Alexander Holmes; Barbara Illowsky; Susan Dean

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.

Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.

Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.

La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: "¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos $x$ horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre $x_{1}$ horas y $x_{2}$ horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de $x_{1}$ horas para llevarse a cabo" En resumen, la variable aleatoria X es iguala (a) el tiempo entre eventos o(b) el paso del tiempo para completar una acción, por ejemplo, esperar a un cliente. La función de densidad de probabilidad viene dada por:

e (x) = \frac{1}{μ} e^{- \frac{1}{μ} x}

donde μ es el tiempo promedio de espera histórico.

y tiene una media y una desviación típica de 1/μ.

Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m, la función de densidad de probabilidad se presenta como

e (x) = m e^{- m x}

donde $m = \frac{1}{μ}$

Para calcular las probabilidades de determinadas funciones de densidad de probabilidad, se utiliza la función de densidad acumulada. La función de densidad acumulativa (cdf) es simplemente la integral de la pdf y es:

F (x) = \int_{0}^{\infty} [\frac{1}{μ} e^{- \frac{x}{μ}}] = 1 - e^{- \frac{x}{μ}}

5.1

Ejemplo 5.3

Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con un cliente. A partir de los datos históricos, se sabe que el tiempo promedio es de cuatro minutos.

Dado que μ = 4 minutos, es decir, el tiempo promedio que el dependiente pasa con un cliente es de 4 minutos. Recuerde que seguimos calculando probabilidad y por tanto nos tienen que decir los parámetros poblacionales como la media. Para hacer cualquier cálculo, necesitamos conocer la media de la distribución: el tiempo histórico de prestación de un servicio, por ejemplo. Conocer la media histórica permite calcular el parámetro de decaimiento, m.

$m = \frac{1}{μ}$ . Por lo tanto, $m = \frac{1}{4} = 0,25$ .

Cuando la notación utiliza el parámetro de decaimiento, m, la función de densidad de probabilidad se presenta como $e (x) = m e^{- m x}$ , que es simplemente la fórmula original con m sustituido por $\frac{1}{μ}$ , o $e (x) = \frac{1}{μ} e^{- \frac{1}{μ} x}$ .

Para calcular las probabilidades de una función de densidad de probabilidad exponencial, tenemos que utilizar la función de densidad acumulada. Como se muestra a continuación, la curva de la función de densidad acumulada es:

f(x) = 0,25e^–0,25x donde x es al menos cero y m = 0,25.

Por ejemplo, f(5) = 0,25e^(–0,25)(5) = 0,072. Es decir, la función tiene un valor de 0,072 cuando x = 5.

El gráfico es el siguiente:

Gráfico exponencial con incrementos de 2 desde 0-20 en el eje x de μ = 4 e incrementos de 0,05 desde 0,05-0,25 en el eje y de m = 0,25. La línea curva comienza en la parte superior en el punto (0, 0,25) y se curva hacia abajo hasta el punto (20, 0). El eje x es igual a una variable aleatoria continua.

Figura 5.13

Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0,

f(x) = 0,25e^(−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m. El valor máximo en el eje y es siempre m, uno dividido entre la media.

Inténtelo 5.3

El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución.

Ejemplo 5.4

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a. Utilizando la información del Ejemplo 5.3, halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar.

Solución

a. Calcule P(4 < x < 5).
La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda.
P(x < x) = 1 – e^–mx
P(x < 5) = 1 – e^(–0,25)(5) = 0,7135 and P(x < 4) = 1 – e^(–0,25)(4) = 0,6321
P(4 < x < 5)= 0,7135 – 0,6321 = 0,0814

Gráfico exponencial con la línea curva que comienza en el punto (0, 0,25) y se curva hacia el punto (∞, 0). Dos líneas verticales ascendentes se extienden desde los puntos 4 y 5 hasta la línea curva. La probabilidad está en la zona entre los puntos 4 y 5.

Figura 5.14

Inténtelo 5.4

El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros?

Ejemplo 5.5

En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente.

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a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años?

Solución

a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora.
μ = 10 por lo que $m = \frac{1}{μ} = \frac{1}{10} = 0,1$
Calcule P(x > 7). Dibuje el gráfico.
P(x > 7) = 1 – P(x < 7).
Como P(X < x) = 1 – e^–mx entonces P(X > x) = 1 – (1 –e^–mx) = e^–mx
P(x > 7) = e^(–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966.

