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Cálculo volumen 2

Conceptos clave

Cálculo volumen 2Conceptos clave

Conceptos clave

7.1 Ecuaciones paramétricas

  • Las ecuaciones paramétricas ofrecen una forma conveniente de describir una curva. Un parámetro puede representar el tiempo o alguna otra cantidad significativa.
  • A menudo es posible eliminar el parámetro en una curva parametrizada para obtener una función o relación que describa esa curva.
  • Siempre hay más de una forma de parametrizar una curva.
  • Las ecuaciones paramétricas pueden describir curvas complicadas que son difíciles o quizás imposibles de describir utilizando coordenadas rectangulares.

7.2 Cálculo de curvas paramétricas

  • La derivada de la curva definida paramétricamente x=x(t)x=x(t) y de y=y(t)y=y(t) se puede calcular mediante la fórmula dydx=y(t)x(t).dydx=y(t)x(t). Utilizando la derivada, podemos hallar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica.
  • El área entre una curva paramétrica y el eje x puede determinarse mediante la fórmula A=t1t2 y(t)x(t)dt.A=t1t2 y(t)x(t)dt.
  • La longitud de arco de una curva paramétrica se puede calcular mediante la fórmula s=t1t2 (dxdt)2 +(dydt)2 dt.s=t1t2 (dxdt)2 +(dydt)2 dt.
  • La superficie de un volumen de revolución que gira alrededor del eje x está dada por S=2 πaby(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.S=2 πaby(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt. Si la curva gira alrededor del eje y, entonces la fórmula es S=2 πabx(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.S=2 πabx(t)(x(t))2 +(y(t))2 dt.

7.3 Coordenadas polares

  • El sistema de coordenadas polares ofrece una forma alternativa de localizar puntos en el plano.
  • Convierta puntos entre coordenadas rectangulares y polares mediante las fórmulas
    x=rcosθyy=rsenθx=rcosθyy=rsenθ

    y
    r=x2 +y2 ytanθ=yx.r=x2 +y2 ytanθ=yx.
  • Para dibujar una curva polar a partir de una función polar dada, haga una tabla de valores y aproveche las propiedades periódicas.
  • Utilice las fórmulas de conversión para convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
  • Identifique la simetría en las curvas polares, que puede darse a través del polo, del eje horizontal o del eje vertical.

7.4 Área y longitud de arco en coordenadas polares

  • El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación r=f(θ)r=f(θ) con αθβαθβ está dada por la integral A=12 αβ[f(θ)]2 dθ.A=12 αβ[f(θ)]2 dθ.
  • Para hallar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero hay que hallar los puntos de intersección y luego restar las áreas correspondientes.
  • La longitud de arco de una curva polar definida por la ecuación r=f(θ)r=f(θ) con αθβαθβ está dada por la integral L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.L=αβ[f(θ)]2 +[f(θ)]2 dθ=αβr2 +(drdθ)2 dθ.

7.5 Secciones cónicas

  • La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es y=14p(xh)2 +ky=14p(xh)2 +k donde p es la distancia del vértice al foco y (h,k)(h,k) son las coordenadas del vértice.
  • La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es (xh)2 a2 +(yk)2 b2 =1(xh)2 a2 +(yk)2 b2 =1 donde el centro tiene coordenadas (h,k),(h,k), el eje mayor tiene longitud 2a, el eje menor tiene longitud 2b y las coordenadas de los focos son (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 b2 .c2 =a2 b2 .
  • La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es (xh)2 a2 (yk)2 b2 =1(xh)2 a2 (yk)2 b2 =1 donde el centro tiene coordenadas (h,k),(h,k), los vértices se encuentran en (h±a,k),(h±a,k), y las coordenadas de los focos son (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 +b2 .c2 =a2 +b2 .
  • La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1 y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0.
  • La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es r=ep1±ecosθr=ep1±ecosθ o r=ep1±esenθ,r=ep1±esenθ, donde p representa el parámetro focal.
  • Para identificar una sección cónica generada por la ecuación Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0,Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0, primero calcule el discriminante D=4ACB2 .D=4ACB2 . Si D>0D>0 entonces la sección cónica es una elipse, si D=0D=0 entonces la cónica es una parábola, y si D<0D<0 entonces la cónica es una hipérbola.
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