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Introducción a la estadística empresarial

5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas

Introducción a la estadística empresarial5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Tarea para la casa
    9. Referencias
    10. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Datos mostrados
    3. 2.2 Medidas de la ubicación de los datos
    4. 2.3 Medidas del centro de los datos
    5. 2.4 Notación sigma y cálculo de la media aritmética
    6. 2.5 Media geométrica
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Repaso de fórmulas
    12. Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia y árboles de probabilidad
    6. 3.5 Diagramas de Venn
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Uniéndolo todo: Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Distribución hipergeométrica
    3. 4.2 Distribución binomial
    4. 4.3 Distribución geométrica
    5. 4.4 Distribución de Poisson
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Estimación de la binomial con la distribución normal
    5. Términos clave
    6. Repaso del capítulo
    7. Repaso de fórmulas
    8. Práctica
    9. Tarea para la casa
    10. Referencias
    11. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de las medias muestrales
    3. 7.2 Uso del teorema del límite central
    4. 7.3 Teorema del límite central de las proporciones
    5. 7.4 Factor de corrección de población finita
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande
    3. 8.2 Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña
    4. 8.3 Un intervalo de confianza para una proporción de población
    5. 8.4 Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Comparación de las medias de dos poblaciones independientes
    3. 10.2 Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande
    4. 10.3 Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales
    5. 10.4 Comparación de dos proporciones de población independientes
    6. 10.5 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    7. 10.6 Muestras coincidentes o emparejadas
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de una sola varianza
    4. 11.3 Prueba de bondad de ajuste
    5. 11.4 Prueba de independencia
    6. 11.5 Prueba de homogeneidad
    7. 11.6 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Resúmalo todo: tarea para la casa
    14. Referencias
    15. Soluciones
  13. 12 La distribución F y el anova de una vía
    1. Introducción
    2. 12.1 Prueba de dos varianzas
    3. 12.2 ANOVA de una vía
    4. 12.3 La distribución F y el cociente F
    5. 12.4 Datos sobre la distribución F
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  14. 13 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 13.1 El coeficiente de correlación r
    3. 13.2 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    4. 13.3 Ecuaciones lineales
    5. 13.4 La ecuación de regresión
    6. 13.5 Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
    7. 13.6 Predicción con una ecuación de regresión
    8. 13.7 Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
    9. Términos clave
    10. Repaso del capítulo
    11. Práctica
    12. Soluciones
  15. A Cuadros estadísticos
  16. B Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  17. Índice

El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. Ya conocimos este concepto cuando desarrollamos las frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2. El área relativa para un rango de valores era la probabilidad de extraer al azar una observación en ese grupo. De nuevo con la distribución de Poisson del Capítulo 4, el gráfico del Ejemplo 4.14 utilizó cajas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo poco estrictos porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene anchura. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria x, deliberadamente no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es el área.

La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.

El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulada es la integral de la pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral de la pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo la pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, la certeza. Por tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés.

  • Los resultados se miden, no se cuentan.
  • Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno.
  • La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x.
  • P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d. P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x, a la derecha de c y a la izquierda de d.
  • P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero.
  • P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área.

Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, el cálculo integral es necesario para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral.

Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.

En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.

Este gráfico muestra una distribución uniforme. El eje horizontal va de 0 a 10. La distribución se modela mediante un rectángulo que se extiende desde x = 2 hasta x = 8,8. En el interior del rectángulo está sombreada una región desde x = 3 hasta x = 6. El área sombreada representa P(3 x < 6).
Figura 5.2 El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis.
Este gráfico muestra una distribución exponencial. El gráfico tiene una pendiente hacia abajo. Comienza en un punto del eje y y se acerca al eje x en el borde derecho del gráfico. La región debajo del gráfico de x = 2 a x = 4 está sombreada para representar P(2 < x < 4).
Figura 5.3 El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro.
Se trata de una curva de distribución normal sobre un eje horizontal identificado de –3 a 3 en intervalos de 1. El pico de la curva coincide con el punto 0 del eje horizontal. Las líneas verticales se extienden desde 1 y 2 hasta la curva. La zona entre las líneas está sombreada. Las notas del texto dicen: “El área sombreada representa la probabilidad P(1 < x < 2)”.
Figura 5.4 El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos.

Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.

Ejemplo 5.1

Consideremos la función f(x) = 120120 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f(x) = 120120 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f(x) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo.
Figura 5.5

f(x) = 120120 para 0 ≤ x ≤ 20.

El gráfico de f(x) = 120120 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20.

El área entre f(x) = 120120 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 120120.

ÁREA=20( 1 20 )=1 ÁREA=20( 1 20 )=1

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = 120120 y el eje xdonde 0 < x < 2.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo se sombrea una región desde x = 0 hasta x = 2.
Figura 5.6

ÁREA = (2  0)( 1 20 ) = 0,1 ÁREA = (2  0)( 1 20 ) = 0,1

(2 0) = 2 = base de un rectángulo (2 0) = 2 = base de un rectángulo

Recordatorio

área de un rectángulo = (base)(altura).

El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0,1.

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = 120120 y el eje x donde 4 < x < 15.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo hay una región sombreada desde x = 4 hasta x = 15.
Figura 5.7

ÁREA = (15  4)( 1 20 ) = 0,55 ÁREA = (15  4)( 1 20 ) = 0,55

(15  4) = 11 = la base de un rectángulo (15  4) = 11 = la base de un rectángulo

El área corresponde a la probabilidad P(4 < x < 15) = 0,55.

Supongamos que queremos hallar P(x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P(x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) ( 1 20 ) = 0

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. Una línea vertical se extiende desde el eje horizontal hasta el gráfico en x = 15.
Figura 5.8

P(Xx), que también se puede escribir como P(X < x) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P(X > x). La cdf da el “área a la izquierda” y P(X > x) da el “área a la derecha”. Calculamos P(X > x) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P(X > x) = 1 – P (X < x).

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. El área a la izquierda de un valor, x, está sombreada.
Figura 5.9

Identifique el gráfico con f(x) y x. Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y. f(x) = 1 20 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20.

Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo se sombrea una región desde x = 2,3 hasta x = 12,7
Figura 5.10

P(2,3<x<12,7)=(base)(altura)=(12,72,3)( 1 20 )=0,52 P(2,3<x<12,7)=(base)(altura)=(12,72,3)( 1 20 )=0,52

Inténtelo 5.1

Consideremos la función f(x) = 1 8 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f(x) y calcule P(2,5 < x < 7,5).

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