, wymieniając między sobą gluony. Kwarki są obdarzone zarówno ładunkiem elektrycznym o wartości $+2e∕3$ lub $-e∕3$, od którego zależy ich siła oddziaływania elektromagnetycznego, jak i ładunkiem kolorowym (czerwonym, niebieskim lub zielonym), który wpływa na wielkość oddziaływania silnego. Jak już wcześniej mówiliśmy, kwarki wiążą się tylko w dwójki lub trójki o kolorze neutralnym (są białe), przykładowo czerwony–niebieski–zielony albo czerwony–antyczerwony.

Co ciekawe, same gluony, a więc nośniki oddziaływania silnego, też przenoszą ładunek kolorowy. To tak, jakby fotony miały ładunek elektryczny. Znamy osiem różnych gluonów: sześć z nich ma jeden z trzech kolorów oraz jednocześnie jeden z antykolorów (inny niż odpowiedni kolor), a dwa są neutralne (nie mają koloru), spójrzmy na Ilustracja 11.15 (a). Oddziaływanie dwóch kwarków za pośrednictwem kolorowych gluonów przedstawiamy za pomocą diagramu Feynmana na Ilustracji 11.15 (b). W pewnym momencie z lewej strony nadlatuje czerwony kwark dolny, a z prawej – zielony kwark dziwny (spójrzmy na dolny fragment diagramu). Kwark dolny wymienia z kwarkiem dziwnym gluon, który niesie ładunek czerwony i antyzielony jednocześnie. Na schemacie oznaczyliśmy antykolory przez barwy komplementarne do barw podstawowych (magenta, cyjan i żółty). Zgodnie z zasadami kwantowej chromodynamiki wszystkie oddziaływania w tym procesie (reprezentowane na diagramie przez wszystkie wierzchołki) muszą być koloru neutralnego (białe). Dlatego kwark dolny musi zmienić kolor z czerwonego na zielony, a kwark dziwny – z zielonego na czerwony. Kwarki wymieniają się kolorami.

Ilustracja 11.15 (a) Osiem rodzajów gluonów – bozonów przenoszących oddziaływanie silne. Gluony białe mają mieszankę koloru i antykoloru. (b) Oddziaływanie dwóch kwarków z wymianą gluonów.

Jak możemy się spodziewać na podstawie powyższego przykładu, oddziaływania między kwarkami w jądrze atomowym mogą być bardzo skomplikowane. Ilustracja 11.16 przedstawia oddziaływanie protonu z neutronem. Zauważmy, że proton w tej reakcji zamienia się w neutron i odwrotnie. Występowanie par kwark–antykwark w tym procesie wymiennym sugeruje, że wiązanie nukleonów w jądra może być modelowane jako wymiana pionów.

Ilustracja 11.16 Diagram Feynmana opisujący oddziaływanie silne między protonem a neutronem w jądrze.

W praktyce szczegółowe zapisanie reakcji i prowadzenie obliczeń w chromodynamice kwantowej jest bardzo trudne. Ta trudność wynika z faktu, że wszystkim procesom zachodzącym w danej reakcji nieodłącznie towarzyszy oddziaływanie między wszystkimi cząstkami, którego nie da się pominąć w obliczeniach. Dlatego obliczenia chromodynamiki kwantowej często prowadzone są przy użyciu superkomputerów o dużej mocy obliczeniowej. Istnienie gluonów zostało potwierdzone w procesach rozpraszania elektronów na jądrach atomowych. W wyniku tych eksperymentów zauważono, że duża część pędu kwarków powstających w zderzeniach musi być unoszona przez inne cząstki – gluony, bez istnienia których całkowity pęd byłby znacznie mniejszy niż uzyskany.

Teorie unifikacji

W fizyce od dawna wiadomo, że siła (wielkość) oddziaływania między cząstkami zależy od odległości między nimi. Przykładowo dwie dodatnio naładowane elektrycznie cząstki doświadczają większego odpychania, gdy są bliżej siebie. W eksperymentach rozpraszania cząstek siła oddziaływania zależy od energii oddziałujących (padających na siebie) cząstek, ponieważ większa energia cząstek oznacza silniejsze oddziaływanie na mniejszej odległości.

Fizycy cząstek elementarnych obecnie uważają, że wszystkie oddziaływania między cząstkami (za pośrednictwem czterech oddziaływań podstawowych) przy bardzo dużych ich energiach łączą się w jedno (Ilustracja 11.17). Teoria unifikacji tłumaczy, jakiego typu są te zunifikowane oddziaływania i dlaczego załamują się (rozpadają) przy niższych energiach. W ramach wielkiej teorii unifikacji (GUT) rozważa się pojedyncze oddziaływanie łączące oddziaływania elektrosłabe i silne. Teoria wszystkiego to koncepcja połączenia wszystkich czterech typów oddziaływań podstawowych w jedną teorię oddziaływania. Zauważmy, że energie, przy których ma dochodzić do unifikacji, są niewyobrażalnie wysokie i jeszcze długo będą nie do osiągnięcia w eksperymentach. Jednak uważa się, że panowały one tuż po Wielkim Wybuchu, kiedy wszystkie oddziaływania rzeczywiście mogły stanowić jedno.

Ilustracja 11.17 Etapy unifikacji oddziaływań przy wysokich energiach.