Tarea para la casa

Una encuesta aleatoria sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6.414; 1.550; 2.109; 9.350; 21.828; 4.300; 5.944; 5.722; 2.825; 2.044; 5.481; 5.200; 5.853; 2.750; 10.012; 6.357; 27.000; 9.414; 7.681; 3.200; 17.500; 9.200; 7.380; 18.314; 6.557; 13.713; 17.768; 7.493; 2.771; 2.861; 1.263; 7.285; 28.165; 5.080; 11.622. Supongamos que la población subyacente es normal.

1. 1. $\bar{x}$ = __________
   2. $s_x$ = __________
   3. n = __________
   4. n – 1 = __________
2. Defina las variables aleatorias $X$ y $\bar{X}$ en palabras.
3. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
4. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de inscripción en los colegios comunitarios de Estados Unidos
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
5. ¿Qué ocurriría con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestaran 500 colegios comunitarios? ¿Por qué?

Una compañía farmacéutica fabrica tranquilizantes. Se supone que la distribución del tiempo que duran es aproximadamente normal. Los investigadores de un hospital utilizaron el fármaco en una muestra aleatoria de nueve pacientes. El periodo efectivo del tranquilizante para cada paciente (en horas) fue el siguiente: 2,7; 2,8; 3,0; 2,3; 2,3; 2,2; 2,8; 2,1; y 2,4.

1. 1. $\bar{x}$ = __________
   2. $s_x$ = __________
   3. n = __________
   4. n – 1 = __________
2. Defina la variable aleatoria $X$ en palabras.
3. Defina la variable aleatoria $\bar{X}$ en palabras.
4. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
5. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de tiempo.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
6. ¿Qué significa tener el “95 % de confianza” en este problema?

La Comisión Federal de Elecciones (Federal Election Commission, FEC) recopila información sobre los aportes y los desembolsos de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Un Comité de Acción Política (Political Action Committee, PAC) es un comité formado para recaudar dinero para candidatos y campañas. Un PAC de Liderazgo es un PAC formado por un político federal (senador o representante) para recaudar dinero para ayudar a las campañas de otros candidatos.

La FEC presentó información financiera de 556 PAC de Liderazgo que operaron durante el ciclo electoral 2011-2012. La siguiente tabla muestra los ingresos totales durante este ciclo para una selección aleatoria de 30 PAC de Liderazgo.

$\bar{x}=\$251,\mathrm{854,23}$

$s=\$521,\mathrm{130,41}$

Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 95 % para la cantidad media de dinero recaudado por todos los PAC de liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012. Use la distribución t de Student.

Los asientos desocupados en los vuelos hacen que las aerolíneas pierdan ingresos. Supongamos que una gran compañía aérea quiere estimar su número medio de asientos desocupados por vuelo durante el año pasado. Para ello, se seleccionan al azar los registros de 225 vuelos y se anota el número de asientos no ocupados de cada uno de los vuelos de la muestra. La media muestral es de 11,6 asientos y la desviación típica de la muestra es de 4,1 asientos.

1. 1. $\bar{x}$ = __________
   2. $s_x$ = __________
   3. n = __________
   4. n– 1 = __________
2. Defina las variables aleatorias $X$ y $\bar{X}$ en palabras.
3. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
4. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la media poblacional del número de asientos desocupados por vuelo.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.

Se seleccionaron al azar seis marcas nacionales diferentes de galletas de chocolate en el supermercado. Los gramos de grasa por porción son los siguientes: 8; 8; 10; 7; 9; 9. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal.

1. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media de la población de gramos de grasa por porción de galletas de chocolate que se venden en los supermercados.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
2. Si se quería un límite de error menor manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué se debería haber cambiado en el estudio antes de realizarlo?
3. Va a la tienda y registra los gramos de grasa por porción de seis marcas de galletas de chocolate.
4. Calcule la media.
5. ¿La media está dentro del intervalo que ha calculado en la parte a? ¿Esperaba que estuviese? ¿Por qué sí o por qué no?

Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera media poblacional de la cantidad de gaseosa servida.

1. (12,42, 14,18)
2. (12,32, 14,29)
3. (12,50, 14,10)
4. Imposible de determinar

Las compañías de seguros están interesadas en conocer el porcentaje de conductores que siempre se abrochan el cinturón antes de manejar.

1. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de la población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 95 % de confianza en que la proporción de la población se estima con un margen del 0,03?
2. Si más adelante se determinara que es importante tener más del 95 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría eso el número mínimo que habría que encuestar? ¿Por qué?

Según una reciente encuesta realizada a 1.200 personas, el 61 % consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Nos interesa la proporción de población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable.

1. Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras.
2. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
3. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.

Consulte la información en el Ejercicio 8.117.

1. Construya tres intervalos de confianza del 95 %.
   1. porcentaje de todos los asiáticos que acogerían a una persona blanca en su familia.
   2. porcentaje de los asiáticos que acogerían a un latino en su familia.
   3. porcentaje de los asiáticos que acogerían a una persona negra en su familia.
2. Aunque las tres estimaciones puntuales son diferentes, ¿hay superposición en alguno de los intervalos de confianza? ¿Cuál?
3. Para los intervalos donde hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales?
4. Para los intervalos donde no hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales?

