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Introducción a la estadística empresarial

8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población

Introducción a la estadística empresarial8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43.

Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.

El procedimiento para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son un poco diferentes, aunque conceptualmente idénticas. Aunque las fórmulas son diferentes, se basan en el mismo fundamento matemático que nos proporciona el teorema central del límite. Por ello, veremos el mismo formato básico utilizando los mismos tres datos: el valor muestral del parámetro en cuestión, la desviación típica de la distribución muestral correspondiente y el número de desviaciones típicas que necesitamos para tener la confianza en nuestra estimación que deseamos.

¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente tiene una variable aleatoria binaria y, por tanto, es una distribución binomial. (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción de la muestra, tome X, la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (léase "P prima") es la proporción de la muestra,

P = X n P = X n

(a veces, la variable aleatoria se denota como P ^ P ^ , que se lee “estimador de P”).

p′ = la proporción estimada de éxitos o la proporción muestral de éxitos(p′ es una estimación puntual de p, la verdadera proporción poblacional, y, por tanto, q es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo).

x = número de aciertos en la muestra

n = el tamaño de la muestra

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población sigue el mismo formato que el de la estimación de una media de la población. Recordando la distribución de muestreo para la proporción del Capítulo 7, se encontró que la desviación típica es:

σp'=p(1p)nσp'=p(1p)n

Por lo tanto, el intervalo de confianza para una proporción poblacional se convierte en

p=p±[Z(a2)p(1p)n]p=p±[Z(a2)p(1p)n]

Z(a2)Z(a2) se fija en función del grado de confianza que deseemos y p(1p)np(1p)n es la desviación típica de la distribución muestral.

Las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q. Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen.

Recuerde que a medida que p se aleja de 0,5 la distribución binomial se vuelve menos simétrica. Como estamos estimando la binomial con la distribución normal simétrica, cuanto más se aleje de la simetría la binomial, menos confianza tendremos en la estimación.

Esta conclusión puede demostrarse mediante el siguiente análisis. Las proporciones se basan en la distribución de probabilidad binomial. Los posibles resultados son binarios, "éxito" o "fracaso". Esto da lugar a una proporción, es decir, el porcentaje de los resultados que son "éxitos". Se demostró que la distribución binomial podía entenderse completamente si solo conocíamos la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, llamada p. Se encontró que la media y la desviación típica de la binomial eran:

μ = np μ = np
σ = np q σ= np q

También se demostró que la binomial podía ser estimada por la distribución normal si TANTO np COMO nq eran mayores que 5. A partir de la discusión anterior, se encontró que la fórmula de estandarización para la distribución binomial es:

Z = p' p ( p q n ) Z= p' p ( p q n )

que no es más que un replanteamiento de la fórmula general de normalización con las sustituciones adecuadas para μ y σ del binomio. Podemos utilizar la distribución normal estándar, la razón por la que Z está en la ecuación, porque la distribución normal es la distribución limitante de la binomial. Este es otro ejemplo del teorema del límite central. Ya hemos visto que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. Recordemos la extensa discusión del Capítulo 7 sobre la distribución muestral de las proporciones y las conclusiones del teorema del límite central.

Ahora podemos manipular esta fórmula de la misma manera que hicimos para calcular los intervalos de confianza para una media, pero para calcular el intervalo de confianza para el parámetro poblacional binomial, p.

p' Zα p'q' n p p' + Zα p'q' n p'Zαp'q' n pp'+Zαp'q' n

Donde p′ = x/n, la estimación puntual de p tomada de la muestra. Observe que p′ sustituyó a p en la fórmula. Esto se debe a que no conocemos p, de hecho, esto es justo lo que estamos tratando de estimar.

Lamentablemente, no existe un factor de corrección para los casos en los que el tamaño de la muestra es pequeño, por lo que np′ y nq' deben ser siempre superiores a 5 para desarrollar una estimación de intervalo para p.

Ejemplo 8.6

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Supongamos que se contrata a una compañía de estudios de mercado para que estime el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuestan quinientos residentes adultos seleccionados al azar en esta ciudad para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas incluidas en la muestra, 421 respondieron que sí: tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles.

Inténtelo 8.6

Supongamos que se encuestan 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declararon que tienen una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que tienen tabletas.

Ejemplo 8.7

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La Escuela de Adiestramiento Canino de Dundee tiene una proporción mayor que el promedio de clientes que compiten en eventos profesionales. Se construye un intervalo de confianza para la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales de 150 escuelas de adiestramiento diferentes. El límite inferior se determina en 0,08 y el superior en 0,16. Determine el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo de la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales.

Ejemplo 8.8

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Un responsable financiero de una compañía quiere estimar el porcentaje de cuentas por cobrar que llevan más de 30 días de retraso. Analiza 500 cuentas y descubre que 300 tienen más de 30 días de retraso. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de cuentas por cobrar con más de 30 días de retraso, e interprete el intervalo de confianza.

Inténtelo 8.8

Un estudiante hace un sondeo en su escuela para ver si los estudiantes del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación relativa a los uniformes escolares. Hace una encuesta entre 600 estudiantes y halla que 480 están en contra de la nueva legislación.

a. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación e interprete el intervalo de confianza.

b. En una muestra de 300 estudiantes, el 68 % dijo que tenían un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que tienen un iPod y un teléfono inteligente.

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