Gráfico exponencial con la línea curva que comienza en el punto (0, 0,1) y se curva hacia el punto (∞, 0). Una línea vertical ascendente se extiende desde el punto 1 hasta la línea curva. El área de probabilidad se produce desde el punto 1 hasta el final de la curva. El eje x es igual a la cantidad de tiempo que dura una pieza de computadora.

Figura 5.15

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b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra?

Solución

b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años.

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d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años?

Solución

d. Calcule P(9 < x < 11). Dibuje el gráfico.

Gráfico exponencial con la línea curva que comienza en el punto (0, 0,1) y se curva hacia el punto (∞, 0). Dos líneas verticales ascendentes se extienden desde los puntos 9 y 11 hasta la línea curva. El área de probabilidad se produce entre los puntos 9 y 11.

Figura 5.16

P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^(–0,1)(11)) – (1 – e^(–0,1)(9)) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737.

Inténtelo 5.5

En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días?

Ejemplo 5.6

Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento $\frac{1}{12}$ . El decaimiento p[parámetro] es otra forma de ver 1/λ. Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos.

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¿Qué son m, μ y σ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______.

Solución

m = $\frac{1}{12}$
μ = 12
σ = 12

P(x > 5) = 0,6592

Ejemplo 5.7

El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente.

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¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas?
Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes?
Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar.
Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar.
¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación?

Solución

Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio.
Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes.
Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = $\frac{1}{2}$ = 0,5.
La función de distribución acumulativa es P(X < x) = 1 - e^(-0,5)(x)
Por tanto, P(X < 1) = 1 – e^(–0,5)(1) = 0,3935.

Figura 5.17
P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^(-0,5)(5)) = e^–2,5 ≈ 0,0821.

Figura 5.18
Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras.

La falta de memoria de la distribución exponencial

Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que

P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0

Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.

P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = $e^{(- 0,5) (1)}$ = 0,6065.

Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.

La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el Ejemplo 5.5, la vida útil de una determinada pieza de computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años. La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966, donde la línea vertical se lee como “dada".

Ejemplo 5.8

Volvamos al caso del empleado de correos, en el que el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal?

El parámetro de decaimiento de X es m = $\frac{1}{4}$ = 0,25, por lo que X ∼ Exp(0,25).

La función de distribución acumulativa es P(X < x) = 1 – e^–0,25x.

Queremos despejar P(X > 7|X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P(X > 7|X > 4) = P (X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal.

Esto es P(X > 3) = 1 – P (X < 3) = 1 – (1 – e^–0,25⋅3) = e^–0,75 ≈ 0,4724.

Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en el punto (0, 0,25) del eje y y se acerca al eje x en el borde derecho del gráfico. La región debajo del gráfico a la derecha de x = 3 está sombreada para representar P(x > 3) = 0,4724.

Figura 5.19

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media μ. Recordemos que si X tiene la distribución de Poisson con una media μ, entonces $P (X = x) = \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!}$ .

La fórmula de la distribución exponencial $P (X = x) = {m e}^{- m x} = \frac{1}{μ} e^{- \frac{1}{μ} x}$ Donde m = el parámetro de la tasa, o μ = tiempo promedio entre ocurrencias.

Vemos que la exponencial es la pariente de la distribución de Poisson y se relacionan a través de esta fórmula. Existen importantes diferencias que hacen que cada distribución sea relevante para diferentes tipos de problemas de probabilidad.

En primer lugar, la Poisson tiene una variable aleatoria discreta, x, en la que el tiempo; una variable continua se divide artificialmente en trozos discretos. Vimos que el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo dado, x, sigue la distribución de Poisson.

Por ejemplo, el número de veces que suena el teléfono por hora. En cambio, el tiempo entre ocurrencias sigue la distribución exponencial. Por ejemplo. El teléfono acaba de sonar, ¿cuánto tiempo pasará hasta que vuelva a sonar? Estamos midiendo la duración del intervalo, una variable aleatoria continua, exponencial, no los eventos durante un intervalo, Poisson.

La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson

Una forma visual de mostrar tanto las similitudes como las diferencias entre estas dos distribuciones es con una línea del tiempo.

