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5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas

La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P(a < x < b). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f(x) es uno. El área debajo del gráfico de f(x) y entre los valores a y b da la probabilidad P(a < x < b).

El gráfico de la izquierda muestra una curva de densidad general, y = f(x). La región debajo de la curva y por encima del eje x está sombreada. El área de la región sombreada es igual a 1. Esto demuestra que todos los resultados posibles están representados por la curva. El gráfico de la derecha muestra la misma curva de densidad. Las líneas verticales x = a y x = b se extienden desde el eje hasta la curva, y el área entre las líneas está sombreada. El área de la región sombreada representa la probabilidad de que un valor x se encuentre entre a y b.
Figura 5.21

La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P (Xx). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

5.2 La distribución uniforme

Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o axb, entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos XU(a, b). La media de X es μ= a+b 2 μ= a+b 2 . La desviación típica de X es σ= (ba) 2 12 σ= (ba) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e(x)= 1 ba e(x)= 1 ba para axb. La función de distribución acumulativa de X es P(Xx) = xa ba xa ba . X es continua.

El gráfico muestra un rectángulo con un área total igual a 1. El rectángulo se extiende desde x = a hasta x = b en el eje x y tiene una altura de 1/(b–a).
Figura 5.22

La probabilidad de P(c < X < d) se puede hallar calculando el área bajo f(x), entre c y d. Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura.

5.3 La distribución exponencial

Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ 1 μ . La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me–mx (o equivalentemente e(x)= 1 μ e x/μ e(x)= 1 μ e x/μ . La función de distribución acumulativa de X es P(Xx) = 1 – emx.

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