William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Podsumowanie

2.1 Skalary i wektory

Wielkość wektorowa to wielkość, która ma moduł, zwrot oraz kierunek, jak na przykład przemieszczenie lub prędkość. Wielkości wektorowe reprezentowane są przez wektory.
Graficzną reprezentacją wektora jest strzałka. Długość strzałki odpowiada modułowi wektora, który jest liczbą dodatnią. Kierunek wektora na płaszczyźnie określony jest przez kąt, jaki wektor tworzy z pewnym kierunkiem odniesienia. Kierunek wektora jest wielkością skalarną.
Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy ich moduły, kierunki oraz zwroty są równe. Wektory zgodne mają ten sam kierunek i zwrot, ale mogą mieć różne moduły. Wektory przeciwne mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Kierunki wektorów ortogonalnych różnią się od siebie o $90^{\circ}$ .
W wyniku mnożenia wektora przez skalar (różny od jedności) uzyskujemy wektor o innej długości. Mnożenie przez skalar będący liczbą dodatnią nie zmienia zwrotu wektora. Mnożenie przez liczbę ujemną zmienia zwrot wektora – wynikiem tego jest wektor przeciwny do wektora początkowego. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania. Wektory można dzielić przez skalary, ale nie można ich dzielić przez wektory.
Wektory mogą być dodawane do innych wektorów, nie mogą jednak być dodawane do skalarów. Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne.
Graficzne dodawanie dwóch wektorów realizujemy, stosując metodę równoległoboku. Graficzne dodawanie większej liczby wektorów realizujemy, łącząc kolejno punkty końcowe i początkowe wektorów.

2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora

Opisu wektorów dokonuje się przy pomocy ich składowych. W przestrzeni jednowymiarowej wektor ma jedną składową, w dwuwymiarowej (na płaszczyźnie) wektor ma dwie składowe, w trójwymiarowej – trzy.
Składowa wektora jest to rzut wektora na daną oś. Wartość składowej wektora jest to długość rzutu wektora na daną oś. Wektor jest sumą swoich składowych.
Wartości składowych wektora oblicza się, odejmując współrzędne punktu początkowego wektora od współrzędnych jego punktu końcowego. W prostokątnym układzie współrzędnych moduł wektora jest równy pierwiastkowi sumy kwadratów wartości jego składowych.
Kierunek wektora na płaszczyźnie określany jest przez kąt, jaki ten wektor tworzy z dodatnim kierunkiem osi $x$ . Kąt ten mierzy się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Wartość składowej $x$ wektora oblicza się, mnożąc moduł tego wektora przez cosinus kąta określającego kierunek. Wartość składowej $y$ wektora oblicza się, mnożąc moduł tego wektora przez sinus kąta określającego kierunek.
Możemy wyróżnić dwa rodzaje układów współrzędnych w przestrzeni dwuwymiarowej. Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny układ współrzędnych) charakteryzowany jest przez $\hat{i}$ , czyli wersor osi $x$ , oraz $\hat{j}$ , czyli wersor osi $y$ . Układ współrzędnych biegunowych charakteryzowany jest przez wektor jednostkowy $\hat{r}$ określający kierunek promienia wodzącego oraz wektor jednostkowy $\hat{t}$ , prostopadły (ortogonalny) do wektora $\hat{r}$ .

2.3 Działania na wektorach

Metoda analityczna obliczania wektorów pozwala na znajdowanie sum i różnic wektorów bez konieczności ich rysowania. Metoda ta, w przeciwieństwie do metody graficznej, jest bardzo precyzyjna.
Z metody analitycznej korzysta się w dziedzinach takich jak mechanika, elektryczność, czy magnetyzm. W fizyce stanowi ona bardzo ważne narzędzie.

2.4 Mnożenie wektorów

Wyróżniamy dwa rodzaje mnożenia wektorów – iloczyn skalarny, którego wynikiem jest liczba (skalar), oraz iloczyn wektorowy, którego wynikiem jest wektor.
Zarówno iloczyn skalarny, jak i iloczyn wektorowy są rozdzielne względem dodawania, ale tylko iloczyn skalarny jest przemienny. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny – jeśli zamienimy czynniki miejscami, wynik zmieni się na przeciwny.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów obliczamy, mnożąc przez siebie moduły tych wektorów oraz cosinus kąta między nimi. Iloczyn skalarny wektorów ortogonalnych jest równy zero; iloczyn skalarny wektorów o przeciwnych zwrotach jest liczbą ujemną.
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą mnożone wektory. Jego moduł obliczamy, mnożąc moduły mnożonych wektorów przez sinus kąta między nimi. Zwrot wektora wynikowego możemy określić, stosując regułę korkociągu (regułę śruby prawoskrętnej). Iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów jest wektorem zerowym. Moduł wektora wynikowego jest największy, jeśli mnożone wektory są ortogonalne.
Iloczyn skalarny wykorzystuje się do obliczania kątów między wektorami oraz do definiowania pochodnych wielkości fizycznych, takich jak praca lub energia.
Iloczyn wektorowy wykorzystuje się do definiowania pochodnych wektorowych wielkości fizycznych, takich jak moment siły lub siła Lorentza oraz do opisu ruchu obrotowego.