Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Conceptos clave

7.1 Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas ofrecen una forma conveniente de describir una curva. Un parámetro puede representar el tiempo o alguna otra cantidad significativa.
A menudo es posible eliminar el parámetro en una curva parametrizada para obtener una función o relación que describa esa curva.
Siempre hay más de una forma de parametrizar una curva.
Las ecuaciones paramétricas pueden describir curvas complicadas que son difíciles o quizás imposibles de describir utilizando coordenadas rectangulares.

7.2 Cálculo de curvas paramétricas

La derivada de la curva definida paramétricamente $x = x (t)$ y de $y = y (t)$ se puede calcular mediante la fórmula $\frac{d y}{d x} = \frac{y^{'} (t)}{x^{'} (t)} .$ Utilizando la derivada, podemos hallar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica.
El área entre una curva paramétrica y el eje x puede determinarse mediante la fórmula $A = \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t) x^{'} (t) d t .$
La longitud de arco de una curva paramétrica se puede calcular mediante la fórmula $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t .$
La superficie de un volumen de revolución que gira alrededor del eje x está dada por $S = 2 π \int_{a}^{b} y (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$ Si la curva gira alrededor del eje y, entonces la fórmula es $S = 2 π \int_{a}^{b} x (t) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t .$

7.3 Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares ofrece una forma alternativa de localizar puntos en el plano.
Convierta puntos entre coordenadas rectangulares y polares mediante las fórmulas

$x = r cos θ y y = r sen θ$

y

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} y tan θ = \frac{y}{x} .$
Para dibujar una curva polar a partir de una función polar dada, haga una tabla de valores y aproveche las propiedades periódicas.
Utilice las fórmulas de conversión para convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
Identifique la simetría en las curvas polares, que puede darse a través del polo, del eje horizontal o del eje vertical.

7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación $r = f (θ)$ con $α \leq θ \leq β$ está dada por la integral $A = \frac{1}{2} {\int_{α}^{β} [f (θ)]}^{2} d θ .$
Para hallar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero hay que hallar los puntos de intersección y luego restar las áreas correspondientes.
La longitud de arco de una curva polar definida por la ecuación $r = f (θ)$ con $α \leq θ \leq β$ está dada por la integral $L = \int_{α}^{β} \sqrt{{[f (θ)]}^{2} + {[f^{'} (θ)]}^{2}} d θ = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} + {(\frac{d r}{d θ})}^{2}} d θ .$

7.5 Secciones cónicas

La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es $y = \frac{1}{4 p} {(x - h)}^{2} + k$ donde p es la distancia del vértice al foco y $(h, k)$ son las coordenadas del vértice.
La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ donde el centro tiene coordenadas $(h, k),$ el eje mayor tiene longitud 2a, el eje menor tiene longitud 2b y las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$
La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ donde el centro tiene coordenadas $(h, k),$ los vértices se encuentran en $(h \pm a, k),$ y las coordenadas de los focos son $(h \pm c, k),$ donde $c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1 y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0.
La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es $r = \frac{e p}{1 \pm e cos θ}$ o $r = \frac{e p}{1 \pm e sen θ},$ donde p representa el parámetro focal.
Para identificar una sección cónica generada por la ecuación $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,$ primero calcule el discriminante $D = 4 A C - B^{2} .$ Si $D > 0$ entonces la sección cónica es una elipse, si $D = 0$ entonces la cónica es una parábola, y si $D < 0$ entonces la cónica es una hipérbola.