Figura 5.20

La variable aleatoria de la distribución de Poisson es discreta y, por tanto, cuenta los eventos durante un periodo determinado, de t₁ a t₂ en la Figura 5.20, y calcula la probabilidad de que se produzca ese número. El número de eventos, cuatro en el gráfico, se mide en números que se pueden contar; por lo tanto, la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta.

La distribución de probabilidad exponencial calcula las probabilidades del paso del tiempo, una variable aleatoria continua. En la Figura 5.20 esto se muestra como el paréntesis desde t₁ hasta la siguiente ocurrencia del evento marcada con un triángulo.

Las preguntas clásicas de la distribución de Poisson son "¿cuántas personas llegarán a mi caja en la próxima hora?".

Las preguntas clásicas de la distribución exponencial son "¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?", o una variante, "¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?".

De nuevo, la fórmula de la distribución exponencial es:

e (x) = m e^{- m x} o e (x) = \frac{1}{μ} e^{- \frac{1}{μ} x}

Vemos inmediatamente la similitud entre la fórmula exponencial y la fórmula de Poisson.

P (x) = \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!}

5.2

Ambas funciones de densidad de probabilidad se basan en la relación entre el tiempo y el crecimiento o decaimiento exponencial. La "e" de la fórmula es una constante con el valor aproximado de 2,71828 y es la base de la fórmula del crecimiento exponencial logarítmica natural. Cuando la gente dice que algo ha crecido exponencialmente, se refiere a esto.

Un ejemplo de la exponencial y la Poisson dejará claras las diferencias entre ambas. También mostrará las interesantes aplicaciones que tienen.

Distribución de PoissonSupongamos que históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Recuerde que esto es todavía una probabilidad, por lo que nos tienen que decir estos valores históricos. Vemos que se trata de un problema de probabilidad de Poisson.

Podemos introducir esta información en la función de densidad de probabilidad de Poisson y obtener una fórmula general que calculará la probabilidad de que llegue algún número determinado de clientes en la próxima hora.

La fórmula es para cualquier valor de la variable aleatoria que hayamos elegido y, por tanto, la x se pone en la fórmula. Esta es la fórmula:

e (x) = \frac{10^{x} e^{-10}}{x!}

Como ejemplo, la probabilidad de que lleguen 15 personas a la caja registradora en la próxima hora sería

P (x = 15) = \frac{10^{15} e^{-10}}{15!} = 0,0611

Aquí insertamos x = 15 y calculamos que la probabilidad de que en la próxima hora lleguen 15 personas es de 0,061.

Distribución exponencialSi mantenemos los mismos hechos históricos de que llegan 10 clientes cada hora, pero ahora nos interesa el tiempo de servicio que pasa una persona en el mostrador, entonces utilizaríamos la distribución exponencial. La función de probabilidad exponencial para cualquier valor de x, la variable aleatoria, para estos datos históricos de la caja registradora es:

e (x) = \frac{1}{0,1} e^{\frac{-x}{0,1}} = 10 e^{-10 x}

Para calcular µ, el tiempo promedio de servicio histórico, simplemente dividimos el número de personas que llegan por hora, 10, entre el periodo, una hora, y tenemos µ = 0,1. Históricamente, la gente pasa el 0,1 de una hora en la caja registradora, es decir, 6 minutos. Esto explica el 0,1 de la fórmula.

Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial.

Siguiendo con nuestro ejemplo de la caja, si quisiéramos saber la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora, utilizaríamos esta fórmula. En primer lugar, convertimos a las mismas unidades de tiempo que son partes de una hora. Nueve minutos son 0,15 de una hora. A continuación, observamos que estamos pidiendo un rango de valores. Este es siempre el caso de una variable aleatoria continua. Escribimos la pregunta de probabilidad como

p (x \leq 9) = 1 - 10 e^{-10 x}

Ahora podemos poner los números en la fórmula y obtenemos nuestro resultado.

p (x = 0,15) = 1 - 10 e^{-10 (0,15)} = 0,7769

La probabilidad de que un cliente emplee 9 minutos o menos en pasar por caja es de 0,7769.

Vemos que tenemos una alta probabilidad de salir en menos de nueve minutos y una mínima probabilidad de que lleguen 15 clientes en la próxima hora.

5.3 La distribución exponencial

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

La falta de memoria de la distribución exponencial

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson