Cap. 8Práctica - Introducción a la estadística empresarial

8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas.

Identifique lo siguiente:

$\bar{x}$ =_______
$s_{x}$ =_______
n =_______
n – 1 =_______

Defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$ en palabras.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

Explique con oraciones completas qué significa el intervalo de confianza (confidence interval, CI).

Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal.

Identifique lo siguiente:

$\bar{x}$ =_______
$s_{x}$ =_______
n =_______
n – 1 =_______

Defina la variable aleatoria X con palabras.

Defina la variable aleatoria $\bar{X}$ en palabras.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

10.

Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de horas dedicadas a ver televisión al mes. (a) Indique el intervalo de confianza, (b) dibuje el gráfico y (c) calcule el límite de error.

11.

¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 95 %?

Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la Tabla 8.2 son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional.

X	Frec.
1	1
2	7
3	18
4	7
5	6

Tabla 8.2

12.

Calcule lo siguiente:

$\bar{x}$ =______
$s_{x}$ =______
n =______

13.

Defina la variable aleatoria $\bar{X}$ en palabras.

14.

¿Cuál es el $\bar{x}$ estimado?

15.

¿Es $σ_{x}$ conocido?

16.

Como resultado de su respuesta en el Ejercicio 8.15, indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales.

17.

¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)?

18.

¿Cuánta superficie hay en cada cola?

19.

Calcule lo siguiente:

límite inferior
límite superior
límite de error

20.

El intervalo de confianza del 95 % es _____.

21.

Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral.

Esta es una plantilla de una curva de distribución normal con la región central sombreada para representar un intervalo de confianza. Las zonas residuales están a ambos lados de la región sombreada. Los espacios en blanco indican que los estudiantes deben etiquetar el nivel de confianza, las áreas residuales y los puntos que definen el intervalo de confianza.

Figura 8.10

22.

Explique el significado del intervalo en una oración completa.

23.

Utilizando el mismo $\bar{x}$ , $s_{x}$ , y el nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 39. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe?

24.

Utilizando el mismo $\bar{x}$ , $s_{x}$ , y n = 39, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué?

8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población

Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar.

25.

Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 90 % de confianza en que la proporción de población se estima con un margen del 0,05?

26.

Si más adelante se determinara que es importante tener más de un 90 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que hay que encuestar? ¿Por qué?

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.

27.

Identifique lo siguiente:

x = ______
n = ______
p′ = ______

28.

Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras.

29.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

30.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

31.

Enumere dos dificultades que podría tener la compañía para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizara por correo electrónico.

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos.

32.

Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Defina las variables aleatorias X y P′ en palabras.

33.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

34.

Construya un intervalo de confianza del 95 %. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

35.

Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo?

36.

El error de muestreo indicado en la encuesta es de ±2 %. Explique qué significa el ±2 %.

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante.

37.

Defina la variable aleatoria X con palabras.

38.

Defina la variable aleatoria P′ en palabras.

39.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

40.

Construya un intervalo de confianza del 90 %, e indique el intervalo de confianza y el límite de error.

41.

¿Qué ocurriría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95 %?

Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.

42.

¿Qué se cuenta?

43.

Defina la variable aleatoria X en palabras.

44.

Calcule lo siguiente:

x = _______
n = _______
p′ = _______

45.

Indique la distribución estimada de X. X~________

46.

Defina una nueva variable aleatoria P′. ¿Qué estima p′?

47.

Defina la variable aleatoria P′ en palabras.

48.

Indique la distribución estimada de P′. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que comienzan las clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet.

49.

¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)?

50.

¿Cuánta superficie hay en cada cola?

51.

Calcule lo siguiente:

límite inferior
límite superior
límite de error

52.

El intervalo de confianza del 92 % es _______.

53.

Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra.

Curva de distribución normal con dos líneas verticales ascendentes desde el eje x hasta la curva. El intervalo de confianza está entre estas dos líneas. Las áreas residuales están a ambos lados.

Figura 8.11

54.

Explique el significado del intervalo en una oración completa.

55.

Utilizando la misma p′ y el mismo nivel de confianza, supongamos que n se aumenta a 100. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe?

56.

Utilizando la misma p′ y n = 80, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98 %? ¿Por qué?

57.

Si se disminuye el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)?

8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras.

58.

Identifique lo siguiente:

$\bar{x}$ = _____
σ = _____
n = _____

59.

En palabras, defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$ .

60.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

61.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de la población de elefantes recién nacidos. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

62.

¿Qué ocurrirá con el intervalo de confianza obtenido si se pesan 500 elefantes recién nacidos en vez de 50? ¿Por qué?

Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal.

63.

Identifique lo siguiente:

$\bar{x}$ = _____
σ = _____
n = _____

64.

En palabras, defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$ .

65.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

66.

Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para rellenar los formularios. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

67.

Si el censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer?

68.

Si el censo realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara solo a 50 personas en vez de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué?

69.

Supongamos que el censo necesita tener un 98 % de confianza en la duración media de la población. ¿El censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué sí o por qué no?

Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras.

70.

Identifique lo siguiente:

$\bar{x}$ = ______
σ = ______
n = ______

71.

Defina la variable aleatoria X en palabras.

72.

En palabras, defina la variable aleatoria $\bar{X}$ .

73.

¿Qué distribución debería utilizar para este problema?

74.

Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

75.

Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error.

76.

Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza en el Ejercicio 8.74 es mayor que en el Ejercicio 8.75.

77.

Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo en el Ejercicio 8.75.

78.

¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el límite de error siguiera siendo el mismo?

79.

¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el nivel de confianza siguiera siendo el mismo?

Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College.

80.

$\bar{x}$ = _____

81.

n = _____

82.

________ = 15

83.

En palabras, defina la variable aleatoria $\bar{X}$ .

84.

¿Cuál es el $\bar{x}$ estimado?

85.

¿Es $σ_{x}$ conocido?

86.

Como resultado de su respuesta en el Ejercicio 8.83, indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza.

Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios.

87.

¿Cuánta superficie hay en ambas cruces (combinadas)? α =________

88.

¿Cuánta superficie hay en cada cola? $\frac{α}{2}$ =________

89.

Identifique las siguientes especificaciones

límite inferior
límite superior
límite de error

90.

El intervalo de confianza del 95 % es: __________________.

91.

Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral.

Figura 8.12

92.

Explique el significado del intervalo en una oración completa.

93.

Utilizando las mismas media, desviación típica y nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 25. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe?

94.

Utilizando las mismas media, desviación típica y tamaño de la muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué?

95.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,60. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

96.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,650. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

97.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 96 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 5 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,70. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

98.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 1 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,50. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

99.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 94 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,65. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

100.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,45. Nota: Redondee todas las fracciones para n.

101.

Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,3. Nota: Redondee todas las fracciones para n.