Un sondeo telefónico realizado a 1.000 estadounidenses adultos se publicó en un número de la Revista Time.. Una de las preguntas que se hicieron fue: “¿Cuál es el principal problema del país?”. El veinte por ciento respondió que era la “delincuencia”. Nos interesa la proporción de población de los estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema.

1. Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras.
2. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
3. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
4. Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo?
5. El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas.

Una estimación puntual de la verdadera proporción de la población es:

1. 0,90
2. 1,27
3. 0,79
4. 400

La estimación puntual de la proporción de viviendas que no cumplen las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos es ______.

1. 0,6614
2. 0,3386
3. 173
4. 338

El 13 de mayo de 2013, Rasmussen Reports realizó una encuesta nacional a 1.000 adultos. Concluyó con el 95 % de confianza que entre el 49 % y el 55 % de los estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen el proceso de la educación superior.

1. Calcule la estimación puntual y el límite de error para este intervalo de confianza.
2. ¿Podemos concluir (con el 95 % de confianza) que más de la mitad de los adultos estadounidenses lo creen?
3. Utilice la estimación puntual de la parte a y n = 1.000 para calcular un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen la educación superior.
4. ¿Podemos concluir (con el 75 % de confianza) que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses lo creen?

Se sabe que la desviación típica de las alturas entre los distintos grupos étnicos es de tres pulgadas aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de los hombres suecos. Se encuestaron cuarenta y ocho hombres suecos. La media muestral es de 71 pulgadas. La desviación típica de la muestra es de 2,8 pulgadas.

1. 1. $\bar{x}$ =________
   2. σ =________
   3. n =________
2. En palabras, defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$.
3. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
4. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de la población de hombres suecos
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
5. ¿Qué pasará con el nivel de confianza obtenido si se encuestan 1.000 hombres suecos en vez de 48? ¿Por qué?

Supongamos que una compañía de contabilidad hace un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta al azar a 100 personas. La media muestral es de 23,6 horas. Existe una desviación típica conocida de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal.

1. 1. $\bar{x}$ =________
   2. σ =________
   3. n =________
2. En palabras, defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$.
3. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
4. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para completar los formularios de impuestos.
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
5. Si la compañía quisiera aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer?
6. Si la compañía realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara 49 personas solamente, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué?
7. Supongamos que la compañía decide que necesita tener, al menos, el 96 % de confianza de la media de la población que se tarda una hora. ¿Cómo cambiaría el número de personas que la compañía encuesta? ¿Por qué?

El director de un campamento está interesado en el número medio de cartas que envía cada niño durante su sesión de campamento. Se conoce que la desviación típica de la población es de 2,5. Se realiza una encuesta entre 20 campistas. La media muestral es de 7,9, con una desviación típica de la muestra de 2,8.

1. 1. $\bar{x}$ =________
   2. σ =________
   3. n =________
2. Defina las variables aleatorias X y $\bar{X}$ en palabras.
3. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección.
4. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional del número de cartas que los campistas envían a casa
   1. Indique el intervalo de confianza.
   2. Dibuje el gráfico.
5. ¿Qué ocurrirá con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestan 500 campistas? ¿Por qué?

La Comisión Federal de Elecciones recopila información sobre los aportes y los desembolsos para la campaña de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Durante la temporada de campaña de 2012, hubo 1.619 candidatos a la Cámara de Representantes en Estados Unidos que recibieron aportes de particulares. La Tabla 8.5 muestra el total de ingresos procedentes de particulares para una selección aleatoria de 40 candidatos a la Cámara de Representantes, redondeado a los 100 dólares más cercanos. La desviación típica de estos datos a la centena más cercana es σ = 909.200 dólares.

1. Calcule la estimación puntual de la media de la población.
2. Use el 95 % de confianza y calcule el límite de error.
3. Cree un intervalo de confianza del 95 % para la media de los aportes individuales totales.
4. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema.

Si se cambia el intervalo de confianza a una probabilidad más alta, ¿se produciría un tamaño mínimo de la muestra más bajo o más alto?

Si la tolerancia se reduce a la mitad, ¿cómo afectaría esto al tamaño mínimo de la muestra?

Si se reduce el valor de p, ¿se reduciría necesariamente el tamaño de la muestra necesaria?

¿Es aceptable utilizar un tamaño de muestra mayor que el calculado por $\frac{z^{2}pq}{e^2}$?

Una compañía tiene una cadena de montaje en la que el 97,42 % de los productos fabricados son aceptables. Entonces, una pieza crítica se rompió. Después de las reparaciones se decidió ver si el número de productos defectuosos fabricados seguía siendo lo suficientemente cercano a la calidad de producción de siempre. Se seleccionaron muestras de 500 piezas al azar, y se comprobó que la tasa de defectos era del 0,025 %

1. ¿Es este tamaño de muestra adecuado para afirmar que la compañía está comprobando dentro del intervalo de confianza del 90 %?
2. ¿Y dentro del intervalo de confianza del 95 %?